模型28 勾股定理-垂美四邊形模型-解析版

勾股定理模型（二十八）——垂美四邊形模型【概念】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，則①AB2＋CD2＝AD2＋BC2.②S四ABCD＝12【證明】①∵AB2＝a2＋b22CD2＝c2＋d22∴AB2＋CD2＝a2＋b2＋c2＋d22∵BC2＝a2＋d22AD2＝b2＋c22∴BC2＋AD2＝a2＋b2＋c2＋d22∴AB2＋CD2＝AD2＋BC22.②S四ABCD＝12BD·a＋12BD·c＝121．（2022·山西忻州·八年級期末）（1）【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______（只填序號）（2）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形ABCD的兩對角線交于點(diǎn)O，試探究AB，CD，BC，AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想__________________；（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE長．【答案】（1）③④；（2）是，理由見解析；（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，理由見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)菱形和正方形的對角線互相垂直、垂美四邊形的概念判斷即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、垂美四邊形的概念判斷即可；（3）根據(jù)垂美四邊形的概念、勾股定理計(jì)算，得到答案；（4）證明△GAB≌△CAE，進(jìn)而得出CE⊥BG，根據(jù)（3）的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，故答案為：③④；（2）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由如下：如圖2，∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（4）如圖3，連接BE、CG，設(shè)AB與CE交于點(diǎn)M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AB＝10，AC＝8，∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200，∴GE2＝128+200﹣36＝292，則GE＝2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．1．（2021·湖南永州·八年級期末）如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填寫序號）；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長．【答案】（1）①③；（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂美四邊形的定義判斷即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結(jié)論；（3）先由SAS證明△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，進(jìn)而證出CE⊥BG，再根據(jù)勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵正方形，菱形的對角線互相垂直，∴正方形，菱形是垂美四邊形，故答案為：①③．（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．理由：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．（3）連接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴CG2+BE2=CB2+GE2，∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，∴AC==8，∴CG=，BE=，∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，∴GE=．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，垂美四邊形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并熟練運(yùn)用及全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定等知識點(diǎn)．2．（2021·江西贛州·八年級期末）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖，在四邊形中，，，問四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形兩組對邊，與，之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程（先畫出圖形）（3）問題解決：如圖，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，，已知，，求的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，證明見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）先判斷出△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，進(jìn)而根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計(jì)算．【詳解】解：（1）四邊形是垂美四邊形．證明：連接AC、BD交于點(diǎn)E，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴直線是線段的垂直平分線，∴，即四邊形是垂美四邊形；（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖2，已知四邊形中，，垂足為，求證：證明：∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）連接、，∵，∴，即，∵∴，∴，又，∴，即，∴四邊形是垂美四邊形，由（2）得，，∵，，∴，，∴，∴【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．1．（2020·浙江寧波·八年級期末）定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．（1）寫出一個已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是．（2）如圖1，在3×3方格紙中，A，B，C在格點(diǎn)上，請畫出兩個符合條件的不全等的垂等四邊形，使AC，BD是對角線，點(diǎn)D在格點(diǎn)上．（3）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求證：四邊形DEFG是垂等四邊形．（4）如圖3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC為邊在AC的右上方作等腰三角形，使四邊形ABCD是垂等四邊形，請直接寫出四邊形ABCD的面積．【答案】（1）正方形，矩形；（2）見解析；（3）見解析；（4）2．【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義判斷即可．（2）根據(jù)垂等四邊形的定義畫出圖形即可．（3）想辦法證明∠EFG＝90°，EG＝DF即可．（4）分三種情形：①如圖4﹣1中，當(dāng)AD＝AC時，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．②如圖4﹣2中，當(dāng)CA＝CD時，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H，DT⊥BC于T．③如圖4﹣3中，當(dāng)DA＝DC時，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，BH，過點(diǎn)D作DT⊥BH交BH的延長線于T．分別求解即可．【詳解】解：（1）正方形，矩形是垂等四邊形．故答案為正方形，矩形．（2）如圖1中，四邊形ABCD即為所求．（3）在正方形ABCD中，∵AF＝CG，AB＝BC，∴FB＝BG，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，∴∠EFG＝90°，∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，∴△ADF≌△CDG（SAS），∴DF＝DG，∵AD∥CB，∴∠EDG＝∠DGC，∵∠DGC＝∠DEG，∴∠GDE＝∠GED，∴DG＝EG，∴DF＝EG，∴四邊形DEFG是垂等四邊形．（4）①如圖4﹣1中，當(dāng)AD＝AC時，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H．∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∵四邊形ABCD是垂等四邊形，∴BD＝AC＝4，∴AD＝BD＝4，AH＝BH＝1，∴DH＝＝，∴S四邊形ABCD＝S△ADB+S△BCD＝×2×+×2×1＝+．②如圖4﹣2中，當(dāng)CA＝CD時，連接BD，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H，DT⊥BC于T．同法可得，S四邊形ABCD＝S△DCB+S△ABD＝×2×+×2×＝+．③如圖4﹣3中，當(dāng)DA＝DC時，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，BH，過點(diǎn)D作DT⊥BH交BH的延長線于T．設(shè)DH＝y(tǒng)，∵AB＝AH＝BH＝2，∴∠CHT＝∠AHB＝60°，∵DA＝DC，AH＝HC，∴DH⊥AC，∴∠DHC＝90°，∴∠DHT＝30°，∴DT＝DH＝y(tǒng)，HT＝DT＝y(tǒng)，在Rt△BDT中，∵BD＝AC＝4，∴42＝（y）2+（2+y）2，解得y＝﹣，∴S四邊形ABCD＝S△ACB+S△ADC＝×2×2+×4×（﹣）＝2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了垂等四邊形的定義，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．點(diǎn)睛：本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川雅安·中考真題）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點(diǎn)．若，則__________．【答案】20【分析】由垂美四邊形的定義