高考數(shù)學大一輪復習核心考點精講精練(新高考專用)專題3.1函數(shù)的概念及其表示【原卷版+解析】

專題3.1函數(shù)的概念及其表示【核心素養(yǎng)】1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2.考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3.與不等式、方程等相結(jié)合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應用及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數(shù)的概念函數(shù)兩個集合A，B設A，B是兩個非空數(shù)集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應知識點二知識點二函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).知識點三知識點三函數(shù)的表示方法1.函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法．同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．2.【易混辨析】（1）判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應法則是否相同．（2）從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.知識點四知識點四分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).知識點五知識點五區(qū)間的概念1.一般區(qū)間的表示．設a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2.特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)3.特別提醒：(1)關注實心點、空心圈：用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．(2)區(qū)分開和閉：在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆．(3)正確理解“∞”：“∞”是一個趨向符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢．以“－∞”和“＋∞”為區(qū)間的一端時，這一端點必須用小括號．常考題型剖析?？碱}型剖析題型一：函數(shù)的概念【典例分析】例1-1.（2022秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考階段練習）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．B．C．D．例1-2.（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）映射由德國數(shù)學家戴德金在1887年提出，曾被稱為“基礎數(shù)學中最為美妙的靈魂”，在計算機科學、數(shù)學以及生活的方方面面都有重要的應用．例如，在新高考中，不同選考科目的原始分要利用賦分規(guī)則，映射到相應的賦分區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)換成對應的賦分后再計入總分．下面是某省選考科目的賦分規(guī)則：等級原始分占比賦分區(qū)間A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]轉(zhuǎn)換對應賦分T的公式：其中，Y1，Y2，分別表示原始分Y對應等級的原始分區(qū)間下限和上限；T1，T2，分別表示原始分對應等級的賦分區(qū)間下限和上限（T的結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）若小華選考政治的原始分為82，對應等級A，且等級A的原始分區(qū)間為[81，87]，則小華的政治成績對應的賦分為（

）A．91 B．92 C．93 D．94例1-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，則_________【規(guī)律方法】函數(shù)的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應關系是否分別相同．【變式訓練】變式1-1.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）在下列四組函數(shù)中，與不表示同一函數(shù)的是（）A．B．，C．D．變式1-2.某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.變式1-3.，x∈R.(1)計算的值；(2)計算的值．題型二：求函數(shù)的定義域例2-1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．例2-2.（2022·北京高考真題）函數(shù)的定義域是_________．例2-3.（2022秋·河南駐馬店·高三期中）已知的定義域為，則的定義域為__.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構(gòu)成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集．(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．3.求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢記不等式的性質(zhì)，學會利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函數(shù)的定義域、值域都是集合，要用適當?shù)谋硎痉椒右员磉_或依據(jù)題目的要求予以表達．【變式訓練】變式2-1.（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)．若的圖象經(jīng)過原點，則的定義域為（

）A． B．C． D．變式2-2.（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)的定義域為______．變式2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_____題型三：求函數(shù)的解析式【典例分析】例3-1.（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）寫出一個滿足：的函數(shù)解析式為______.例3-2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的定義域為，值域為，且，函數(shù)的最小值為2，則（

）A．12 B．24 C．42 D．126例3-3.（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x，都有，且當時，有成立.(1)證明：；(2)設，，若圖象上的點都位于直線的上方，求實數(shù)m的取值范圍.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式．2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿足某個等式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解．5.應用題求解析式可用待定系數(shù)法求解．【變式訓練】變式3-1.（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）若函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1變式3-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)_______，=_______．變式3-3.（2023·全國·模擬預測）已知，則______．題型四：求函數(shù)的值域【典例分析】例4-1.（2023·全國·高三專題練習）的值域為__________例4-2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為_________例4-3.（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）函數(shù)的最大值為______.【規(guī)律方法】函數(shù)值域的常見求法：(1)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．(2)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結(jié)合的方法．(3)基本不等式法：要注意條件“一正，二定，三相等”．（可見上一專題）(4)利用函數(shù)的單調(diào)性①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點處有定義，則該函數(shù)在端點處取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函數(shù)，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域；若ad＜0，則用換元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當x＞0時，函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為(0，eq\r(k)]，單調(diào)增區(qū)間為[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對勾函數(shù)，其圖象的轉(zhuǎn)折點為(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決．*(5)導數(shù)法利用導函數(shù)求出最值，從而確定值域．【變式訓練】變式4-1.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．變式4-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，x，y滿足，且，則t的取值范圍是_________．變式4-3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)證明：；題型五：分段函數(shù)及其應用【典例分析】例5-1.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.例5-2.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．例5-3．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍.【總結(jié)提升】1.分段函數(shù)求值的解題思路求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．2.解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略求解與分段函數(shù)有關的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式．應根據(jù)每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍．3.“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本原則；4.數(shù)形結(jié)合往往是解答選擇、填空題的“捷徑”.【變式訓練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6變式5-2.（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D．變式5-3.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實數(shù)的取值范圍.題型六：根據(jù)定義域、值域（最值）求參數(shù)【典例分析】例6-1.（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)當時，取得最小值，則m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．例6-2.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．例6-3．（2022·河南鄭州·鄭州外國語學校統(tǒng)考一模）已知函數(shù),若存在及,使得成立,則的取值范圍為___________.【規(guī)律方法】已知函數(shù)的定義域（值域）求參數(shù)問題的解題步驟(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域、值域（最值）問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題；(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．【變式訓練】變式6-1.（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學）已知函數(shù)的定義域，值域，則（

）．A． B． C． D．變式6-2.（2021·全國高一課時練習）已知a>，則函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a(chǎn)2+1 B．a(chǎn)+C．a(chǎn)- D．a(chǎn)-變式6-3.（2023·北京·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．一、單選題1．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知函數(shù)，那么（

）A．7 B．6 C．5 D．43．（2023春·北京海淀·高三清華附中校考階段練習）已知函數(shù)，對于任意的，總有（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．5．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）若函數(shù)滿足：，且，則（

）A．2953 B．2956 C．2957 D．2960二、多選題6．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知定義在上的函數(shù)不恒等于零，同時滿足，且當時，，那么當時，下列結(jié)論不正確的為（

）A． B．C． D．三、填空題7．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則______．8.（2019·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.9．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)的值域為______________10.（江蘇高考真題）已知實數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________11．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是___．四、解答題12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．(1)證明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．專題3.1函數(shù)的概念及其表示【核心素養(yǎng)】1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2.考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3.與不等式、方程等相結(jié)合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應用及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一函數(shù)的概念函數(shù)兩個集合A，B設A，B是兩個非空數(shù)集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應知識點二知識點二函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).知識點三知識點三函數(shù)的表示方法1.函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法．同一個函數(shù)可以用不同的方法表示．2.【易混辨析】（1）判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應法則是否相同．（2）從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.知識點四知識點四分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).知識點五知識點五區(qū)間的概念1.一般區(qū)間的表示．設a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2.特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)3.特別提醒：(1)關注實心點、空心圈：用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．(2)區(qū)分開和閉：在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆．(3)正確理解“∞”：“∞”是一個趨向符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢．以“－∞”和“＋∞”為區(qū)間的一端時，這一端點必須用小括號．?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：函數(shù)的概念【典例分析】例1-1.（2022秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學?？茧A段練習）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依次判斷每個選項中兩個函數(shù)的定義域和解析式是否完全相同，由此可得結(jié)果.【詳解】對于A，與定義域均為，，與為相等函數(shù)，A正確；對于B，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，B錯誤；對于C，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，C錯誤；對于D，定義域為，定義域為，與不是相等函數(shù)，D錯誤.故選：A.例1-2.（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）映射由德國數(shù)學家戴德金在1887年提出，曾被稱為“基礎數(shù)學中最為美妙的靈魂”，在計算機科學、數(shù)學以及生活的方方面面都有重要的應用．例如，在新高考中，不同選考科目的原始分要利用賦分規(guī)則，映射到相應的賦分區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)換成對應的賦分后再計入總分．下面是某省選考科目的賦分規(guī)則：等級原始分占比賦分區(qū)間A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]轉(zhuǎn)換對應賦分T的公式：其中，Y1，Y2，分別表示原始分Y對應等級的原始分區(qū)間下限和上限；T1，T2，分別表示原始分對應等級的賦分區(qū)間下限和上限（T的結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）若小華選考政治的原始分為82，對應等級A，且等級A的原始分區(qū)間為[81，87]，則小華的政治成績對應的賦分為（

）A．91 B．92 C．93 D．94【答案】C【分析】根據(jù)賦分公式，分別代入數(shù)據(jù)等級A賦分區(qū)間[91,100]及原始分區(qū)間[81,87]的端點即可得出結(jié)果.【詳解】等級A賦分區(qū)間[91,100]，原始分區(qū)間為[81,87]，據(jù)賦分公式，得，解得．故選：C．例1-3.（2023·全國·高三專題練習）已知，則_________【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出，進而可得，由此可得結(jié)果.【詳解】解：因為，所以，所以，所以故答案為：【規(guī)律方法】函數(shù)的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應關系是否分別相同．【變式訓練】變式1-1.【多選題】（2023·全國·高三專題練習）在下列四組函數(shù)中，與不表示同一函數(shù)的是（）A．B．，C．D．【答案】ACD【分析】通過函數(shù)的定義域，對應法則是否一致進行判斷.【詳解】對于A，的定義域為，而的定義域為，所以不是同一函數(shù)；對于B，因為時，；時，；所以表示同一函數(shù)；對于C，的定義域為，而的定義域為，所以不是同一函數(shù)；對于D，的定義域為，而的定義域為，所以不是同一函數(shù)；故選：ACD.變式1-2.某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.【答案】見解析【解析】(1)列表法：x(臺)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖象法：如圖所示：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．變式1-3.，x∈R.(1)計算的值；(2)計算的值．【答案】【解析】思路分析：(1)將函數(shù)的自變量代入計算即可，(2)可以分別將的函數(shù)值算出再相加，也可以根據(jù)待求式中數(shù)據(jù)的特征，結(jié)合(1)中所得結(jié)果求解．詳解：(1)由于，，所以.(2)解法一：因為，，，，，，，所以.解法二：因為，從而，即，而，所以.題型二：求函數(shù)的定義域例2-1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，則有，解得或.因此，函數(shù)的定義域為.故選：A.例2-2.（2022·北京高考真題）函數(shù)的定義域是_________．【答案】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：例2-3.（2022秋·河南駐馬店·高三期中）已知的定義域為，則的定義域為__.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】∵，∴，∴，∴.即的定義域為.故答案為：【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構(gòu)成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集．(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．3.求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢記不等式的性質(zhì)，學會利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函數(shù)的定義域、值域都是集合，要用適當?shù)谋硎痉椒右员磉_或依據(jù)題目的要求予以表達．【變式訓練】變式2-1.（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)．若的圖象經(jīng)過原點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點在函數(shù)的圖象上及偶次根式有意義即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.要使有意義，只需要，所以的定義域為.故選：A.變式2-2.（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）函數(shù)的定義域為______．【答案】【分析】求函數(shù)的定義域，保證根號下的式子大于等于0，分母不為0即可.【詳解】，，或所以定義域為：.故答案為：變式2-3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_____【答案】【分析】令進行換元，根據(jù)已知函數(shù)的定義求u的范圍即可.【詳解】令，由得：，所以，即，所以，函數(shù)的定義域為.故答案為：題型三：求函數(shù)的解析式【典例分析】例3-1.（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）寫出一個滿足：的函數(shù)解析式為______.【答案】【分析】賦值法得到，，求出函數(shù)解析式.【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設，滿足要求.故答案為：例3-2．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的定義域為，值域為，且，函數(shù)的最小值為2，則（

）A．12 B．24 C．42 D．126【答案】D【分析】方法一：采用賦值法及基本不等式可得，從而結(jié)合條件可化簡得，累加求和即可；方法二：特殊函數(shù)法由題意不妨設滿足條件，依次求函數(shù)值即可.【詳解】解：方法一令，有，則滿足，又因為，所以，因為，所以，所以，所以，方法二：抽象出特殊函數(shù)，其滿足題目要求，從而快速求得答案，故選：D例3-3.（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x，都有，且當時，有成立.(1)證明：；(2)設，，若圖象上的點都位于直線的上方，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意，時，恒成立，即，得證；（2）求出函數(shù)的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，再分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)并求函數(shù)最值即可得解.【詳解】（1）由知：恒成立．又因x＝2時，恒成立，∴（2）由（1）知，而，聯(lián)立解得：，即，則，顯然，否則恒成立，矛盾，因此，若二次函數(shù)值永遠不小于0，則，即，解得，，則，因，函數(shù)圖象上的點位于直線的上方，則，恒成立，所以，所以，即，當時，成立，此時，因此，，所以，當時，，當且僅當，即時取“=”，從而有，綜合得：，所以實數(shù)m的取值范圍是.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式．2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿足某個等式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解．5.應用題求解析式可用待定系數(shù)法求解．【變式訓練】變式3-1.（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）若函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】將和分別代入，聯(lián)立即可求解.【詳解】代入可得①，代入可得②聯(lián)立①②解得，故選：B變式3-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則函數(shù)_______，=_______．【答案】11【分析】利用換元法可求出，進一步可得.【詳解】令，則，所以，所以，所以.故答案為：；.變式3-3.（2023·全國·模擬預測）已知，則______．【答案】/2.5【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，令，得，代入函數(shù)解析式計算即可求解.【詳解】由題意得，，令，由，得，∴．故答案為：.題型四：求函數(shù)的值域【典例分析】例4-1.（2023·全國·高三專題練習）的值域為__________【答案】【分析】通過換元法，求換元后的值域即可.【詳解】設則，，故函數(shù)的值域為.故答案為：例4-2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為_________【答案】【分析】將函數(shù)兩邊同時平方，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.【詳解】由已知得函數(shù)的定義域為，，，又，，又，故答案為：.例4-3.（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）函數(shù)的最大值為______.【答案】或【分析】依題意可得，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，令，則，令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，即函數(shù)的最大值為，當且僅當時取等號.故答案為：【規(guī)律方法】函數(shù)值域的常見求法：(1)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．(2)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結(jié)合的方法．(3)基本不等式法：要注意條件“一正，二定，三相等”．（可見上一專題）(4)利用函數(shù)的單調(diào)性①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點處有定義，則該函數(shù)在端點處取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則y最?。絝(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則y最?。絝(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函數(shù)，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域；若ad＜0，則用換元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當x＞0時，函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為(0，eq\r(k)]，單調(diào)增區(qū)間為[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對勾函數(shù)，其圖象的轉(zhuǎn)折點為(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決．*(5)導數(shù)法利用導函數(shù)求出最值，從而確定值域．【變式訓練】變式4-1.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，定義域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)和分段函數(shù)的性質(zhì)，逐個選項進行判斷即可得到答案.【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，值域也為，不符合題意；對于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；對于D：的定義域為；當時，；當時，；所以值域為，定義域和值域不相同，符合題意；故選：D．變式4-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，x，y滿足，且，則t的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二次函數(shù)求取值范圍.【詳解】∵，解得，∴，又∵，則，對于，可知二次函數(shù)開口向上，對稱軸，故當時，取到最小值；當時，取到最大值；故，即t的取值范圍是.故答案為：.變式4-3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)證明：；【答案】(1)(2)證明見解析．【分析】(1)根據(jù)倒數(shù)代換和二次函數(shù)的值域以及反比例函數(shù)的特點即可求解.(2)根據(jù)函數(shù)不動點的定義即可求解.【詳解】（1），設，則有，所以函數(shù)的值域為；（2）當時，此時顯然；當時，必有兩點位于函數(shù)圖像上，且兩點關于直線對稱．又因為，所以．因為當時，．即對恒成立，所以不存在兩點關于直線對稱．綜上，．題型五：分段函數(shù)及其應用【典例分析】例5-1.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.例5-2.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．【答案】/【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當時，由可得，所以，當時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.例5-3．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)0(2)【分析】（1）由題意分別畫出三個函數(shù)的圖象，即可分析出的圖象，通過圖象可得最小值；（2）設，可知恒過點，作圖并分類討論，結(jié)合條件根據(jù)圖象，求出k的取值范圍.【詳解】（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)，，的圖象，如圖1所示，由，解得或；由，解得或.由圖象易得，結(jié)合圖象可知，當時，取得最小值，即.（2）設，則恒過點，因為，所以記，由（1）知，的圖象如圖2所示，當時，，即，所以，不等式恒成立.當時，易知直線AM的斜率，由圖象可知，根據(jù)恒成立，可得，解得，所以，綜上所述，k的取值范圍是.【總結(jié)提升】1.分段函數(shù)求值的解題思路求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．2.解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略求解與分段函數(shù)有關的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式．應根據(jù)每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍．3.“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本原則；4.數(shù)形結(jié)合往往是解答選擇、填空題的“捷徑”.【變式訓練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．-6 B．0 C．4 D．6【答案】A【分析】由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得，進而求目標函數(shù)值.【詳解】由分段函數(shù)知：當時，周期，所以，所以．故選：A變式5-2.（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】因，又當時，，當，，時，，則，，當，，時，，則，，作出函數(shù)的大致圖象，對任意，都有，設的最大值為，則，且所以，解得所以m的最大值為.故選：A.變式5-3.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計算即可；（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.【詳解】解：（1）因為，所以，因為，所以.（2）因為，則，因為，所以，即，解得.題型六：根據(jù)定義域、值域（最值）求參數(shù)【典例分析】例6-1.（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)當時，取得最小值，則m的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】通過分段函數(shù)進行求導，取得最小值，從而可得，當時，取得最小值，繼而可求出結(jié)論.【詳解】由題可知解得．故選：B.例6-2.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1例6-3．（2022·河南鄭州·鄭州外國語學校統(tǒng)考一模）已知函數(shù),若存在及,使得成立,則的取值范圍為___________.【答案】【分析】由題意即為當及時,函數(shù)的值域有交集,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩個函數(shù)的值域,先求沒有交集的情況,再取其補集即可.【詳解】根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)易知函數(shù)在上的值域為，函數(shù)在上的值域為.若函數(shù)值域和函數(shù)的值域沒有交集,則或,解得或,所以要使當及時,函數(shù)的值域有交集,則.故答案為：.【規(guī)律方法】已知函數(shù)的定義域（值域）求參數(shù)問題的解題步驟(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域、值域（最值）問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題；(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍．【變式訓練】變式6-1.（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學）已知函數(shù)的定義域，值域，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和值域分析列式求解，進而可得集合，再根據(jù)交集運算求解.【詳解】∵，由題意可得，解得，可得，故.故選：B.變式6-2.（2021·全國高一課時練習）已知a>，則函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a(chǎn)2+1 B．a(chǎn)+C．a(chǎn)- D．a(chǎn)-【答案】D【解析】先化簡函數(shù)的解析式得再分類討論，求出每一段的最小值，即得函數(shù)的最小值.【詳解】函數(shù)f(x)=x2+|x-a|=當x≥a>時，函數(shù)f(x)=x2+x-a的對稱軸方程為x=-，函數(shù)在[a，+∞)上單調(diào)遞增，其最小值為a2；當x<a時，f(x)=x2-x+a的對稱軸方程為x=，當x=時函數(shù)求得最小值為a-.因為a2-=a2-a+=>0.所以a2>a-.所以函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.故選：D變式6-3.（2023·北京·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【詳解】由，可知，解得，故答案為：.一、單選題1．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由根式性質(zhì)求函數(shù)定義域得集合B，應用集合交運算求結(jié)果.【詳解】由題設，則.故選：A2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，那么（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念代入解析式計算即可.【詳解】因