考研數(shù)學(xué)二分類模擬題187

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題187解答題1.

已知，求An(n≥2)．正確答案：解：對A分塊為，則，則B=3E+J，于是

其中

又，C2=6C…，Cn=6n-1C，所以

設(shè)α=[α1，α2，…，an]T≠0，p=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，試計算：2.

|A|；正確答案：解：

3.

An；正確答案：解：

當k≥2時，

(αβT)k=(αβT)(αβT)…(αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=O，

故An=E+nαβT．

4.

A-1．正確答案：解：A2=(E+αβT)(E+αβT)=E+2αβT+αβTαβT=E+2αβT=2E+2αβT-E=2A-E．

2A-A2=E，A(2E-A)=E，

A-1=2E-A=E-αβT．

5.

A，B為n階方陣，證明

正確答案：證：

6.

計算正確答案：解：

設(shè)有矩陣Am×n，Bn×m，且Em+AB可逆．7.

驗證En+BA也可逆，且(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A；正確答案：證：(En+BA)[En-B(Em+AB)-1A]

=En+BA-B(Em+AB)-1A-BAB(Em+AB)-1A

=En+BA-B(Em+AB)(Em+AB)-1A=En．

故(En+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A．

8.

設(shè)

其中，利用第一問證明P可逆，并求P-1．正確答案：證：

其中X=[x1，x2，…，xn]T，Y=[y1，y2，…，yn]T．

因，由(1)知P=E+XYT可逆，且

9.

設(shè)A是主對角元素為0的4階實對稱矩陣，E是4階單位矩陣，，且E+AB是不可逆的對稱矩陣，求A．正確答案：解：設(shè)，則

因(E+AB)T=E+AB，故有b=c=d=e=0．

又E+AB不可逆，有，得，從而得

其中a是任意常數(shù)．

10.

設(shè)，問k滿足什么條件時，kE+A是正定矩陣；正確答案：解：因A=AT，(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是實對稱矩陣，

方法一由

知A有特征值λ1=0，λ2=λ3=3，則kE+A有特征值k，k+3，k+3，kE+A正定k＞0．

方法二

k+2＞0k＞-2；

綜上，k＞0．

11.

A是n階實對稱矩陣，證明：存在大于零的實數(shù)k，使得kE+A是正定矩陣．正確答案：證：因A=AT，又(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是實對稱矩陣．設(shè)A有特征值λ1，λ2，…，λn，且λ1≤λ2≤…≤λn，則kE+A有特征值k+λ1，…，k+λn，且k+λ1≤k+λ2≤…≤k+λn，

存在大于零的實數(shù)k，使得kE+A的特征值全部大于零，kE+A正定．

12.

設(shè)

證明A=E+B可逆，并求A-1．正確答案：證：因E和任意矩陣可交換(和B可交換)且B4=O，故

(E+B)(E-B+B2-B3)=E-B4=E，

故A=E+B可逆，且

A-1=(E+B)-1=E-B+B2-B3．

又

即得

13.

設(shè)A，B是n階方陣，B及E+AB可逆，證明E+BA也可逆，并求(E+BA)-1．正確答案：證：E+BA=B(B-1+A)=B(E+AB)B-1，因B，E+AB可逆，故E+BA可逆，且

(E+BA)-1=[B(E+AB)B-1]-1=B(E+AB)-1B-1．

14.

設(shè)A=E-ξξT，ξ是非零列向量，證明：(1)A2=A的充要條件是ξTξ=1；(2)當ξTξ=1時，A不可逆．正確答案：證：(1)A2=(E-ξξT)2=E-2ξξT+(ξξT)2=E-(2-ξTξ)ξξT=A2-ξTξ=1，即ξTξ=2-1=1．

(2)ξTξ=1，A2-A=A(A-E)=O，A≠E，AX=0有非零解，故|A|=0，即A不可逆．

15.

設(shè)A，B都是n階對稱矩陣，已知E+AB不可逆，證明：E+BA也不可逆．正確答案：證：|E+BA|=(E+BA)T|=|E+ATBT|=|E+AB|=0，故E+BA也不可逆．

16.

設(shè)A=(aij)n×n，且，i=1，2，…，n，求r(A*)及A*．正確答案：解：，i=1，2，…，n，可知|A|=0，r(A)≤n-1，當r(A)=n-1時，有r(A*)=1，當r(A)＜n-1時，有r(A*)=0，故有r(A*)≤1．

r(A*)=1時，A*=αβT，其中α，β為任意非零列向量；r(A*)=0時，A*=O．

17.

已知n階矩陣

求|A|中元素的代數(shù)余子式之和，第i行元素的代數(shù)余子式之和，i=1，2，…，n及主對角線元素的代數(shù)余子式之和．正確答案：解：AA*=|A|E=E，

由A*可知：

18.

設(shè)矩陣A的伴隨矩陣，且ABA-1=BA-1+3E，求B．正確答案：解：由題設(shè)知(A-E)BA-1=3E，兩端右邊乘A，得(A-E)B=3A，兩端左邊乘A-1，得A-1(A-E)B=3E，即(E-A-1)B=3E，則，其中|A*|=8=|A|3，|A|=2，從而得

(2E-A*)B=6E，B=6(2E-A*)-1．

故

19.

設(shè)向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性無關(guān)，且

β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，

討論向量組β1，β2，…，βs的線性相關(guān)性．正確答案：解：方法一設(shè)x1β1+x2β2+…+xsβs=0，即

(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0．

因為α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則其系數(shù)行列式

當s為奇數(shù)時，|A|=2≠0，方程組只有零解，則向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)；

當s為偶數(shù)時，|A|=0，方程組有非零解，則向量組盧β1，β2，…，βs線性相關(guān)，

方法二顯然

因為α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則

r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)．

①r(K)=s|K|=1+(-1)s+1≠0，即s為奇數(shù)時，r(β1，β2，…，βs)=s，則向量組β1，β2，…，βs線性無關(guān)；

②r(K)＜s|K|=1+(-1)s+1=0，即s為偶數(shù)時，r(β1，β2，…，βs)＜s，則向量組β1，β2，…，βs線性相關(guān)．

20.

設(shè)向量組α1，α2，…，αt是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，向量β不是方程組Ax=0的解，即Aβ≠0．試證明：向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關(guān)．正確答案：證：設(shè)kβ+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0，即

(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，等式兩端左邊乘A，得，則k1α1+…+ktαt=0．

由α1，α2，…，αt線性無關(guān)，得，所以β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關(guān)．

21.

已知

問a為何值時，

(1)向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)；

(2)向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)；

(3)α4能由α1，α2，α3線性表出，并寫出它的表出式．正確答案：解：

故(1)a=4或a=12時，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)．

(2)a≠4且a≠12時，α1，α2，α3，α4線性無關(guān)．

(3)a=4時，α4可由α1，α2，α3線性表出．

得出它的表出式為

α4=α1+α3．

22.

已知

問λ取何值時，

(1)β可由α1，α2，α3線性表出，且表達式唯一