2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是利用圓的定義與兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出來的.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可用來解決以下兩類問題:①已知圓心和半徑求圓的方程的問題;②已知圓心及圓上一點(diǎn)求圓的方程的問題.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的理解(1)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,可根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)在實(shí)際解題中,一般先計(jì)算d2=(x0-a)2+(y0-b)2,然后比較d2與r2的大小.探究點(diǎn)一

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2+y2=25(x-2)2+(y-1)2=3(x-8)2+(y+3)2=25

(4)已知圓C的圓心在x軸上,半徑為5,且截y軸所得弦長為8,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25方法二:由題意設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=25.因?yàn)閳A截y軸所得弦長為8,所以圓過點(diǎn)(0,4),將(0,4)代入方程得a2+16=25,所以a=±3,所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.(4)已知圓C的圓心在x軸上,半徑為5,且截y軸所得弦長為8,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25變式

已知點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求:(1)過點(diǎn)A,B且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式

已知點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求:(1)過點(diǎn)A,B且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

[素養(yǎng)小結(jié)]用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟:設(shè)方程((x-a)2+(y-b)2=r2)→列方程組(由已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組)→解方程組(解方程組,求出a,b,r)→得方程(將a,b,r代入所設(shè)方程,即得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程).拓展

已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)四點(diǎn),這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上?請說明理由.若在,則點(diǎn)E(1,-3)是否與這四點(diǎn)共圓?

拓展

已知在平面直角坐標(biāo)系中有A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)四點(diǎn),這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上?請說明理由.若在,則點(diǎn)E(1,-3)是否與這四點(diǎn)共圓?把點(diǎn)D的坐標(biāo)(6,2)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,成立,故A(4,6),B(-2,-2),C(1,7),D(6,2)這四點(diǎn)在同一個(gè)圓(x-1)2+(y-2)2=25上.把點(diǎn)E的坐標(biāo)(1,-3)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,成立,故點(diǎn)E(1,-3)與這四點(diǎn)共圓.探究點(diǎn)二

判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

例2(1)已知兩點(diǎn)P1(3,8)和P2(5,4),求以線段P1P2為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)M(5,3),N(3,4),P(3,5)與圓的位置關(guān)系.

例2(1)已知兩點(diǎn)P1(3,8)和P2(5,4),求以線段P1P2為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)M(5,3),N(3,4),P(3,5)與圓的位置關(guān)系.(2)寫出圓心為點(diǎn)(3,4),半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)A(0,0),B(1,3)與該圓的位置關(guān)系.

1.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法:(1)幾何法:根據(jù)題意,求出圓心坐標(biāo)與半徑,然后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),先根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,然后解出a,b,r,最后代入標(biāo)準(zhǔn)方程.例1求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例1求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法:(1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,則點(diǎn)M在圓外;(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,則點(diǎn)M在圓上;(3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,則點(diǎn)M在圓內(nèi).例2已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四點(diǎn),試判斷它們是否共圓,并說明理由.

B2.點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是 (

)A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定[解析]因?yàn)閙2+25>24,所以點(diǎn)P在圓外.A

C4.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是 (

)A.a<-1或a>1 B.-1<a<1C.0<a<1 D.-1<a<0[解析]因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,即a2<1,所以-1<a<1.B5.[2021·濰坊期中]過點(diǎn)A(0,0),B(2,2)且圓心在直線y=2x-4上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (

)A.(x-2)2+y2=4 B.(x+2)2+y2=4C.(x-4)2+(