高中數(shù)學 1.2 第2課時 充要條件習題課練習 新人教A版選修1-1

【成才之路】-學年高中數(shù)學1.2第2課時充要條件習題課練習新人教A版選修1-1一、選擇題1．設x∈R，則x>2的一個必要不充分條件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[答案]A[解析]∵x>2?x>1，但x>1?/x>2，∴選A.2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0[答案]D[解析]本題考查了兩向量垂直的坐標運算．∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2＝2x＝0，即x＝0.a與b垂直和共線對應的坐標之間的關系不要混淆．[點評]即a⊥b?x1x2＋y1y2＝0；a∥b＝x1y2－x2y1＝0.3．下列四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3[答案]A[解析]∵a>b＋1?a－b>1?a－b>0?a>b，∴a>b＋1是a>b的充分條件．又∵a>b?a－b>0?/a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要條件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要條件．[點評]如a＝2＝b，滿足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2時，a2>b2，但a>b不成立；a>b?a3>b3.故B、C、D選項都不對．4．設集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]先分別寫出適合條件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范圍，再根據(jù)充要條件的有關概念進行判斷．由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2<x<3，∴2<x<3?x∈R，但x∈R?/2<x<3，∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件，故應選B.5．設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]若l1∥l2，則2a－2＝0，∴a6．已知直線a和平面α，那么a∥α的一個充分條件是()A．存在一條直線b，a∥b且b?αB．存在一條直線b，a⊥b且b⊥αC．存在一個平面β，a?β且α∥βD．存在一個平面β，a∥β且α∥β[答案]C[解析]A選項中，有可能a?α，B，D選項中也有可能a?α，C選項中，∵α∥β，又a?β，∴a與α無公共點．∴a∥α，故選C.7．(·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查了充要條件的判斷．當a＝3時，A＝{1,3}，故A?B，若A?B?a＝2或a＝3，故為充分不必要條件．8．(·浙江文，2)設四邊形ABCD的兩條對角線為AC、BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]菱形的對角線互相垂直，對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．故選A.二、填空題9．“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________條件．[答案]充分不必要[解析]圓心為(a，b)，半徑r＝eq\r(2).若a＝b，有圓心(a，b)到直線y＝x＋2的距離d＝r，所以直線與圓相切．若直線與圓相切，有eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，則a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直線與圓相切”的充分不必要條件．三、解答題10．求不等式(a2－3a＋2)x2＋(a－1)x[解析]討論二次項系數(shù)：(1)由a2－3a＋2＝0，得a＝1或a當a＝1時，原不等式為2>0恒成立，∴a＝1適合．當a＝2時，原不等式為x＋2>0，即x>－2，它的解集不是R，∴a＝2不符合．(2)當a2－3aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2>0,Δ＝a－12－8a2－3a＋2<0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1或a>2,a<1或a>\f(15,7)))，∴a<1或a>eq\f(15,7).綜上可知，滿足題意的充要條件是a的取值范圍是a≤1或a>eq\f(15,7).一、選擇題11．設{an}是等比數(shù)列，則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{anA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]若a1<a2<a3，則a1<a1q<a1q2，若a1>0，則q>1，此時為遞增數(shù)列，若a1<0，則0<q<1，同樣為遞增數(shù)列，故充分性成立，必要性顯然成立．12．若命題甲是命題乙的充分不必要條件，命題丙是命題乙的必要不充分條件，命題丁是命題丙的充要條件，則命題丁是命題甲的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]B[解析]由條件知，甲?乙?丙?丁，∴甲?丁且丁?/甲，故選B.13．(·北京理，3)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查充要條件及三角函數(shù)的性質(zhì)．當φ＝π時，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此時圖象過原點；而當函數(shù)圖象過原點時，可以取其他值．選A.14．命題甲：“a、b、c成等差數(shù)列”，命題乙：“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”，則甲是乙的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]∵a＝b＝c＝0，則a、b、c也成等差數(shù)列，但推不出eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2；反過來由eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2?a＋c＝2b，即a、b、c成等差數(shù)列．綜上所述，“a、b、c成等差數(shù)列”是“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”的必要不充分條件，故選A.[點評]要注意區(qū)分“A是B的充分條件”和“A是B的充分非必要條件”，若A?B，則A是B的充分條件，若A?B且B?/A，則A是B的充分非必要條件．二、填空題15．“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”是“ac<0”的________條件．[答案]必要條件[解析]ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根?b2－4ac≥0?b2≥4ac?/反之，ac<0?b2－4ac>0?ax2＋bx＋c＝0(a所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”是“ac<0”的必要條件．16．命題p：|x|<a(a>0)，命題q：x2－x－6<0，若p是q的充分條件，則a的取值范圍是________，若p是q的必要條件，則a的取值范圍是________．[答案]a≤2a≥3[解析]p：－a<x<a，q：－2<x<3，若p是q的充分條件，則(－a，a)?(－2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－2,a≤3))，∴a≤2，若p是q的必要條件，則(－2,3)?(－a，a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≤－2,a≥3))，∴a≥3.三、解答題17．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ax<0.[解析]充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac∴方程一定有兩不等實根，設為x1、x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根.必要性：(由方程有一正根和一負根，推證ac<0)，∵方程有一正根和一負根，設為x1、x2，則由根與系數(shù)的關系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0