第52講、立體幾何中的軌跡問(wèn)題（教師版）

第52講立體幾何中的軌跡問(wèn)題知識(shí)梳理立體幾何中的軌跡問(wèn)題常用的五種方法總結(jié)：1、定義法2、交軌法3、幾何法4、坐標(biāo)法5、向量法必考題型全歸納題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡例1．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：

①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由面，而面，則，又，又，面，則面，由面，則，同理，，面，則面，所以垂直于面所有直線，且面，若，則在邊長(zhǎng)為的正△的邊上，故軌跡圖形面積為，①對(duì)；若分別為中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)易得，，所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，所以軌跡長(zhǎng)為，②錯(cuò)；若分別為的中點(diǎn)，連接，顯然，所以共面，即面，由，面，面，則面，又，同理可得面，，面，所以面面，故面內(nèi)任意直線都與面平行，要使∥平面，則在四邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)軌跡長(zhǎng)為，③對(duì)；若分別是的中點(diǎn)，并依次連接，易知為正六邊形，顯然，，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，由面，則面，故垂直于面所有直線，要使，則在邊長(zhǎng)為的正六邊形邊上運(yùn)動(dòng)，所以軌跡圖形面積為，④對(duì)；故選：C例2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E在棱上且滿足，點(diǎn)F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，并連接、、，因?yàn)镋在棱上且滿足，即E是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡即為，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，由勾股定理有：.故答案為：.例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且∥平面EFG，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

【答案】2【解析】因?yàn)椤危瑒t四點(diǎn)共面，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為所在棱的中點(diǎn)，則∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，因?yàn)镕，G分別為所在棱的中點(diǎn)，則∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，，平面，所以平面FGE∥平面，且平面平面，可得當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在棱BC上時(shí)，即平面，滿足∥平面EFG，所以點(diǎn)P的軌跡為線段BC，長(zhǎng)度為2.故答案為：2.變式1．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．若側(cè)面的中心為，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，且的軌跡長(zhǎng)度為，則三棱柱的表面積為．

【答案】/【解析】連接交于，取的中點(diǎn)，過(guò)作，分別交于，連接，易得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，因?yàn)?，且都在面?nèi)，所以平面平面，所以的軌跡為線段，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，故三棱柱的表面積為.故答案為：.變式2．（2024·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.

【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)椋矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)在平面的軌跡為.所以.故答案為：變式3．（2024·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別在線段和線段上，且，，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】如圖，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，連接.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，且.同理可得，，且，.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且，所以，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?同理可得，平面.因?yàn)槠矫?，平面，，所以，平面平?又平面平面，所以，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，只有在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足條件.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，且，，所以，.故答案為：.變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是．【答案】【解析】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)M滿足平面，由面面平行的性質(zhì)得：當(dāng)始終在一個(gè)與平面平行的面內(nèi)，即滿足題意，連接，，，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因平面，所以平面平面，又平面，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域?yàn)?，，，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是.故答案為：.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：分別是棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)?，所以平面平?因?yàn)辄c(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，所以的軌跡為線段，則.故答案為：.變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】/【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連結(jié)．正方體的棱長(zhǎng)為2．為中點(diǎn)，所以，所以且．因?yàn)闉榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槊婷?，所以面．同理可證：面．又面面，所以面面．所以點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為三角形．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，所以三角形的周長(zhǎng)為．故答案為：.變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為的正四面體，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平面平面，則平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為.【答案】【解析】設(shè)的外心為，的中點(diǎn)為，過(guò)作的平行線，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，，，，，，，設(shè)，由得：，整理可得：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，，，則，，又平面，平面，平面，平面，由，平面，平面平面，即平面為平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，，，即，點(diǎn)到直線的距離，截面圓的半徑，球被平面截得的截面圓周長(zhǎng)為，即平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為.故答案為：.題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P、Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，若MP與CQ垂直，則點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.【答案】【解析】如圖，只需過(guò)點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.分別取，的中點(diǎn)R，S，由，知，易知，又，，平面ABRS，所以平面ABRS，過(guò)P作平面ABRS的平行平面，點(diǎn)M的軌跡為四邊形，其周長(zhǎng)與四邊形ABRS的周長(zhǎng)相等，其中，，所以點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.故答案為：例5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校考二模）在正四棱柱中，，E為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為.【答案】/【解析】如圖，連接，，由題可知，，平面.因平面，則.又平面，平，，則平面.又平面，則；如圖，過(guò)E做平行線，交于F，則F為中點(diǎn).連接，過(guò)做垂線，交于G.由題可得，平面，又，則平面.因平面，則.又平面，平面，，則平面.因平面，則；因平面，平面，，則平面.連接，則點(diǎn)P軌跡為平面與四棱柱的交線，即.注意到，，則，故.則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為.故答案為：.例6．（2024·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則正方體的體積是.【答案】【解析】如圖所示：正方體，設(shè)，則內(nèi)切球的半徑，其中為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接,則有：,又,平面，所以平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是平面截內(nèi)切球的交線，即平面截內(nèi)切球的交線，因?yàn)檎襟w，，如圖所示：連接,則有且，，且，設(shè)到平面的距離為：，則在三棱錐中，有，所以，即，解得：，截面圓的半徑，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為：，即，解得，所以，正方體的體積：，故答案為：.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為4，空間內(nèi)的點(diǎn)滿足，且，則滿足條件的所形成曲線的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】/【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，易知，因?yàn)?，且，所以點(diǎn)在以，為直徑的球上，球心分別為，，半徑分別為，，即，，又，所以，即，過(guò)作，垂足為，則，因?yàn)閮汕虻慕痪€為圓，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.變式9．（2024·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【解析】作母線，，連接，因?yàn)?，所以共面，是圓柱的一個(gè)截面，平面，平面，所以，又由已知得，而，平面，所以平面，由得，所以平面，矩形即為點(diǎn)軌跡，，則，又，所以矩形的面積為．故答案為：10.變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【解析】因?yàn)槭菆A柱下底面圓的直徑，所以，又，，平面，所以平面，設(shè)過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又點(diǎn)在圓柱的表面，所以點(diǎn)的軌跡是矩形，依題意得，，，所以，所以矩形的面積為.故點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：.變式11．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界上），且始終滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是.【答案】【解析】在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)椋?，則四邊形為菱形，所以，，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以?在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)?，、平面，所以，平面，由于?dòng)點(diǎn)又在內(nèi)，所以動(dòng)點(diǎn)在平面與平面的交線上，因?yàn)?，，，所以，，由等面積法可得，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是.故答案為：.變式12．（2024·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末），分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.

【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，設(shè)，則，，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，因?yàn)槊妫?，所以面，因?yàn)檎襟w中面，面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為矩形，在直角中，所以矩形面積為.即點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：變式13．（2024·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校┤鐖D，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．

【答案】【解析】因?yàn)槭菆A柱下底面圓的直徑，所以，又，，，平面，所以平面，設(shè)過(guò)A的母線與上底面的交點(diǎn)為，過(guò)的母線與上底面的交點(diǎn)為，連，，，則四邊形為矩形，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，又點(diǎn)在圓柱的表面，所以點(diǎn)的軌跡所圍成圖形是矩形，依題意得，，，所以，所以矩形的面積為，故點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．故答案為：．變式14．（2024·陜西榆林·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．若，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡的長(zhǎng)度為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、，設(shè)，如下圖所示．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，，，所以，，所以，，所以，，所以，，即．在正方體中，平面，又平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，又，、平面，所以，平面．所以點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡為的三邊，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，由勾股定理可得，同理可得，，所以的周長(zhǎng)為．故選：C．題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡例7．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】/【解析】由題意，在面的軌跡是以為圓心，半徑為的四分之一圓弧，所以軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：例8．（2024·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【解析】在正方體中，如圖，平面，平面，則，而，，，平面，于是平面，又平面，則，同理，而，，平面，因此平面，令交平面于點(diǎn)，由，得，即，解得，而，于是，因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，滿足，則，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在內(nèi)的圓弧，而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，于是正的內(nèi)切圓半徑，則，即，，所以圓在內(nèi)的圓弧為圓周長(zhǎng)的，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為故答案為：例9．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)的軌跡是在面，，三個(gè)面內(nèi)以1為半徑，圓心角為的三段弧，所以此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)的軌跡的長(zhǎng)度為，故答案為：變式15．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi)，可能在平面內(nèi).當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，由平面，平面，可知，所以，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內(nèi)部的交線.如上圖，，，則的長(zhǎng)，所以，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是.同理可得，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度也是.當(dāng)點(diǎn)在平面時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度也是.綜上所述，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.變式16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，當(dāng)點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是；當(dāng)P在該球的球面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】圓【解析】設(shè)球的半徑為r，則，解得r＝3，在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡組成一個(gè)圓，以線段AB所在直線為x軸，以靠近點(diǎn)B且長(zhǎng)度為1處為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，設(shè)其圓心為，則在空間中，z軸和xOy坐標(biāo)平面垂直，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為xOy平面中的圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成球的球面，如圖所示，所以點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)球面的交線，這兩個(gè)球分別是以M和為球心，在中，結(jié)合余弦定理得到.設(shè)交線所圍成的圓半徑為R.則，解得.所以交線的長(zhǎng)度為.故答案為：圓；變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【解析】如圖取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，則為的四等分點(diǎn)且，由正四棱柱的性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，連接交于點(diǎn)，因?yàn)槭莻?cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，所以線段即為點(diǎn)的軌跡，如圖在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)、，，依題意，，所以，要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為8的正方體中，平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)E滿足，點(diǎn)P為正方體表面一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡周長(zhǎng)為．【答案】【解析】，則在的延長(zhǎng)線上，且，由正方體性質(zhì)知平面，當(dāng)在平面上時(shí)，平面，，由得，因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內(nèi)的部分即圓周的，弧長(zhǎng)為，從而知點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的三個(gè)面內(nèi)．當(dāng)在棱上時(shí)，，，因此點(diǎn)在面時(shí)，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，圓弧的圓心角為，弧長(zhǎng)為，同理點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度也為，所以所求軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：．變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量則有，令，則則設(shè)，則∵，則又∵PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在空間中，滿足PM=PD的P為過(guò)MD的中點(diǎn)且與MD垂直的平面兩個(gè)平面的公共部分為直線，即點(diǎn)P的軌跡為平面A′C′D，則故答案為：．變式20．（2024·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）三棱錐的體積為，底面三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形且其中心為，三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【解析】三棱錐的體積為，底面三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形，設(shè)三棱錐的高為所以，故，又正三角形的外接圓半徑為，則，又三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，所以三棱錐的外接球半徑，即，又因?yàn)轫旤c(diǎn)到底面的距離為，所以頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周（球心在底面和截面圓之間）且球心到該截面圓的距離為，所以截面圓的半徑為，故頂點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是．故答案為：．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)(含邊界)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．【答案】【解析】如圖，過(guò)作于，平面于，過(guò)作于，連接，則為二面角的平面角，由，得．又，所以，在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，直線的方程為，所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的軌跡為線段，長(zhǎng)度為．故答案為：．題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡例10．（2024·山東·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使A到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.設(shè)P為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)則∴\,∵∴,∴整理化簡(jiǎn)得：∴P的軌跡為圓，交于,于,則∴所對(duì)應(yīng)的圓心角，∴弧長(zhǎng)為．故答案為：．例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為.【答案】/【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由，知，化簡(jiǎn)整理得，，圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，即為圖中的其中，，，則由弧長(zhǎng)公式知故答案為：.例12．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為．【答案】【解析】如圖所示，取BC中點(diǎn)G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，故N點(diǎn)在以G為原點(diǎn)為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，所以長(zhǎng)為.故答案為：.變式22．（2024·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)的軌跡所圍成的周長(zhǎng)為．【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，因?yàn)槠矫妫?，又，且與相交，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，∴是平面所成的角，∴．由可得，，即．在四面體中，，平面，所以，所以為的中心，又，．∴四面體為正三棱錐，如圖所示：在等邊三角形中，，，∵，∴，即在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，∴周長(zhǎng)為.故答案為：變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為a；使直線平面BDC的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為c．則a，b，c的大小關(guān)系為．（用“＜”符號(hào)連接）【答案】b＜c＜a【解析】若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)的軌跡為球的表面與正方體交軌，在平面內(nèi)，的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧，由對(duì)稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內(nèi)和平面內(nèi)，故的軌跡長(zhǎng)度；若平面，則點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面與正方體交軌，而平面平面，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三角形的周長(zhǎng)（除掉點(diǎn)，不影響周長(zhǎng)），故，若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體交軌，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對(duì)角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，∵，∴，即．故答案為：．變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為．【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因?yàn)?，所以，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.變式25．（2024·山西大同·高一統(tǒng)考期中）已知是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且．二面角的大小為，則點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】【解析】由題意，為等腰直角三角形，且外接圓半徑，圓心為中點(diǎn)，又外接球半徑，球心，則，易知：為等腰直角三角形，又二面角的大小為，由為外接圓直徑，且面面，則與面所成角為，所以到外接圓圓心距離，故外接圓的半徑為，注意：根據(jù)二面角大小及球體的對(duì)稱性，如上圖示，軌跡在大球冠對(duì)應(yīng)外接圓優(yōu)弧的一側(cè)，在小球冠對(duì)應(yīng)外接圓劣弧的一側(cè)，所以軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：變式26．（2024·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長(zhǎng)方體形、圓錐形等，但最常見(jiàn)的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因?yàn)閷Ⅳ兆影蛇@樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個(gè)粽子的外形是正三棱錐，其側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)分別是8cm和6cm，是頂點(diǎn)在底面上的射影．若是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與底面所成角的正切值為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．

【答案】【解析】由題意可知是底面等邊三角形的的中心，所以,進(jìn)而,連接,由于底面，所以即為直線與底面所成的角，所以,因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，所以的軌跡長(zhǎng)為,故答案為：變式27．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，連接，因?yàn)椤推矫妫矫?，所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，則，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，故軌跡長(zhǎng)度為.故選：B變式28．在正方體中，動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】A【解析】因?yàn)?，故在圓錐面上，該圓錐以為軸，為頂點(diǎn)，而M在底面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡是以D為圓心的四分之一圓?。蔬x：A.題型五：投影求軌跡例13．（2024·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D為線段BC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿線段AD折起至，使二面角的大小為120°，則在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．不存在點(diǎn)，使得B．點(diǎn)在平面上的投影軌跡是一段圓弧C．與平面所成角的余弦值的取值范圍是D．線段的最小值是【答案】D【解析】過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線,交AD于點(diǎn)E,連接,,過(guò)點(diǎn)作BE的垂線,交BE于點(diǎn)H,易知,則平面,所以為二面角的平面角的補(bǔ)角,即,所以,即H為BE的中點(diǎn),易知平面平面,又,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影為點(diǎn)H,對(duì)于選項(xiàng)A,若,連接CH,則,而這是不可能成立的,故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?所以點(diǎn)E的軌跡為以AB為直徑的一段圓弧,又H為BE的中點(diǎn),所以點(diǎn)H的軌跡也為一段圓弧,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,連接AH,則與平面ABC所成的角為,設(shè),則,所以由,得,所以,所以,所以,所以,故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè),則,,,其中,故,故D錯(cuò)誤,故選:D例14．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于兩端點(diǎn)），沿翻折至，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法不正確的是（

）．A．線段為定長(zhǎng) B．C． D．點(diǎn)的軌跡是圓弧【答案】B【解析】翻折后的立體圖形，如圖所示．對(duì)A，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，所以平面，又平面，所以，故為直角三角形，又為斜邊的中點(diǎn)，所以為定長(zhǎng).故A正確．對(duì)C，當(dāng)在處時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)與重合，故，又在中，，因?yàn)闉榫€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于兩端點(diǎn)），所以.故C正確．對(duì)D，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是圓?。蔇正確．故選：B．例15．（2024·江西贛州·高二南康中學(xué)校考階段練習(xí)）在等腰直角中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿翻折使，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．線段為定長(zhǎng) B．C．線段的長(zhǎng) D．點(diǎn)的軌跡是圓弧【答案】B【解析】如圖所示，對(duì)于A中，在為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，為定長(zhǎng)，即A正確；對(duì)于C中，點(diǎn)D在M時(shí)，此時(shí)點(diǎn)O與M點(diǎn)重合，此時(shí)，，此時(shí)，即正確；對(duì)于D，由A可知，根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)O的軌跡是圓弧，即D正確；故選B．變式29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．【答案】/【解析】連接,因?yàn)?，所?所以,在照射過(guò)程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是球的半徑，即，如圖，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為，由題意得，因?yàn)椋?，所以，得，所以橢圓的離心率為，故答案為：變式30．（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中校考期中）如圖，在中，，，.過(guò)的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】【解析】因?yàn)榉矍昂箝L(zhǎng)度不變，所以點(diǎn)可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因?yàn)榈耐队笆冀K在上，所以點(diǎn)所在的面垂直于底面，故點(diǎn)軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個(gè)圓弧的直徑為時(shí)，的長(zhǎng)度（由余弦定理可得，所以此時(shí)），如圖，以底面點(diǎn)B為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即由，，根據(jù)空間兩點(diǎn)之間距離公式可得軌跡：，又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)要符合空間面翻折結(jié)論：，即，其中，又動(dòng)點(diǎn)N在線段AB上動(dòng)，設(shè)，故，且，由，可計(jì)算得橫坐標(biāo)范圍為，且點(diǎn)在上方，由，計(jì)算可得圓弧所在扇形圓心角為，所以弧長(zhǎng)為.故答案為：.變式31．（2024·北京·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點(diǎn)在平面上的投影為，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】根據(jù)折疊關(guān)系找出與有關(guān)的幾何關(guān)系，得出點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，再考慮在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的弧長(zhǎng)即可求解.在折疊后的圖中，作垂足為，連接，根據(jù)三垂線定理，，所以就是二面角的平面角為，，根據(jù)折疊關(guān)系，與全等，對(duì)應(yīng)邊上的高位置相同，即在線段上，且是線段的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓的一部分，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)在圓周上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，這段弧所對(duì)圓心角為，這段弧長(zhǎng)為.故答案為：題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形中，是的中點(diǎn)，，將沿折起得到，設(shè)的中點(diǎn)為，若將繞旋轉(zhuǎn)，則在此過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】/【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，繞旋轉(zhuǎn)，此時(shí)平面平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接.，，和是等腰直角三角形，且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持形狀大小不變，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，又面，面，面，同理面，又，面面，又平面平面，故面面，又面面，，故面，又面，，故動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：.例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）矩形ABCD中，，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在范圍內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)A'的軌跡長(zhǎng)度為【答案】；【解析】取的中點(diǎn)為，連接，則，故在以球心，為半徑的球面上.過(guò)作，垂足為，連接，則.在矩形中，，故，故，而，故平面，故在過(guò)且垂直于的平面上，所以在以為圓心，為半徑的圓上，而為二面角的平面角，故，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故答案為：.例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內(nèi)的射影，如圖，，，而，則，在所在平面內(nèi)以點(diǎn)E為原點(diǎn)，射線ED、分別為x，y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，于是得，整理得，從而得點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，顯然，圓M在內(nèi)的部分是圓心角所對(duì)的弧，弧長(zhǎng)為，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故答案為：變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，連接OB′，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因?yàn)镺B′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中點(diǎn)P，取CD中點(diǎn)Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點(diǎn)F軌跡的△EPQ，因?yàn)镋P＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長(zhǎng)為，所以點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為．故答案為：變式33．（2024·江蘇連云港·高二校考階段