第52講、立體幾何中的軌跡問(wèn)題（學(xué)生版）

第52講立體幾何中的軌跡問(wèn)題知識(shí)梳理立體幾何中的軌跡問(wèn)題常用的五種方法總結(jié)：1、定義法2、交軌法3、幾何法4、坐標(biāo)法5、向量法必考題型全歸納題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡例1．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：

①如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；③如果∥平面，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；④如果，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E在棱上且滿足，點(diǎn)F是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)面上的軌跡長(zhǎng)度為．例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)，P為平面內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且∥平面EFG，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

變式1．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．若側(cè)面的中心為，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，且的軌跡長(zhǎng)度為，則三棱柱的表面積為．

變式2．（2024·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.

變式3．（2024·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)，分別在線段和線段上，且，，點(diǎn)是正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)的軌跡在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度為.變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.變式6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為．變式7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為的正四面體，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平面平面，則平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為.題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中校考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)P、Q分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，若MP與CQ垂直，則點(diǎn)M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.例5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┰谡睦庵校?，E為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為.例6．（2024·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則正方體的體積是.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為4，空間內(nèi)的點(diǎn)滿足，且，則滿足條件的所形成曲線的軌跡的長(zhǎng)度為.變式9．（2024·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．變式10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．變式11．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界上），且始終滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是.變式12．（2024·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末），分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為.

變式13．（2024·四川廣元·高二廣元中學(xué)校考期中）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點(diǎn)，已知，，圓柱的高為5．若點(diǎn)在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為．

變式14．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．若，則點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡的長(zhǎng)度為（

）

A． B．C． D．題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡例7．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？计谀┰诶忾L(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)Q為側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為．例8．（2024·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.例9．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．變式15．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．變式16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，當(dāng)點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是；當(dāng)P在該球的球面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.變式17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值為．變式18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為8的正方體中，平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)E滿足，點(diǎn)P為正方體表面一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡周長(zhǎng)為．變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．變式20．（2024·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）三棱錐的體積為，底面三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形且其中心為，三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側(cè)面內(nèi)(含邊界)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為．題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡例10．（2024·山東·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使A到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.設(shè)P為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為.例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為.例12．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為．變式22．（2024·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)的軌跡所圍成的周長(zhǎng)為．變式23．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為a；使直線平面BDC的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為c．則a，b，c的大小關(guān)系為．（用“＜”符號(hào)連接）變式24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為．變式25．（2024·山西大同·高一統(tǒng)考期中）已知是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且．二面角的大小為，則點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為．變式26．（2024·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長(zhǎng)方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因?yàn)閷Ⅳ兆影蛇@樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個(gè)粽子的外形是正三棱錐，其側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)分別是8cm和6cm，是頂點(diǎn)在底面上的射影．若是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與底面所成角的正切值為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．

變式27．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．變式28．在正方體中，動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個(gè)答案都不對(duì)題型五：投影求軌跡例13．（2024·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，D為線段BC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿線段AD折起至，使二面角的大小為120°，則在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．不存在點(diǎn)，使得B．點(diǎn)在平面上的投影軌跡是一段圓弧C．與平面所成角的余弦值的取值范圍是D．線段的最小值是例14．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于兩端點(diǎn)），沿翻折至，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法不正確的是（

）．A．線段為定長(zhǎng) B．C． D．點(diǎn)的軌跡是圓弧例15．（2024·江西贛州·高二南康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等腰直角中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿翻折使，點(diǎn)在平面上的投影為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．線段為定長(zhǎng) B．C．線段的長(zhǎng) D．點(diǎn)的軌跡是圓弧變式29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．變式30．（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，.過(guò)的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.變式31．（2024·北京·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點(diǎn)在平面上的投影為，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則點(diǎn)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在矩形中，是的中點(diǎn)，，將沿折起得到，設(shè)的中點(diǎn)為，若將繞旋轉(zhuǎn)，則在此過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為.例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）矩形ABCD中，，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在范圍內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)A'的軌跡長(zhǎng)度為例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，為中點(diǎn)，，，.沿著將折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.變式32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，.將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐表面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為.變式33．（2024·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E在CD上，現(xiàn)將沿AE折起，使面面ABC，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，求點(diǎn)D在面ABC上的射影K的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知菱形的各邊長(zhǎng)為．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)．是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC的邊長(zhǎng)都為2，在邊AB上任取一點(diǎn)D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD