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第二章一元二次方程第二章一元二次方程2.6
應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí)幾何(行程)問題學(xué)習(xí)目標(biāo)12掌握建立數(shù)學(xué)模型解決幾何(行程)問題.(重點(diǎn))正確分析問題中的數(shù)量關(guān)系并建立一元二次方程模型.(難點(diǎn))新課導(dǎo)入問題1:如圖,一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.梯子頂端下滑1米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離大于1米,那么梯子頂端下滑幾米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等呢?解:設(shè)梯子頂端下滑x米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離與頂端下滑的距離相等.由題意得:解得x1=0(不符合題意,舍去),x2=2,所以梯子頂端下滑2米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離與頂端下滑的距離相等.問題2:如果梯子長度是13米,梯子頂端與地面的垂直距離為12米,梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動(dòng)的距離可能相等嗎?如果相等,那么這個(gè)距離是多少?解:假設(shè)設(shè)梯子頂端下滑x米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離與頂端下滑的距離相等.解得x1=0(不符合題意,舍去),x2=7,所以梯子頂端下滑7米時(shí),梯子底端滑動(dòng)的距離與頂端下滑的距離相等知識(shí)講解幾何(行程)問題與一元二次方程如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200n
mile處有一重要目標(biāo)B,在B的正東方向200n
mile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點(diǎn),島上有一補(bǔ)給碼頭;小島F位于BC的中點(diǎn).一艘軍艦從A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達(dá)軍艦.例1已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處,那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里(結(jié)果精確到0.1海里)?北ABCDF東北ABCDFE
設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了xnmile,那么
DE=xnmile,AB+BE=2xnmile,
EF=AB+BF
-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中,根據(jù)勾股定理可得方程
x2
=1002+(300-
2x)2.
整理,得3x2-
1200x+100000=0,
解得
(不合題意,舍去)
解:連結(jié)DF.∵AD=CD,BF=CF,∴DF是△ABC的中位線.∴DF∥AB,且DF=
AB.∵AB⊥BC,AB=BC=200nmile,∴DF⊥BC,DF=100nmile,BF=100nmile.例2
《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會(huì).問甲、乙各行幾何?”大意是說:已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí),甲、乙各走了多遠(yuǎn)?解:設(shè)甲、乙相遇時(shí)所用時(shí)間為x.根據(jù)題意,得 (7x
-10)2=(3x)2+102.整理,得2x2-7x=0.解方程,得x1=3.5,x2=0(不合題意,舍去).∴3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.乙:3x甲:10ABC7x-10例3如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P,Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AC,BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)(到點(diǎn)C為止),它們的速度都是1m/s.幾秒后△PCQ的面積是Rt△ACB面積的一半?ABCPQ8m6m解:設(shè)x秒后,△PCQ的面積是Rt△ABC面積的一半.根據(jù)題意,得答:2秒后,△PCQ的面積是Rt△ABC面積的一半.隨堂訓(xùn)練1.在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng),如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā),幾秒后⊿PBQ的面積等于8cm2?解:設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意,得整理,得解這個(gè)方程,得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm22.等腰直角⊿ABC中,AB=BC=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿AB向B移動(dòng),通過點(diǎn)P引
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