2022-2023學(xué)年江西省九江市高一下學(xué)期第二次階段性模擬期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省九江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性模擬期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意．）1.已知，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，該點位于第一象限.故選：A.2.計算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩角差的正弦公式可得：.故選：C.3.在空間中，下列說法正確的是（）A.垂直于同一直線的兩條直線平行 B.垂直于同一直線的兩條直線垂直C.平行于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行〖答案〗D〖解析〗垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確.故選：D．4.已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上的投影向量為.故選：C.5.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A：由，則，而，無解；B：由，則，而，有唯一解；C：由，則，而，有兩解；D：由，則，而，有兩解.故選：B.6.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意分析得：，所以，又函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，，，得.故選：A.7.已知正三棱臺的上、下底面面積分別為，若，則該正三棱臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若正三角形的邊長為，則其面積為，由題意可得：，取的外接圓的圓心為，正三棱臺的外接球的球心，連接，過作底面的投影，可得，則，由，可得，設(shè)外接球的半徑為，則，可得，解得，所以該正三棱臺的外接球的表面積.故選：D.8.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出這樣一個問題：怎樣在一個三角形中求一點，使它到每個頂點的距離之和最??？現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，當(dāng)點滿足時，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，，則，即為點到和點三個點的距離之和，則△ABC為等腰三角形，如圖，由費馬點的性質(zhì)可得：點P在三角形內(nèi)部且在y軸上，要保證∠APB=120°，則∠APO=60°，因為OA=1，則，所以點坐標(biāo)為時，距離之和最小，最小距離之和為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題意．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為，所以，解得或（舍去），所以，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD.10.若函數(shù)，則該函數(shù)（）A.最小值為 B.最大值為 C.在上是減函數(shù) D.奇函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗，選項A：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，判斷正確；選項B：當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，判斷錯誤；選項C：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是減函數(shù)，判斷正確；選項D：由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，判斷錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.若，則在上是單調(diào)增函數(shù)B.若，則正整數(shù)的最小值為2C.若，把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的圖像，則為奇函數(shù)D.若上有且僅有3個零點，則〖答案〗ABD〖解析〗依題意，，對于A，，，當(dāng)時，有，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因，則是函數(shù)圖像的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，故B正確；對于C，，，依題意，函數(shù)，這個函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點不對稱，故C不正確；對于D，當(dāng)時，，依題意，，解得，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在長方體中，，點是棱上的一個動點，給出下列命題，其中真命題的是（）A.不存在點，使得B.三棱錐的體積恒為定值C.存在唯一的點，過三點作長方體的截面，使得截面的周長有最小值D.為棱上一點，若點滿足，且平面，則為的中點〖答案〗BCD〖解析〗選項A：在底面矩形中，連接交于點，由，則，所以，所以，為等邊三角形，取的中點，連接并延長交于點，則，又在長方體中，平面，且平面，則，又，所以平面，又平面，所以，所以存在點，使得，故選項A不正確；選項B：，在長方體中，平面，所以，所以三棱錐的體積恒為定值，故選項B正確；選項C：在上取點，使得，連接，則四邊形為平行四邊形，所以過三點作長方體的截面為面，將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，連接，交于點，此時最小，即截面的周長最小，所以存在唯一的點，使得截面的周長有最小值，故選項C正確；選項D：在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點為，連接，由，，即，所以，即，則，平面，面平面，由平面，則，又，所以為平行四邊形，則，則，所以為的中點，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中相應(yīng)的橫線上．）13.設(shè)，則等于__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以.故〖答案〗為：.14.中，分別是的內(nèi)角所對的邊，若，則等于___________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得：，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為且半徑為2的扇形，則這個圓錐的體積是___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，由題知：，所以，解得，所以，則三棱錐的體積.故〖答案〗為：.16.如圖所示，是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在與上的長方形鐵皮，其中是弧上一點．設(shè)，長方形的面積為平方米．則當(dāng)_________時，取最大值_________．〖答案〗平方米〖解析〗由題意可知，，，，令，由，則，，，易知當(dāng)時，，.故〖答案〗為：平方米.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知．（1）若的終邊位于第三象限角，求的值；（2）求的值．解：（1），∴，∴，∴，又∵的終邊位于第三象限角，∴，∴，∴.（2）.18.已知四棱錐的底面是正方形，平面．（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）求證：平面平面．解：證明：（1）因為，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（2）因為平面，平面，所以，因為四棱錐的底面是正方形，所以，而與相交，與都在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知、的夾角為銳角，，，且在方向上的投影數(shù)量為．（1）若，求的值；（2）若，，，若、、三點共線，求的值．解：（1）在方向上的投影數(shù)量為，得，因為，則，因為，所以，解得.（2）由題意得，，因為、、三點共線，則，則，使得，即，又因為、不共線，則，解得.20.已知函數(shù)，是函數(shù)的對稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)．（1）從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得的〖解析〗式存在，并求出其〖解析〗式；條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件②：是的對稱中心；條件③：是的對稱中心．（2）根據(jù)（1）中確定，若的值域為，求的取值范圍．解：（1）因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，因為，且，解得；又因為是函數(shù)的對稱軸，所以；若選條件①：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，因為，所以，所以，，即，當(dāng)時，，滿足題意，故.若選條件②：因為是的對稱中心，所以，所以，，此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)〖解析〗式.若條件③：因為是的對稱中心，所以，所以，，解得，所以.（2）由（1）知，因為，所以，又在上的值域為，所以，解得，即.21.已知在中，角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，，因為，所以，由正弦定理，得，故上式可化為，因為，所以，由正弦定理，得.（2）因為，由正弦定理，，因為，故，則，故，因為，故，又，故，代入中，得，即.由余弦定理，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，又，所以實數(shù)的取值范圍為.22.已知在正三棱柱中，，E是棱的中點．（1）設(shè)，求三棱錐的體積；（2）若把平面與平面所成的銳二面角為60°時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由．解：（1）取的中點，連接，如圖所示：因為，為中點，所以，又因為平面，平面，所以，又因為，所以平面，又因為，平面，平面，所以平面，，，所以.（2）延長交延長線于點，連接，如圖所示：因為，是棱的中點，所以是的中點，所以，即，因為平面，平面，所以，又因為，，，所以平面，又平面，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，因為正三棱柱中，，所以，即此三棱柱不是“黃金棱柱”.江西省九江市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性模擬期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意．）1.已知，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，該點位于第一象限.故選：A.2.計算（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由兩角差的正弦公式可得：.故選：C.3.在空間中，下列說法正確的是（）A.垂直于同一直線的兩條直線平行 B.垂直于同一直線的兩條直線垂直C.平行于同一平面的兩條直線平行 D.垂直于同一平面的兩條直線平行〖答案〗D〖解析〗垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確.故選：D．4.已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上的投影向量為.故選：C.5.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有唯一解的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A：由，則，而，無解；B：由，則，而，有唯一解；C：由，則，而，有兩解；D：由，則，而，有兩解.故選：B.6.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意分析得：，所以，又函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)，，，得.故選：A.7.已知正三棱臺的上、下底面面積分別為，若，則該正三棱臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若正三角形的邊長為，則其面積為，由題意可得：，取的外接圓的圓心為，正三棱臺的外接球的球心，連接，過作底面的投影，可得，則，由，可得，設(shè)外接球的半徑為，則，可得，解得，所以該正三棱臺的外接球的表面積.故選：D.8.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出這樣一個問題：怎樣在一個三角形中求一點，使它到每個頂點的距離之和最??？現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，當(dāng)點滿足時，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質(zhì)，已知為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個互相垂直的向量，，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，，則，即為點到和點三個點的距離之和，則△ABC為等腰三角形，如圖，由費馬點的性質(zhì)可得：點P在三角形內(nèi)部且在y軸上，要保證∠APB=120°，則∠APO=60°，因為OA=1，則，所以點坐標(biāo)為時，距離之和最小，最小距離之和為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題意．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列各式的值為的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為，所以，解得或（舍去），所以，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AD.10.若函數(shù)，則該函數(shù)（）A.最小值為 B.最大值為 C.在上是減函數(shù) D.奇函數(shù)〖答案〗AC〖解析〗，選項A：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，判斷正確；選項B：當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，判斷錯誤；選項C：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是減函數(shù)，判斷正確；選項D：由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，判斷錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.若，則在上是單調(diào)增函數(shù)B.若，則正整數(shù)的最小值為2C.若，把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的圖像，則為奇函數(shù)D.若上有且僅有3個零點，則〖答案〗ABD〖解析〗依題意，，對于A，，，當(dāng)時，有，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因，則是函數(shù)圖像的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，故B正確；對于C，，，依題意，函數(shù)，這個函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點不對稱，故C不正確；對于D，當(dāng)時，，依題意，，解得，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在長方體中，，點是棱上的一個動點，給出下列命題，其中真命題的是（）A.不存在點，使得B.三棱錐的體積恒為定值C.存在唯一的點，過三點作長方體的截面，使得截面的周長有最小值D.為棱上一點，若點滿足，且平面，則為的中點〖答案〗BCD〖解析〗選項A：在底面矩形中，連接交于點，由，則，所以，所以，為等邊三角形，取的中點，連接并延長交于點，則，又在長方體中，平面，且平面，則，又，所以平面，又平面，所以，所以存在點，使得，故選項A不正確；選項B：，在長方體中，平面，所以，所以三棱錐的體積恒為定值，故選項B正確；選項C：在上取點，使得，連接，則四邊形為平行四邊形，所以過三點作長方體的截面為面，將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，連接，交于點，此時最小，即截面的周長最小，所以存在唯一的點，使得截面的周長有最小值，故選項C正確；選項D：在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點為，連接，由，，即，所以，即，則，平面，面平面，由平面，則，又，所以為平行四邊形，則，則，所以為的中點，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中相應(yīng)的橫線上．）13.設(shè)，則等于__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，，所以.故〖答案〗為：.14.中，分別是的內(nèi)角所對的邊，若，則等于___________.〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得：，則，所以.故〖答案〗為：.15.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為且半徑為2的扇形，則這個圓錐的體積是___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，高為，由題知：，所以，解得，所以，則三棱錐的體積.故〖答案〗為：.16.如圖所示，是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中是一半徑為6米的扇形，已經(jīng)被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在與上的長方形鐵皮，其中是弧上一點．設(shè)，長方形的面積為平方米．則當(dāng)_________時，取最大值_________．〖答案〗平方米〖解析〗由題意可知，，，，令，由，則，，，易知當(dāng)時，，.故〖答案〗為：平方米.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知．（1）若的終邊位于第三象限角，求的值；（2）求的值．解：（1），∴，∴，∴，又∵的終邊位于第三象限角，∴，∴，∴.（2）.18.已知四棱錐的底面是正方形，平面．（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）求證：平面平面．解：證明：（1）因為，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（2）因為平面，平面，所以，因為四棱錐的底面是正方形，所以，而與相交，與都在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面．19.已知、的夾角為銳角，，，且在方向上的投影數(shù)量為．（1）若，求的值；（2）若，，，若、、三點共線，求的值．解：（1）在方向上的投影數(shù)量為，得，因為，則，因為，所以，解得.（2）由題意得，，因為、、三點共線，則，則，使得，即，又因為