考研數(shù)學(xué)二分類模擬251

考研數(shù)學(xué)二分類模擬251解答題根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.

x3；正確答案：解：y=x3．由于

因此

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

2.

；正確答案：解：．由于

因此

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

3.

；正確答案：解：．注意到，故

于是

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

4.

tanx．正確答案：解：y=tanx．由于

因此

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

5.

求曲線的弧長s．正確答案：解：．[考點]定積分的應(yīng)用

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，，且f(x)的最小值f(a)＜a．證明：函數(shù)g(x)=f[f(x)]至少在兩個點處取得f(x)的最小值．正確答案：證明：因為，所以存在M＞max{|a|，|f(a)|}，對任何|x|＞M，有f(x)＞max{|a|，|f(a)|}．由此得到

-(M+1)＜a＜M+1

且

f(-(M+1))＞a＞f(a)，f(M+1)＞a＞f(a)

因為函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，所以f(x)在[-(M+1)，M+1]上連續(xù)．

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在ξ1∈(-(M+1)，a)及ξ2∈(a，M+1)，使得

f(ξ1)=f(ξ2)=a

易見ξ1≠ξ2，而且

g(ξ1)=f[f(ξ1)]=f(a)，g(ξ2)=f[f(ξ2)]=f(a)

這說明g(x)在ξ1和ξ2處取得其最小值．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

7.

證明：若x≥0，則

其中，并且．正確答案：證明：當(dāng)x≥0時，對函數(shù)使用有限增量公式，即得

解得

當(dāng)x=0時，；當(dāng)x＞0時，有

于是

且有

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

8.

設(shè)向量組β1，β2，…，βr可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出，如果r＞s，那么β1，β2，…，βr線性相關(guān)．正確答案：證明：為了證明β1，β2，…，βr線性相關(guān)，即要找一組不全為0的數(shù)k1，k2，…，kr，使得

k1β1+k2β2+…+krβr=0

為此考慮β1，β2，…，βr的線性組合x1β1+x2β2+…+xrβr．

由條件β1，β2，…，βr可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出，可設(shè)

則

x1β1+x2β2+…+xrβr=x1(a11α1+a21α2+…+as1αs)+

x2(a12α1+a22α2+…+as2αs)+…+

xr(a1rα1+a2rα2+…+asrαs)

=(a11x1+a12x2+…+a1rxr)α1+

(a21x1+a22x2+…+a2rxr)α2+…+

(as1x1+as2x2+…+asrxr)αs

①

考慮下列齊次線性方程組

又因為s＜r(即方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù))，因此方程組②必有非零解．取它的一個非零解(k1，k2，…，kr)，則從式①和方程組②可得

k1β1+k2β2+…+krβr=0α1+0α2+…0αs=0

因此β1，β2，…，βr線性相關(guān)．

由本例的命題立即可以得到如下結(jié)論：

結(jié)論1

設(shè)向量組β1，β2，…，βr可以由向量組α1，α2…，αs線性表出，如果β1，β2，…，βr線性無關(guān)，那么r≤s．

結(jié)論2

等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相等．[考點]向量

9.

設(shè)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)在[0，1]上連續(xù)且f(0)=f(1)=0，證明：，其中．正確答案：證1：由于

則

而

命題得證．

證2：對任意的x∈(0，1)，由于

f(x)=f(0)+f'(ξ1)x，f(x)=f(1)+f'(ξ2)(x-1)

其中ξ1∈(0，x)，ξ2∈(x，1)，則|f(x)|=|f'(ξ1)|x≤Mx，且

|f(x)|=|f'(ξ2)|(1-x)≤M(1-x)

則

[考點]一元函數(shù)微積分

10.

設(shè)f(x)為多項式，f(x)≥x且f(x)≥1-x，x∈(-∞，+∞)．試證：．正確答案：證明：已知．現(xiàn)證．事實上，若，則：當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以．故f(x)在處不可微，與f(x)為多項式矛盾．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

11.

設(shè)f'(x)在[a，b]上滿足f"(x)＞0，證明：對于[a，b]上任意兩個不同的點x1，x2，有．正確答案：證明：不妨設(shè)x1＜x2，對f(x)分別在上用拉格朗日中值定理，得

又因為f"(x)＞0，故f'(x)單調(diào)遞增，從而f'(ξ1)＜f'(ξ2)，即

亦即

所以

[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

12.

當(dāng)0＜x時，證明：．正確答案：證明：因為arctanx，ln(1+x)在[0，x]上連續(xù)，在(0，x)上可導(dǎo)，由柯西中值定理得，必存在點ξ∈(0，x)，使得

令，t∈(0，x)，則，故唯一的駐點為，且當(dāng)時，f'(t)＞0，當(dāng)時，f'(t)＜0，故為函數(shù)f(x)的極大值，且是最大值，所以．

13.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，+∞]連續(xù)，而且當(dāng)x＞a時，f'(x)＞k＞0，其中k為常數(shù)．證明：若f(a)＜0，則在區(qū)間內(nèi)方程f(x)=0有且僅有一個實根．正確答案：證明：由有限增量公式，有

于是，．又f(a)＜0，故由連續(xù)函數(shù)的介值性定理知，方程f(x)=0在內(nèi)至少有一實根．又因為當(dāng)x＞a時，f'(x)＞0，故f(x)在(a，+∞)內(nèi)遞增，由此可知，方程f(x)=0在內(nèi)有且僅有一個實根．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

設(shè)n階矩陣A有特征值λ0，對應(yīng)的特征向量為ξ．14.

證明ξ也是A2的對應(yīng)于的特征向量；正確答案：證明：由題設(shè)Aξ=λ0ξ，兩端左邊乘A，得，故ξ是A2的對應(yīng)于的特征向量．[考點]特征值與特征向量

15.

反之，若A2有特征向量ξ，A是否有特征向量ξ?正確答案：解：反之不成立．例如，，A2有特征值λ=0，對應(yīng)的特征向量為，但ξ2不是A的特征向量，因為對于任何λ，有

[考點]特征值與特征向量

16.

已知ξ是A對應(yīng)于特征值λ的特征向量，求PAP-1對應(yīng)于λ的一個特征向量．正確答案：解：設(shè)PAP-1的特征向量為η，則(PAP-1)η=λη，兩端左邊乘P-1得，A(P-1η)=λ(P-1η)，由于Aξ=λξ，取η=Pξ即為所求．[考點]特征值與特征向量

17.

設(shè)(1)；

(2)．

求．正確答案：解：(1)

(2)注意到，現(xiàn)將左端乘以并除以，再對分子反復(fù)應(yīng)用公式(a+b)(a-b)=a2-b2，則

[考點]函數(shù)、極限

18.

用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．正確答案：解：

令

即

亦即x=Py，其中，則

[考點]二次型

19.

設(shè)，其中a≠b，求與A可交換的矩陣．正確答案：解：設(shè)與A可交換的矩陣是，則

即

對應(yīng)元素相等，得ax2=bx2，bx3=ax3．因a≠b，故x2=x3=0．

因此，與二階主對角元素互不相同的對角矩陣，可交換的矩陣也是對角矩陣，即

其中x1，x4是任意常數(shù)．[考點]矩陣

20.

求極限．正確答案：解1：因為，所以

因此通項．故

解2：記，則，顯然a2＞a1．

假設(shè)ak＞ak-1成立，則，則{an}單調(diào)遞增．

又，設(shè)ak＜3，則，所以{an}有上界，故{an}的極限存在，記為a．對兩邊同時取極限得，顯然a=3．[考點]函數(shù)、極限

21.

計算積分．正確答案：解：

所以

所以．[考點]不定積分、定積分、反常積分

22.

設(shè)A是n階矩陣，α1，α2，α3是n維列向量，若Aα1=α1≠0，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，證明：向量組α1，α2，α3線性無關(guān)．正確答案：證明：如果k1α1+k2α2+k3α3=0，那么(A-E)(k1α1+k2α2+k3α3)=0．再由已知條件得(A-E)α1=0，(A-E)α2=α1，(A-E)α3=α2，于是k2α1+k3α2=0．進(jìn)而(A-E)(k2α1+k3α2)=0，即k3α1=0．注意到α1≠0，故k3=0，進(jìn)一步可得k1=k2=0．從而向量組α1，α2，α3線性無關(guān)．[考點]向量

23.

設(shè)f(x)=(x-x0)nφ(x)(n為正整數(shù))，其中函數(shù)φ(x)在x=x0處連續(xù)，且φ(x0)≠0，討論f(x)在點x=x0的極值．正確答案：解：由于φ(x)在點x=x0處連續(xù)且φ(x0)≠0，所以由極限存在的保號性知，φ(x0)在點x0的充分小鄰域(x0-δ，x0+δ)內(nèi)與φ(x0)同號，于是，f(x)的符號與n的奇偶性及φ(x0)的符號有關(guān)．

若n為奇數(shù)，則在x0的充分小鄰域內(nèi)，函數(shù)f(x)