工程力學(xué)-第五章

第五章空間力系CONTNET01空間匯交力系03空間力系的平衡條件和平衡方程02空間力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩04重心01空間匯交力系5.1空間匯交力系空間力系是指各力的作用線在空間任意分布的力系。一般機(jī)械中的轉(zhuǎn)軸以及工程中的空間桁架結(jié)構(gòu)等都屬于空間力系問題。與平面力系類似，空間力系也可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。其中，空間匯交力系是指各力雖不在同一平面內(nèi)，但各力作用線均相交于一點(diǎn)的力系；空間平行力系是指空間力系中，各力的作用線都平行的力系；空間任意力系是指空間力系中，各力作用線任意分布的力系。與平面匯交力系類似，求空間匯交力系的合力時(shí)也可以采用幾何法和解析法。其中，幾何法是指用力多邊形法則求合力的大小和方向的方法；解析法是指利用力在空間坐標(biāo)軸上的投影來(lái)求合力的大小和方向的方法。5.1.1空間力的分解5.1.2力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影1．一次投影法正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：如果力的起點(diǎn)投影到終點(diǎn)投影的連線方向與坐標(biāo)軸的正向一致，則力F的投影取正值；反之取負(fù)值。5.1.2力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影2．二次投影法5.1.2力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影2．二次投影法5.1.3空間匯交力系的合成與平衡條件1．空間匯交力系的合成5.1.3空間匯交力系的合成與平衡條件1．空間匯交力系的合成5.1.3空間匯交力系的合成與平衡條件2．空間匯交力系平衡的方程因此，空間匯交力系平衡的充要條件為：該力系中所有各力在三個(gè)相互正交的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別為零。5.1.3空間匯交力系的合成與平衡條件02空間力對(duì)點(diǎn)之矩和力對(duì)軸之矩5.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩對(duì)于空間力系，力對(duì)點(diǎn)之矩應(yīng)該用矢量表示，且該矢量由力與矩心所構(gòu)成平面的方位、力矩在該平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向、力矩的大小這三個(gè)因素來(lái)決定。如圖所示，設(shè)力F的作用線沿AB，O點(diǎn)為矩心，則力對(duì)這一點(diǎn)之矩可用矢量來(lái)表示，稱為力矩矢，用MO（F）表示。力矩矢MO（F）的始端為O點(diǎn)，它的模（即大小）等于力F與力臂d的乘積，方位垂直于力F與矩心O所決定的平面，指向可用右手法則來(lái)確定。于是可得：5.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩由以上定義可知，力矩矢MO（F）的大小和方向與矩心O的位置有關(guān)，即力矩矢MO（F）是一個(gè)定位矢量。力矩矢MO（F）還可以用另一種數(shù)學(xué)形式來(lái)表示。如圖5-5所示，用r表示O點(diǎn)到力F作用點(diǎn)的矢徑，則r與F的矢量積也是一個(gè)矢量。根據(jù)矢量積的定義，其大小等于三角形OAB面積的兩倍，其方位垂直與r和F所決定的平面，指向也符合右手法則?？梢娛噶糠e與力矩矢MO（F）的大小相等，方向相同，于是有：即力矩矢MO（F）等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。5.2.2力對(duì)軸之矩在實(shí)踐中我們知道，如果在推門時(shí)力的作用線與門的轉(zhuǎn)軸z平行或相交，如圖所示。顯然，不論力多么大，門是不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)的。在這種情況下，力與轉(zhuǎn)軸共面，力對(duì)軸不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，即力對(duì)軸的矩為零。5.2.2力對(duì)軸之矩如果推門時(shí)力F在垂直于轉(zhuǎn)軸z的平面內(nèi)，如圖所示，此時(shí)就能把門推開。實(shí)踐證明，力F越大，或其作用線與轉(zhuǎn)軸間的垂直距離d越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效果就越明顯。因此，可以用力F的大小與距離d的乘積來(lái)度量力F對(duì)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，其轉(zhuǎn)向可用正負(fù)號(hào)區(qū)分。5.2.2力對(duì)軸之矩在一般情況下，力F可能既不平行于z軸，又不與z軸相交，也不在垂直與z軸的平面內(nèi)，如圖所示。為了確定力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，可將力分解為兩個(gè)分力Fz和Fxy。5.2.2力對(duì)軸之矩式中的正負(fù)號(hào)可以這樣確定：從z軸的正向看去，若力使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，取正號(hào)，如圖所示；反之，取負(fù)號(hào)；也可以用右手螺旋法則來(lái)確定：即以右手四指表示力使物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，若拇指的指向與z軸的正向相同，取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)，如圖所示。5.2.3空間力系的合力矩定理5.2.3空間力系的合力矩定理5.2.3空間力系的合力矩定理5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)之距矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸之矩。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系。5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系例5-2如圖所示，在正方體的頂角A和B處分別作用有力F1和F2，試求此二力對(duì)x，y，z軸之矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O之矩。5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系5.2.4力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系03空間力系的平衡條件和平衡方程5.3.1空間力系的簡(jiǎn)化設(shè)剛體受到空間任意力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的作用，如圖所示。與空間任意力系一樣，在剛體內(nèi)任意取一點(diǎn)O作為簡(jiǎn)化中心，根據(jù)力的可傳遞性和力的平移定理，將圖中各力移動(dòng)到O點(diǎn)。力平移時(shí)會(huì)產(chǎn)生力偶，這樣就得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的空間匯交力系和一個(gè)附加的空間力偶系，如圖所示。5.3.1空間力系的簡(jiǎn)化再將空間匯交力系和力偶系分別合成，最終可以得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的合力和合力偶矩，如圖所示。其中，合力稱為主矢，后者稱為主矩MO。它們的大小為：5.3.2空間任意力系的平衡條件和平衡方程研究剛體在空間力系作用下的平衡問題時(shí)，最多只能列6個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解6個(gè)未知量。5.3.3空間匯交力系的平衡方程5.3.4空間平行力系的平衡方程5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用一般情況下，當(dāng)剛體受到空間任意力系作用時(shí)，在每個(gè)約束處，其約束反力的未知量可能有1個(gè)到6個(gè)。約束類型光滑表面

滾動(dòng)支座約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用約束類型徑向軸承圓柱鉸鏈約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用約束類型球形鉸鏈止推軸承約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用約束類型導(dǎo)向軸承約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用約束類型導(dǎo)軌約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用約束類型空間的固定端支座約束力未知量5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用求解空間力系平衡問題的基本方法和步驟與平面力系問題相同，即：（1）確定研究對(duì)象，取分離體，畫受力圖。（2）確定力系類型，列出平衡方程。（3）代入已知條件，求解未知量。5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用5.3.5空間力系平衡方程的應(yīng)用04重心地球上的任何物體都要受到地球的引力作用，如果把物體看作是由許多微小部分組成的，則所有這些微小部分受到的地球引力就組成一個(gè)匯交于地球中心的空間匯交力系。但由于物體的尺寸遠(yuǎn)比地球的半徑小得多，所以這個(gè)空間匯交力系可以近似地視為空間平行力系。此力系的合力就是物體的重力。由試驗(yàn)可知，無(wú)論物體怎樣放置，其重力的作用線始終通過一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)，稱為物體的重心。物體重心所在的位置，與該物體在空間的位置無(wú)關(guān)。5.4.1重心及其坐標(biāo)1．重心的概念設(shè)有一個(gè)物體，如圖所示，將它分成許多微小單元，每個(gè)微小單元所受的重力分別用Gi來(lái)表示，各質(zhì)點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)分別為（xi，yi，zi），物體的重心以C來(lái)表示，重心坐標(biāo)為（xC，yC，zC）。5.4.1重心及其坐標(biāo)2．重心的坐標(biāo)公式5.4.1重心及其坐標(biāo)2．重心的坐標(biāo)公式5.4.1重心及其坐標(biāo)3．質(zhì)心稱為物體的質(zhì)心（物體質(zhì)量中心）坐標(biāo)公式。5.4.1重心及其坐標(biāo)4．形心5.4.1重心及其坐標(biāo)4．形心由上式所確定的C點(diǎn)稱為薄板的形心或平面圖形的形心。5.4.2求重心的幾種常用方法當(dāng)均質(zhì)物體具有對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，該物體的重心或形心顯然必在這個(gè)對(duì)稱面、對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心上。1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法1．簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心圖形重心位置5.4.2求重心的幾種常用方法2．組合法工程中有些物體雖然形狀比較復(fù)雜，但往往是由一些簡(jiǎn)單形體組合而成的，這樣的形體習(xí)慣上稱為組合形體。對(duì)于組合形體，往往可以不經(jīng)過積分運(yùn)算，而用一些簡(jiǎn)單的方法求得重心的坐標(biāo)。常用的方法有分割法和負(fù)面積（或負(fù)體積）法。（1）分割法有些形狀比較復(fù)雜的平面圖形往往是由幾個(gè)簡(jiǎn)單的平面圖形組合而成的，每個(gè)簡(jiǎn)單的平面圖形的形心位置可以根據(jù)對(duì)稱性或查表確定，整個(gè)圖像的形心坐標(biāo)可以用式求得。這種求形心的方法稱為分割法。3.4物體系的平衡、靜定和靜不定問題例5-5如圖所示為一個(gè)Z型截面，求該截面的重心坐標(biāo)（單位為mm）。5.4.2求重心的幾種常用方法2．組合法（2）負(fù)面積（或負(fù)體積）法如果圖形可以看作是從一個(gè)簡(jiǎn)單（或有規(guī)則的）圖形中挖去另一個(gè)簡(jiǎn)單（或有規(guī)則的）圖形而成的，則可把挖去部分的面積（或體積）取為負(fù)值，仍然應(yīng)用式求。這種求形心的方法稱為負(fù)面積（或負(fù)體積）法。5.4.2求重心的幾種常用方法例5-6如圖所示為空心截面，試求該截面的重心坐標(biāo)。5.4.2求重心的幾種常用方法3．實(shí)驗(yàn)法（1）懸掛法如果需確定薄板或具有對(duì)稱面的薄板狀零件的重心，可先將薄板用細(xì)繩懸掛于任意一點(diǎn)A，如圖所示。根據(jù)二力平衡條件，重心必落在過懸掛點(diǎn)的鉛直線上，于是可在板上畫出該線AA′；然后再將該板懸掛于另一點(diǎn)B，同樣可畫出一條直線BB′，這兩條直線的交點(diǎn)C就是該板的重心，如圖所示。5.4.2求重心的幾種常用方法3．實(shí)驗(yàn)法（2）稱重法形