上海市青浦高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

上海市青浦高級中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期9月質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.直線的傾斜角為_________．【答案】【解析】【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角【詳解】，則，斜率為則，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角，解題的關(guān)鍵是求出直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題2.在的展開式中，含的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】由的展開式的通項(xiàng)公式，令，即可求得結(jié)論．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為令，則，的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：．3.已知集合，集合，則__________．【答案】【解析】【分析】解不等式可求得集合，進(jìn)而可求得.【詳解】由，可得，所以，所以，解得，所以，所以.故答案為：4.若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)a滿足的條件是________.【答案】##【解析】【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程有唯一解，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a滿足的條件【詳解】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：5.已知x，，則“”是“”的____________________條件．【答案】必要不充分【解析】【分析】由已知中，，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分別討論“”“”，與“”“”，的真假，然后根據(jù)充要條件的定義，即可得到答案．【詳解】若，則異號或至少有一個(gè)為0，故充分性不成立，若“”，則，異號，則“”成立，即“”是“”的必要條件；即“”是“”的必要不充分條件；故答案為：必要不充分．6.已知，的最小值為______．【答案】12【解析】【分析】利用不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即或時(shí),等號成立,故的最小值為12.故答案為：12.7.從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任意選取兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為_______．【答案】##【解析】【分析】由列舉法可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】由題意任取兩個(gè)不同的數(shù)字組成1個(gè)兩位數(shù)，共有：12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45,51,52,53，54共20個(gè)；其中偶數(shù)有：12，14，24，32，34，42，52,54共8個(gè)；故所求概率.故答案為：.8.已知函數(shù)，且，則方程的解為______________．【答案】3【解析】【分析】分類討論和，解方程的解，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），所以方程的解為.故答案為：3.9.已知集合，，若，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】解絕對值不等式可得集合A，由得，討論B為空集和不為空集情況，解相應(yīng)不等式，即得答案.【詳解】解，即，即，由，得;當(dāng)時(shí)，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜合可得，故答案為：10.甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判，則前4局中乙恰好當(dāng)一次裁判的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,即可得出.【詳解】前局中，因第局甲當(dāng)裁判，則乙恰好當(dāng)1次裁判事件A，設(shè)乙第二局當(dāng)裁判的事件A1、乙第三局當(dāng)裁判的事件A2，乙第二局當(dāng)裁判的事件A3，它們互斥，乙第二局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局輸，第三局勝，則,乙第三局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局輸，則，乙第四局當(dāng)裁判的事件是乙在第一局勝，第二局勝，第三局輸，則，所以故答案為：.11.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)且，則直線斜率的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求得點(diǎn)坐標(biāo)并代入拋物線的方程，求得直線斜率平方的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)，Px,依題意，所以，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得：，整理得，設(shè)直線的斜率為，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，得到，故答案為：.12.對于定義在上的函數(shù)，若同時(shí)滿足：（1）對任意的，均有；（2）對任意的，存在，且，使得成立，則稱函數(shù)為“等均”函數(shù)．下列函數(shù)中：①；②；③；④，“等均”函數(shù)的序號是__________．【答案】①③【解析】【分析】按照“等均”函數(shù)的定義，對四個(gè)函數(shù)一一驗(yàn)證，即可判斷.【詳解】對于①，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)镽.對任意的，，滿足(1)；所以存在，使得，滿足(2).所以為“等均”函數(shù).對于②，因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，不滿足(1)；所以不是“等均”函數(shù).對于③，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，對任意的，，滿足（1）；，若滿足，則有，所以，又因?yàn)?，所以，所以，滿足且，所以為“等均”函數(shù).對于④，因?yàn)椋缘亩x域?yàn)镽.對任意，，滿足（1）；，若滿足，則有，設(shè)，則，所以在R上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)不滿足（2），所以不是“等均”函數(shù).故答案：①③.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作答.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分．第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】因?yàn)?，則，故，A對B錯；，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，CD都錯.故選：A.14.在2022北京冬奧會單板滑雪U型場地技巧比賽中，6名評委給選手打出了6個(gè)各不相同的原始分，經(jīng)過“去掉其中一個(gè)最高分和一個(gè)最低分”處理后，得到4個(gè)有效分．則經(jīng)處理后的4個(gè)有效分與6個(gè)原始分相比，一定會變小的數(shù)字特征是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義即可得解.【詳解】去掉最大值與最小值這組數(shù)的平均值大小不確定，中位數(shù)不變，眾數(shù)大小不確定，根據(jù)方差的定義，去掉最高分，最低分后，剩余四個(gè)數(shù)據(jù)的波動性小于原來六個(gè)數(shù)據(jù)的波動性，故方差一定會變小.故選：D15.如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.存在平面與直線垂直B.四邊形可能是正方形C.不存在平面與直線平行D.任意平面與平面垂直【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)為的中點(diǎn)，即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說明D.【詳解】對于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯誤；對于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，由平面平面，并且四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯誤；對于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯誤；對于D：設(shè)正方體邊長為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，由幾何知識得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D16.已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，為其前n項(xiàng)和，若對任意正整數(shù)都有，則下列各項(xiàng)中可能成立的是（）A.，，，…，為等差數(shù)列，，，，…，為等比數(shù)列B.，，，…，為等比數(shù)列，，，，…，為等差數(shù)列C.，，，…，為等差數(shù)列，，，…，，…為等比數(shù)列D.，，，…，為等比數(shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，公差為，分討論，找出矛盾，可判斷A，B，D選項(xiàng)，對于C，舉例說明.【詳解】由題對任意正整數(shù)，都有，可判斷，，…，不可能為等差數(shù)列，理由如下：假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，公差為，若，，則，矛盾；若，，當(dāng)時(shí)，，存在使得，矛盾；若，，當(dāng)時(shí)，，存在使得，矛盾；若，當(dāng)時(shí)，，，必有使得，矛盾；若，當(dāng)時(shí)，，，必有使得，矛盾；對于A，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故A錯誤；對于B，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故B錯誤；對于D，為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故D錯誤；對于C，取，，，滿足題意，故C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用反證法假設(shè)，，…，為等差數(shù)列，推理找出矛盾，依此判斷.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，．（1）在側(cè)面PBC中能否作出一條線段，使其與AD平行？如果能，請寫出作圖過程并給出證明；如果不能，請說明理由；（2）若四棱錐的體積是，求直線BP與平面PCD所成角的大?。敬鸢浮浚?）不能，理由見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合梯形的性質(zhì)證得直線與平面相交，即可判斷得解.（2）過點(diǎn)B作于H，證得是直線BP與平面PCD所成角，再結(jié)合錐體體積計(jì)算角的正切即可.【小問1詳解】不能．在梯形ABCD中，，，，則AD不平行于BC，直線AD與BC必相交于一點(diǎn)，而平面，則直線AD與平面有公共點(diǎn)又平面，因此直線與平面相交，所以在側(cè)面PBC中不能作AD的平行線.【小問2詳解】過點(diǎn)B作于H，連接PH，由平面ABCD，平面ABCD，得，而平面PCD，則平面PCD，即PH是BP在平面PCD內(nèi)的射影，是直線BP與平面PCD所成角，在中，，，則是等邊三角形，，，又，則，即，在中，，，又四棱錐的體積是，即，解得，在中，，因此，所以直線BP與平面PCD所成角大小.18.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【小問1詳解】∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】∴19.汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動剎車.某種算法（如下圖所示）將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為、、、.當(dāng)車速為v（米/秒），且時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）階段0、準(zhǔn)備1、人的反應(yīng)2、系統(tǒng)反應(yīng)3、制動時(shí)間秒秒距離米米（1）請寫出報(bào)警距離d（米）與車速v（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時(shí)，若汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間.（精確到0.1秒）（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時(shí)〈精確到1千米/小時(shí)〉？【答案】（1），3.1（秒）（2）汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，合72千米/小時(shí)．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的表達(dá)式，利用基本不等式即可求出所求最短時(shí)間；（2）由題意可列出相應(yīng)不等式，化為一元二次不等式即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，若汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的時(shí)間（秒），即最短時(shí)間為3.1秒；【小問2詳解】根據(jù)題意，要求對于任意，恒成立，即對于任意，，即恒成立，由得，，即，解得，（米/秒），（千米/小時(shí)），汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，合72千米/小時(shí)．20.已知橢圓:的左、右點(diǎn)分別為點(diǎn)在橢圓上，且(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)(1,0)作斜率為的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若求直線的方程；(3)點(diǎn)P、Q為橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為求證:為定值.【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，且，列出方程組求出，，由此能求出橢圓的方程．(2)設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，再利用數(shù)量積和韋達(dá)定理求出k的值，即得直線方程；（3）設(shè)直線，聯(lián)立，求出，同理求出，證明為定值．【詳解】(1）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，，解得，，橢圓的方程為．（2）設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，，，由，得，所以，又，，，所以，所以，所以，均滿足題意.所以直線的方程為或.（3）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，得，，又直線，同理，得，，為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式為定值的證明，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．21.設(shè)函數(shù)，直線l是曲線在點(diǎn)處的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；（2）求證：l不經(jīng)過；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，B為l與y軸的交點(diǎn)，與分別表示和的面積．是否存在點(diǎn)A使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)A有幾個(gè)？【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是；（2）證明見解析；（3）存在，有兩個(gè)．【解析】【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可.（2）寫出切線的方程，將代入并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點(diǎn)即可.（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再構(gòu)造函數(shù)，研究其