考研數(shù)學(xué)二模擬398

考研數(shù)學(xué)二模擬398一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，在x0可導(dǎo)，且f'(x0)＞2x0，則存在δ＞0，使得______A.函數(shù)f(x)-x2在(x0，x0+δ)內(nèi)單調(diào)增加．B.函數(shù)f(x)-x2在(x0-δ，x0)內(nèi)單調(diào)減少．C.對(duì)任意的x∈(x0，x0+δ)有f(x)＞x2．D.對(duì)任意的x∈(x0-δ，x0)有f(x)＞x2．正確答案：C[解析]令g(x)=f(x)-x2，由已知得g(x0)=0，g'(x0)＞0，則

由極限的保號(hào)性，知存在δ＞0，對(duì)任意的x∈(x0，x0+δ)有g(shù)(x)-g(x0)=g(x)＞A(x-x0)＞0，即f(x)＞x2．

2.

假設(shè)區(qū)域D由曲線(xiàn)y=px3(x＞0，p＞0)及其過(guò)點(diǎn)(1，p)的切線(xiàn)與x軸圍成，設(shè)此區(qū)域的形心為則的值為_(kāi)_____

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]y'|x=1=3px2|x=1=3p，切線(xiàn)為y=p+3p(x-1)．

切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為(0，-2p)；

切線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)為(1，p)，如圖．

區(qū)域D的面積

則

3.

方程e-x-x2+2x-1=0______A.恰有一個(gè)根．B.恰有兩個(gè)根．C.恰有三個(gè)根．D.多于三個(gè)根．正確答案：C[解析]令y(x)=e-x-x2+2x-1．

因?yàn)閥'''(x)=-e-x≠0，因此最多有三個(gè)根．由于y(0)=1-1=0，所以x=0是其一根．

由于y'(x)=-e-x-2x2+2，y'(0)=-1+2=1＞0，且y(0)=0，所以存在δ＞0，使得y(-δ)＜0，y(δ)＞0．

又由所以y(x)在區(qū)間(-∞，-δ)內(nèi)至少有一根．

由所以y(x)在區(qū)間(δ，+∞)內(nèi)至少有一根．

至此，y(x)在區(qū)間(-∞，+∞)已有三個(gè)根．而它至多有三個(gè)根，所以它恰有三個(gè)根．

4.

設(shè)f(x)定義(-∞，+∞)上，在點(diǎn)x=0連續(xù)，且滿(mǎn)足條件f(x)=f(sinx)，則f(x)在(-∞，+∞)上

______A.不一定是連續(xù)函數(shù)．B.不恒為常數(shù)且連續(xù)．C.不恒為常數(shù)且可導(dǎo)．D.無(wú)窮階可導(dǎo)．正確答案：D[解析]記u1=sinu0，uk+1=sinuk，k=1，2，…．

對(duì)u0∈(-∞，+∞)，k=1，2，…．

f(u0)=f(sinu0)=f(u1)=f(sinu1)=f(sinu2)=…=f(sinuk)=f(uk+1)，即對(duì)u0∈(-∞，+∞)都有f(u0)=f(un)，n=1，2，…，成立．

由于數(shù)列uk，k=1，2，…單調(diào)減且有極限又f(x)在點(diǎn)x=0連續(xù)，所以

對(duì)u0∈(-∞，+∞)，

可見(jiàn)f(x)在(-∞，+∞)上恒為常數(shù)，即f(x)≡f(0)．當(dāng)然是無(wú)窮階可導(dǎo)．

5.

若則______A.I1＞I2＞I3．B.I1＞I3＞I2．C.I2＞I1＞I3．D.I2＞I3＞I1．正確答案：B[解析]

6.

微分方程y"-y'=sinx+3的一個(gè)特解應(yīng)具有的形式為_(kāi)_____A.Asinx+Bcosx+C．B.Asinx+Bcosx+Cx．C.Axsinx+Bxcosx+C．D.Axsinx+Bxcosx+Cx．正確答案：B[解析]因?yàn)榕c原方程相應(yīng)的齊次方程的特征方程為λ2-λ=0，特征根為0，1．

所以方程y"-y'=sinx的一個(gè)特解形式為y=Asinx+Bcosx；

方程y"-y'=3的一個(gè)特解形式為y=Cx．

根據(jù)疊加原理，原方程的一個(gè)特解形式為Y=Asinx+Bcosx+Cx．

7.

已知B是3階非零矩陣，滿(mǎn)足AB=0，則______A.a=-1時(shí)，必有r(B)=1．B.a=-1時(shí)，必有r(B)=2．C.a=1時(shí)，必有r(B)=1．D.a=1時(shí)，必有r(B)=2．正確答案：C[解析]當(dāng)a=-1時(shí)，r(A)=1，再由AB=0，得r(A)+r(B)≤3．可見(jiàn)當(dāng)a=-1時(shí)，秩r(B)有可能為1也可能為2，故A、B不正確．

當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=2，由AB=0，得r(A)+r(B)≤3r(B)≤1，又B是非零矩陣，故r(B)=1．

8.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)，其中αi是n維列向量(i=1，2，3，4)．已知齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，則______A.α1，α2線(xiàn)性無(wú)關(guān)．B.α1，α3線(xiàn)性無(wú)關(guān)．C.α1，α4線(xiàn)性無(wú)關(guān)．D.α3，α4線(xiàn)性無(wú)關(guān)．正確答案：A[解析]因?yàn)锳x=0的基礎(chǔ)解系為ξ1=(-2，0，1，0)T，ξ2=(1，0，0，1)T，可知r(A)=2，則A有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量，將ξ1，ξ2代入得

-2α1+α3=0，α1+α4=0．

則可知α1，α3；α1，α4；α3，α4線(xiàn)性相關(guān)，又r(A)=2，則α2與α1，α3，α4均線(xiàn)性無(wú)關(guān)．

二、填空題1.

已知函數(shù)y=y(x)由方程y-xey=1-ex確定，則正確答案：0[解析]將方程y-xey=1-ex兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

則

當(dāng)x=0時(shí)，y(0)=1，

2.

設(shè)z=z(x，y)由方程xf(z)+yg(z)=xy所確定，且xf'(z)+yg'(z)≠0，則正確答案：0[解析]設(shè)F(x，y，z)=xf(z)+yg(z)-xy，則

故

3.

設(shè)區(qū)域Dt={(x，y)∈R2|x2+y2≤t2，t＞0}，函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且f(0)=A≠0，若當(dāng)n→+∞，是比高階的無(wú)窮小量，則參數(shù)λ的取值范圍是______．正確答案：λ＞1[解析]因?yàn)楹瘮?shù)ρf(ρ2)在0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，所以根據(jù)變限定積分函數(shù)的性質(zhì)，可知F(t)在t=0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)．

F'(t)=2πtf(t2)，所以

因?yàn)樗杂謴亩?/p>

由上式成立可推出，λ＞1．

4.

以y=e2x(C1cosx+C2sinx)+5(C1，C2為任意常數(shù))為通解的二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的形式為_(kāi)_____．正確答案：y"-4y'+5y=25[解析]該方程是二階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次微分方程：y"+py'+qy=f(x)．對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)特征根為2±i，所以其方程為y"-4y'+5y=0．

非齊次方程的特解為Y=5，代入方程，得非齊次項(xiàng)f(x)=25．

因此所求方程為y"-4y'+5y=25．

5.

正確答案：[解析]思路一：

思路二：

6.

若二次型是正定的，則t的可能取值范圍是______．正確答案：-1＜t＜1[解析]二次型f的矩陣

因?yàn)閒正定，所以A的順序主子式全大于零．

又

故1-t2＞0-1＜t＜1．

三、解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．1.

正確答案：

2.

設(shè)函數(shù)求高階導(dǎo)函數(shù)f(n)(x)，n=1，2，…．正確答案：顯然有f(0)=0．

當(dāng)x≠0時(shí)，

綜上，得f(x)=xsinx，x∈(-∞，+∞)，則

3.

計(jì)算二重積分區(qū)域D由曲線(xiàn)和x軸圍成．正確答案：區(qū)域D的圖形如下圖所示，單位圓x2+y2=1將區(qū)域D分成兩部分，單位圓x2+y2=1內(nèi)的部分記作D1，單位圓外的部分記作D2．則

其中

故

4.

設(shè)證明：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，正確答案：因f(0)=f(1)=0，f(x)在[0，1]上可導(dǎo)，所以在[0，1]上存在最大值和最小值．又

當(dāng)f'(x)=0時(shí)，得(0，1)內(nèi)唯一駐點(diǎn)

且當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，f'(x)＜0．所以是極大值點(diǎn)，也是[0，1]上的最大值點(diǎn)．最大值為

綜上可得，

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且存在ξ∈(a，b)，得f"(ξ)＞0．證明：5.

若f'(ξ)=0，則存在x1，x2∈(a，b)且x1＜ξ＜x2，使得f(x1)=f(x2)；正確答案：[證明]因?yàn)閒"(ξ)＞0，f'(ξ)=0，故ξ是f的極小值點(diǎn)．

f在[a，ξ]上有最大值f(t1)．同樣f在[ξ，b]上也存在最大值f(t2)．

不妨設(shè)f(t1)≤f(t2)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理可得，存在x0∈[ξ，b]，使得f(x0)=f(t1)．即有x1=t1，x2=x0使得f(x1)=f(x2)．

6.

若f(ξ)≠0，則存在η1＜ξ＜η2，其中η1，η2∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]由f'(ξ)≠0，令g(x)=f(x)-f'(ξ)x，則g'(ξ)=f'(ξ)-f'(ξ)=0．

于是g(x)符合上一小題的條件，即存在η1，η2∈(a，b)滿(mǎn)足η1＜ξ＜η2，使得g(η1)=g(η2)，即

將g(x)=f(x)-f'(ξ)x代入上式后得到

即

7.

求微分方程xy"+y'=xlnx的通解．正確答案：思路一：這是一個(gè)不顯含未知函數(shù)y的二階可降階方程，令u(x)=y'(x)，則原方程變?yōu)檫@是一階線(xiàn)性微分方程，由通解公式得

由于

所以原微分方程的通解為

其中C1，C2是任意常數(shù)．

思路二：由于(xy')'=xy"+y'，令u=xy'，則原方程化為u'=xlnx，則

即

積分得其中C1，C2是任意常數(shù)．

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)定義在整個(gè)二維平面域R2，滿(mǎn)足下列條件：

①(x，y)∈R2，f(x，y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)(x，y)=(0，0)時(shí)，f(x，y)=0；

②(x，y)∈R2，λ∈R，f(λx，λy)=|λ|f(x，y)；

③(x，y)，(u，v)∈R2，f(x+u，y+v)≤f(x，y)+f(u，v)．

證明下列命題成立：8.

(x，y)，(u，v)∈R2，f(x-u，y-v)≥|f(x，y)-f(u，v)|；正確答案：[證明]由條件③，則

f(x，y)=f[(x-u)+u，(y-v)+v]≤f(x-u，y-v)+f(u，v)，

可得f(x-u，y-v)≥f(x，y)-f(u，v)．

又

f(x-u，y-v)=|-1|·f[-(u-x)，-(v-y)]

=f(u-x，v-y)

≥f(u，v)-f(x，y)=-[f(x，y)-f(u，v)]，

綜上得f(x-u，y-v)≥|f(x，y)-f(u，v)|．

9.

函數(shù)f在原點(diǎn)(0，0)連續(xù)，同時(shí)在R2上連續(xù)；正確答案：[證明]由條件①，②，知f(0，0)=0，再由條件③和②得

即函數(shù)f在原點(diǎn)(0，0)連續(xù)．

再由上一小題結(jié)果得

因此f(x，y)在R上連續(xù)．

10.

存在正常數(shù)α，β，使得對(duì)正確答案：[證明]由條件②，對(duì)有

因?yàn)閦=f(u，v)在閉區(qū)域u2+v2=1上是連續(xù)函數(shù)，由閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及條件①有

即對(duì)有

已知A是2×4階矩陣，齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系是

η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，-1，3)T，

又知齊次線(xiàn)性方程組Bx=0的基礎(chǔ)解系是

β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T，11.

求矩陣A；正確答案：記C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，那么矩陣AT的列向量(即矩陣A的行向量)是齊次方程組CTx=0的解，對(duì)CT作初等變換，有

得到CTx=0的基礎(chǔ)解系為α1=(3，-1，1，0)T，α2=(-5，1，0，1)T．

所以矩陣

12.

如果齊次線(xiàn)性方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．正確答案：設(shè)齊次線(xiàn)性方程組Ax=0與Bx=0的非零公共解為γ，則γ既可由η1，η2線(xiàn)性表出，也可由β1，β2線(xiàn)性表出，故可設(shè)

γ=x1η1+x2η2=-x3β1-x4β2，

于是

x1η1+x2η2+x3β1+x4β2=0，

對(duì)(η1，η2，β1，β2)作初等行變換，有

γ≠0x1，x2，x3，x4不全為0r(η1，η2，β1，β2)＜4a=0．

當(dāng)a=0時(shí)，解出x4=t，x3=-t，x2=-t，x1=2t，因此Ax=0與Bx=0的公共解為

γ=2tη1-tη2=t(1，4，1，1)T，

其中，t為任意常數(shù)．

設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的秩為2，且向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是線(xiàn)性方程組(A-E)X=0的兩個(gè)解．13.

求A的特征值與特征向量；正確答案：[解]依題

(A-E)X=0AX=X，

因?yàn)?/p>

Aα1=α1，Aα2=α2，

所以α1，α2是矩陣A屬于λ=1的特征向量．

因?yàn)閞(A)=2，知|A|=0，所以λ=0是A的特征值．

設(shè)α3=(x1，x2，x3)T是A屬于特征值λ=0的特征向量，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩