基本不等式及其應(yīng)用12種常見(jiàn)考點(diǎn)（學(xué)生版）

更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)*第六感更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)基本不等式及其應(yīng)用12種常見(jiàn)考點(diǎn)考點(diǎn)1基本不等式的內(nèi)容及辨析1．（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)AC=a，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“a+b≥2”是“”的（

）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)2由基本不等式比較大小5．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）設(shè)，，，則（

）本*號(hào)資料全部來(lái)*源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A． B． C． D．7．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，則（

）*本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A． B．C． D．9．【多選】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．10．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．11．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，則實(shí)數(shù)滿足（

）A． B． C． D．12．【多選】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．13．【多選】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，，則（

）A． B．C． D．14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．15．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為m元和n元，甲、乙兩人購(gòu)買(mǎi)該商品的方式不同，甲每周購(gòu)買(mǎi)100元的該商品，乙每周購(gòu)買(mǎi)20件該商品，若甲、乙兩次購(gòu)買(mǎi)平均單價(jià)分別為，則（

）A．B．a(chǎn)1<a2 C．a(chǎn)1>考點(diǎn)3由基本不等式證明不等關(guān)系17．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且滿足.(1)證明：；(2)求的最小值.18．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且．(1)求abc的最大值；(2)求證：．19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足．(1)解不等式；(2)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，使．20．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足．(1)若，求證：；(2)若a，b，，求證：．21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．22．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．23．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).考點(diǎn)4基本不等式求積的最大值24．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．25．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為．26．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則.27．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為28．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)且，則的最大值為29．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與直線，若，則的最大值為.30．【多選】（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為本*號(hào)#資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感C．的最大值為 D．的最小值為31．【多選】（2022·廣東佛山·一模）在中，所對(duì)的邊為，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，的面積為，其中，，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若，則 B．的最大值為C． D．角的最小值為32．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)球的直徑為，球面上三個(gè)點(diǎn)，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．833．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50考點(diǎn)5基本不等式求和的最小值34．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）下列函數(shù)最小值為4的是（

）A． B．C． D．35．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．36．（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為.37．【多選】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．38．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若且，，則的最小值為．39．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．40．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，其中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2024·北京·三模）在中，分別是角的對(duì)邊，且，則角的取值范圍為．42．（2024·寧夏·二模）直線過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．6 D．543．（2024·寧夏石嘴山·三模）若函數(shù)，且的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上，則取最小值時(shí)，n=（）A．4 B．12 C．16 D．644．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)，若，，且，則的最小值是45．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為．46．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知正的邊長(zhǎng)為，中心為，過(guò)的動(dòng)直線與邊，分別相交于點(diǎn)、，，，.（1）若，則；（2）與的面積之比的最小值為.考點(diǎn)6二次與二次（或一次）的商式的最值47．（2021·浙江嘉興·二模）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為．本*號(hào)資料全部來(lái)源于微信公#眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感48．（2021·天津河西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小值為.49．（2020·江蘇南通·二模）已知，，，則的最大值為.50．（2018·江蘇常州·一模）已知，，2x+y=2，則的最大值為.51．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知，則的最小值是．52．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為.53．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的最大值為.考點(diǎn)7基本不等式“1”的妙用求最值54．（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．55．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．56．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則的最小值為．57．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為.58．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則的取值范圍為．59．（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．60．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是．61．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為．62．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過(guò)函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為.63．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）在中，，P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，則的最小值是.64．（2024·廣西柳州·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ABC=2π3，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則a+4c的最小值為．65．（23-24高一下·寧夏銀川·期中）在中，為上一點(diǎn)，，為線段上任一點(diǎn)，若，則的最小值是．66．（2024·陜西咸陽(yáng)·二模）已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為．考點(diǎn)8條件等式求最值67．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)不同的正數(shù)滿足，則的取值范圍是．68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為．69．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.70．（2024·四川成都·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（用表示）．71．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．本號(hào)資料全部來(lái)源于微#信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六*感72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為．73．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，b>12，，則的最大值為．74．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值是.考點(diǎn)9基本不等式的恒成立問(wèn)題75．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．2+22 B．4 C． D．76．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．77．（23-24高二下·陜西西安·期末）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．78．（2023·河南·二模）若不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.80．（2023·貴州黔東南·三模）正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.81．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為．本號(hào)資料全部來(lái)源于微#信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感82．（2024·山東濰坊·三模）已知均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值為；（2）若的圖象過(guò)點(diǎn)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．考點(diǎn)10對(duì)勾函數(shù)求最值83．（2024高二·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．在遞增 B．在遞減C．的最小值是 D．不存在反函數(shù)84．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）給出四個(gè)命題：①的最小值為2；②的最大值為；③的最小值為2；④的最小值為4．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．485．（22-23高一上·全國(guó)·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．86．【多選】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正確的有（

）A．若，則函數(shù)y=x2B．函數(shù)最小值為C．當(dāng)D．最小值等于487．【多選】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（）A． B．C． D．考點(diǎn)11容積的最值問(wèn)題88．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱.設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問(wèn)當(dāng)，各為多少米時(shí)，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.89．（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長(zhǎng)方形且面積為的三級(jí)污水處理池．由于地形限制，該處理池的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16m，且高度一定．如果四周池壁的造價(jià)為400元/，中間兩道隔墻的造價(jià)為248元/，池底造價(jià)為80元/，那么如何設(shè)計(jì)該處理池的長(zhǎng)和寬，才能使總造價(jià)最低？（池壁的厚度忽略不計(jì)）本號(hào)資料*全部來(lái)#源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感

90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米造價(jià)為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元．如果墻高為3m，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么房屋的總造價(jià)最低為元．91．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，∠BAC=π2，，為所在平面外一點(diǎn)，的面積為，且平面PAC⊥平面，，則三棱錐體積的最大值為（

）A．1 B． C． D．考點(diǎn)12基本（均值）不等式的應(yīng)用92．（2024·浙江金華·三模）某希望小學(xué)的操場(chǎng)空地的形狀是一個(gè)扇形，計(jì)劃在空地上挖一個(gè)內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個(gè)方案可供選擇.經(jīng)測(cè)量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為，比較兩種方案，沙坑面積最大值為.93．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，某體育公園廣場(chǎng)放置著一塊高為3米的大屏幕滾動(dòng)播放各項(xiàng)體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.94．（2024·山東濟(jì)南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為9，最短的棱長(zhǎng)為3，則該三棱錐的最大體積為（

）A． B． C．18 D．3695．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)求；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，，求線段長(zhǎng)度的最大值.96．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.(1)判斷的形狀；(2)若的外接圓半徑為，求周長(zhǎng)的最大值.97．（23-24高一上·山西朔州·階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2023年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足．如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2023年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固