第67講、圓錐曲線離心率題型全歸納（學(xué)生版）

第67講圓錐曲線離心率題型全歸納知識(shí)梳理求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；2、通過確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標(biāo)法：由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．必考題型全歸納題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．例2．（2024·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為.例3．（2024·海南海口·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線l與圓相切，與C交于另一點(diǎn)B，且，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．變式1．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（

）A． B． C． D．變式2．（2024·福建龍巖·福建省龍巖第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為變式3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的左焦點(diǎn)為F，直線與雙曲線C的右支交于點(diǎn)D，A，B為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為.變式4．（2024·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，為的左焦點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為．變式5．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考一模）如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢圓的離心率為.

變式6．（2024·陜西西安·校考三模）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為.變式7．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線交的漸近線于點(diǎn)，恰為的角平分線，則的離心率為．題型二：圓錐曲線第一定義例4．（2024·湖南株洲·高三?？茧A段練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為．例5．（2024·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，且四邊形的面積為，則的離心率為．例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，焦距為，與坐標(biāo)軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.變式9．（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段恰被軸平分，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3變式10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，分別為雙曲線Ε：的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），延長(zhǎng)交E于點(diǎn)C，若，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．變式11．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：（，），斜率為的直線l過原點(diǎn)O且與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．變式12．（2024·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（

）

A． B． C． D．變式14．（2024·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式15．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，，且的面積為，則的離心率是（

）A． B． C．2 D．3題型三：圓錐曲線第二定義例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5例8．（2024·北京石景山·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）例10．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線：虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為.例11．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．例12．（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓的離心率為．變式16．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，且雙曲線的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，則雙曲線的離心率為．變式17．（2024·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解例13．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例14．（2024·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（

）個(gè)A．2 B．4 C．6 D．8例15．（2024·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（

）A． B． C． D．變式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：利用正弦定理例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．例18．（2024·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．變式19．（2024·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)校考二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M，，，使得離心率，則e取值范圍為．變式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考開學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線：（，）和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，曲線與在第一象限交點(diǎn)為，且離心率之積為1.若，則該雙曲線的離心率為.題型七：利用余弦定理例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是C右支上一點(diǎn)，線段與C的左支交于點(diǎn)M．若，且，則的離心率為．例20．（2024·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為．例21．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為．變式22．（2024·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則（

）A． B．1 C． D．2變式23．（2024·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且，，，則雙曲線C的離心率是（

）A．7 B． C． D．變式24．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，直線與交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式25．（2024·江西撫州·高三黎川縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3變式26．（2024·廣西百色·高三貴港市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為．變式27．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A． B．C． D．變式28．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．題型八：內(nèi)切圓問題例22．（2024·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，傾斜角為的直線與雙曲線H在第一象限交于點(diǎn)P，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，若，則雙曲線H的離心率的取值范圍為.例23．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成菱形的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率．例24．（2024·廣東深圳·?？级＃┮阎獧E圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，P為橢圓上一點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），的內(nèi)切圓半徑為r，若r的最大值為，則橢圓的離心率為.變式29．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，右支上有一點(diǎn)M，滿足，的內(nèi)切圓與y軸相切，則雙曲線C的離心率為．變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率．變式31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率．變式32．（2024·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率．變式33．（2024·山東聊城·統(tǒng)考一模）是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，是的內(nèi)切圓圓心，若的面積等于的面積的3倍，則橢圓的離心率為.題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)例25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．例26．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．例27．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．變式34．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線（）在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則的最小值為2D．變式35．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．變式36．（2024·新疆·統(tǒng)考三模）在中，，，，橢圓和雙曲線以A，B為公共焦點(diǎn)且都經(jīng)過點(diǎn)C，則與的離心率之和為．題型十：利用最大頂角例28．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例29．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是橢圓C：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．變式37．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十一：基本不等式例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例32．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例33．（2024·山西運(yùn)城·高三期末）已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.題型十二：已知范圍例34．（2024·四川省南充市白塔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例35．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例36．（2024·全國(guó)·高三開學(xué)考試）設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．題型十三：例37．（2024·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．例39．（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十四：中點(diǎn)弦例40．（2024·全國(guó)·高三開學(xué)考試）已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（

）A． B． C． D．例41．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角例43．（2024·廣西·江南中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，分別是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在上存在點(diǎn)使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例44．（多選題）（2024·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2例45．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十六：利用漸近線的斜率例46．（2024·云南紅河·高三開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．例47．（2024·四川內(nèi)江·高三期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，兩點(diǎn)到軸的距離之和為，若以為直徑的圓過線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率的平方為．例48．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為.變式38．（2024·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，連接交另一條漸近線于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為.變式39．（2024·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的一條漸近線上的兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），．若為的左頂點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為變式40．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎?，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于兩點(diǎn).若，則C的離心率為.變式41．（2024·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）已知為原點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)，過作兩條漸近線的平行線，且與兩漸近線的交點(diǎn)分別為，平行四邊形的面積為1，則雙曲線的離心率為．變式42．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F是橢圓：（）的右焦點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，雙曲線：（，）與橢圓共焦點(diǎn)，若直線與雙曲線的一條漸近線平行，，的離心率分別為，，則的最小值為．變式43．（2024·安徽安慶·安慶一中?？既＃┻^雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．變式44．（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）已知雙曲線()，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，若與的面積相等(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式45．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，過平行于的一條漸近線的直線交于點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為.題型十七：坐標(biāo)法例49．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作的垂線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，是雙曲線的右頂點(diǎn)，連接，，并延長(zhǎng)分別交軸于點(diǎn)，.若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為.例50．（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，橢圓：()的右焦點(diǎn)為F，離心率為e，點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)且，，．若，則離心率e的最小值是．

例51．（2024·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（

）A． B．2C． D．變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率．變式47．（2024·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，且與軸平行，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是（

）A． B． C．2 D．3變式49．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考開學(xué)考試）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，直線分別交橢圓于點(diǎn)A，B，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．變式50．（2024·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．變式51．（2024·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．變式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在軸上方）.關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率的值為（

）A． B． C． D．變式53．（2024·陜西商洛·