2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．的定義域．2．直線的傾斜角大小為．3．已知，則．4．展開式中的系數(shù)為．5．三角形中，，則．6．已知，的最小值為．7．?dāng)?shù)列，，，的取值范圍為．8．三角形三邊長(zhǎng)為5，6，7，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為．9．已知，求的的取值范圍．10．已知四棱柱底面為平行四邊形，，且，求異面直線與的夾角．11．正方形草地邊長(zhǎng)1.2，到，距離為0.2，到，距離為0.4，有個(gè)圓形通道經(jīng)過，，且與只有一個(gè)交點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng)．（精確到12．，，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有對(duì)．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．，，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．14．空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則15．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立 C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立16．現(xiàn)定義如下：當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（1）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）17．（14分）已知，．（1）設(shè)，求解：，，的值域；（2），的最小正周期為，若在，上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．18．（14分）如圖，、、為圓錐三條母線，．（1）證明：；（2）若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大小．19．（14分）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．20．（18分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記△的面積為，△的面積為，若，求的取值范圍．（3）若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．（18分）記（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求證：對(duì)于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定義在上有最小值，求證“是偶函數(shù)“的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有（c）”．

2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．的定義域．【解析】：的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?．直線的傾斜角大小為．【解析】：由直線變形得：，設(shè)直線的傾斜角為，即，因?yàn)?，，所以．故答案為：?．已知，則．【解析】：由題意可得，所以．故答案為：．4．展開式中的系數(shù)為15．【解析】：根據(jù)二項(xiàng)式展開．故答案為：15．5．三角形中，，則．【解析】：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案為：．6．已知，的最小值為12．【解析】：由，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取最小值12，所以的最小值為12．故答案為：12．7．?dāng)?shù)列，，，的取值范圍為．【解析】：等差數(shù)列由，知數(shù)列為等差數(shù)列，即，解得．故的取值范圍為．故答案為：．8．三角形三邊長(zhǎng)為5，6，7，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為3．【解析】：由雙曲線的定義，，，解得，，．故答案為：3．9．已知，求的的取值范圍，．【解析】：根據(jù)題意知，所以當(dāng)時(shí)，，解得，；同理當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述：，．故答案為：，．10．已知四棱柱底面為平行四邊形，，且，求異面直線與的夾角．【解析】：如圖，因?yàn)椋?，，化?jiǎn)得，，．異面直線與的夾角為．11．正方形草地邊長(zhǎng)1.2，到，距離為0.2，到，距離為0.4，有個(gè)圓形通道經(jīng)過，，且與只有一個(gè)交點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng)2.73．（精確到【解析】：以為原點(diǎn)，線段所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，易知，．不妨設(shè)中點(diǎn)為直線中垂線所在直線方程為，化簡(jiǎn)得．所以可設(shè)圓心為，半徑為，且經(jīng)過，點(diǎn)，即，化簡(jiǎn)得，求得．結(jié)合題意可得，．故有圓的周長(zhǎng)．12．，，，，任意，，，，滿足，求有序數(shù)列，，，有48對(duì)．【解析】：由題意得，10，12，18，20，，滿足，不妨設(shè)，由單調(diào)性有，，，，分兩種情況討論：①，，解得，，，，②，，解得，，，，所以有2種，綜上共有對(duì)．故答案為：48．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．，，，，下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】：對(duì)于，若，則，選項(xiàng)不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，由不等式的可加性可知，，故正確．對(duì)于、，若，則選項(xiàng)不成立，故、錯(cuò)誤．故選：．14．空間中有兩個(gè)不同的平面，和兩條不同的直線，，則下列說法中正確的是A．若，，，則 B．若，，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【解析】：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，若，，則或，又，所以，故正確；對(duì)于，若，，則或，由，則與斜交、垂直、平行均有可能，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或，由，則與相交、平行、異面均有可能，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或，又，則或，故錯(cuò)誤．故選：．15．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國(guó)結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件：所選盒中有中國(guó)結(jié)，事件：所選盒中有記事本，事件：所選盒中有筆袋，則A．事件與事件互斥 B．事件與事件相互獨(dú)立 C．事件與事件互斥 D．事件與事件相互獨(dú)立【解析】：選項(xiàng)，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本，事件與事件不互斥，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，（A），（B），，（A）（B），正確；選項(xiàng)，事件與事件可以同時(shí)發(fā)生，即第四個(gè)禮盒中可以既有中國(guó)結(jié)，又有記事本或筆袋，錯(cuò)誤；選項(xiàng)，（A），，，（A），與不獨(dú)立，故錯(cuò)誤．故選：．16．現(xiàn)定義如下：當(dāng)時(shí)，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（1）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)（2）存在，；，與有無窮個(gè)交點(diǎn)A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立【解析】：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，與均為延展函數(shù)，對(duì)于①，對(duì)于，，則是周期為1的周期函數(shù)，其值域?yàn)?，因?yàn)?，與不會(huì)有無窮個(gè)交點(diǎn)，所以（1）錯(cuò)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，存在使得直線可以與在區(qū)間的函數(shù)部分重合，因而有無窮個(gè)交點(diǎn)，所以（2）正確．故選：．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）17．（14分）已知，．（1）設(shè)，求解：，，的值域；（2），的最小正周期為，若在，上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)椋?，所以令，根?jù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，最小值為．因此函數(shù)的值域?yàn)?，．?）由題知，所以，．當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)時(shí)，，所以，即．因此，的取值范圍為，．18．（14分）如圖，、、為圓錐三條母線，．（1）證明：；（2）若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，，求二面角的大?。窘獯稹浚?）證明：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)?，面，，所以面，又面，所以；?）解：法由（1）可知，，又底面，作，交于，連接，由題意，可得，所以為所求的二面角的平面角，連接，則，因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長(zhǎng)為，所以，，，，，，即，解得，所以，所以，所以二面角的平面角為鈍角，所以二面角的大小為．法由（1）可知，，又底面，因?yàn)閳A錐側(cè)面積為為底面直徑，，所以底面半徑為1，母線長(zhǎng)為，所以，建立以為軸，為軸，以為軸的坐標(biāo)系，則可得，故，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，，可得，令，則，可得，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，，可得，令，則，可得，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，所以二面角的大小為．19．（14分）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．【解析】：（1）古典概型：設(shè)事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，事件的樣本點(diǎn)的公式，所以（A）；（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)，所以8箱水果中有一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱；（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為，方差為，二級(jí)果質(zhì)量為，方差為，總體樣本平均質(zhì)量為平均值，方差為，因?yàn)椋?，，，所以克，克．預(yù)估：平均質(zhì)量為克．20．（18分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記△的面積為，△的面積為，若，求的取值范圍．（3）若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，易知，所以；（2）不妨設(shè)，，此時(shí)，因?yàn)?，所以，即，又，所以，解得，則，故的范圍為，；（3）不妨設(shè)，，，，，由對(duì)稱性可得、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，又，，此時(shí)，所以，同理得，因?yàn)?，所以，解得或（無解），不妨設(shè)直線，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，解得，此時(shí)，又，解得，此時(shí)．故存在軸上方的點(diǎn)，使得成立．21．（18分）記（a）（a），，（a）（a），．（1）若，求（1）和（1）；（2）若，求證：對(duì)于任意，都有（a），，且存在，使得（a）．（3）已知定義在上有最小值，求證“是偶函數(shù)“的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均有（c）”．【解析】：（1）由題意，得（1），，；．（2）證明：由題意知，（a），，記，則或2．02正0負(fù)0正極大值極小值現(xiàn)對(duì)分類討論，當(dāng)，有，為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)椋╝），所以此時(shí)（a），，符合條件；當(dāng)時(shí)，，先增后減，，因?yàn)槿〉忍?hào)），所以，則此時(shí)（a），，也符合條件；當(dāng)時(shí)，，，在，嚴(yán)格增，在，嚴(yán)格減