五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第18講 不定方程的應(yīng)用

第18講不定方程的應(yīng)用知識(shí)與方法不定方程在實(shí)際應(yīng)用中十分廣泛，當(dāng)題目中所求問題多于1個(gè)，而等量關(guān)系式不足時(shí)，我們可以通過列不定方程來(lái)解決。解不定方程應(yīng)用題的步驟：1、根據(jù)題意列出不定方程；2、確定結(jié)果的范圍和特征；3、解不定方程。初級(jí)挑戰(zhàn)1工程隊(duì)要鋪設(shè)28米長(zhǎng)的地下排水管道，倉(cāng)庫(kù)中有3米和5米長(zhǎng)的兩種管子。問：可以有多少種不同的取法？思路引領(lǐng)：題目中涉及兩種不同長(zhǎng)度的管道，我們不妨設(shè)3米長(zhǎng)的管子有根,5米長(zhǎng)的管子有根，根據(jù)題意、必須是整數(shù)，解不定方程得到的每一組解，即是其中的一種取法。答案：解:設(shè)3米的管子有根,5米的管子有根，那么列方程為：解得：，。即有2種不同的取法：3米長(zhǎng)的管子1根，5米長(zhǎng)的管子5根；或3米長(zhǎng)的管子6根，5米長(zhǎng)的管子2根。能力探索1三年級(jí)小朋友做投球游戲，把紅、黃兩種顏色的球投到5米外的小鐵筐里，每投進(jìn)一個(gè)紅球得10分，投進(jìn)一個(gè)黃球得9分。馬小紅一共得了64分，她投進(jìn)了多少個(gè)紅球？答案：解:設(shè)馬小紅投進(jìn)個(gè)紅球,投進(jìn)個(gè)黃球，（、為自然數(shù)），那么列方程為：解得：，即投進(jìn)1個(gè)紅球。初級(jí)挑戰(zhàn)2一個(gè)人的出生月份乘以45加上出生日期，和為100，這個(gè)人出生在幾月幾日？思路引領(lǐng)：根據(jù)題意，可以設(shè)這個(gè)人出生在月日，那么可根據(jù)題意列出方程。其中、均是非零自然數(shù)，且不大于12，不大于31。答案：解得：，。因?yàn)槿掌诓淮笥?1，所以只有一組解符合題意，即這個(gè)人出生在2月10日。能力探索2已知面包車可以載6個(gè)客人，小車可以載4個(gè)客人?，F(xiàn)有38個(gè)客人，若要使每個(gè)客人都有座位且沒有空位，要求面包車的輛數(shù)大于3輛，問小車和面包車各需幾輛？答案：解：設(shè)面包車有輛，小車有輛，其中＞3。根據(jù)題意列出方程。因?yàn)椋?，所以解得：，即面包車有5輛，小車有2輛。中級(jí)挑戰(zhàn)1小華和小強(qiáng)各自用6元4角買了若干支鉛筆，他們買的鉛筆都是5角一支和7角一支的，而且小華買來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多，小華比小強(qiáng)多買來(lái)鉛筆多少支？思路引領(lǐng)：因?yàn)閮扇擞缅X總數(shù)一樣，鉛筆單價(jià)也一樣，所以列出一組題中的數(shù)量關(guān)系即可，注意單位的統(tǒng)一。根據(jù)題意列出不定方程，從不定方程解中分析，他們分別買了兩種鉛筆多少支。答案：6元4角＝64角解：設(shè)買7角的鉛筆支，5角的鉛筆支。（、為非零自然數(shù)）。列不定方程：解得：，。因?yàn)樾∪A買來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多，2＋10＞7＋3，所以小華買了2支7角鉛筆，10支5角鉛筆，共12支鉛筆。小強(qiáng)買了7支7角鉛筆，3支5角鉛筆，共10支鉛筆。小華比小強(qiáng)多買鉛筆：12－10＝2（支）。能力探索3買每支5角的A種鉛筆和每支3角的B種鉛筆各若干支，每種鉛筆都要買3支或3支以上，共花了4元5角。問兩種鉛筆各買了幾支？答案：解：設(shè)A種鉛筆買了支，B種鉛筆買了支。、為非零自然數(shù)且最小都是3。依題意得：解得：，。、都大于等于3，都符合要求。答：A種鉛筆買6支，B種鉛筆買5支或A種鉛筆買3支，B種鉛筆買10支。中級(jí)挑戰(zhàn)2籃球、排球、足球放在一堆共25個(gè)，其中籃球個(gè)數(shù)是足球個(gè)數(shù)的7倍，且籃球比排球少。求其中排球的個(gè)數(shù)。思路引領(lǐng)：本題中雖然有三個(gè)未知數(shù)，但已知籃球個(gè)數(shù)與足球個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，所以只需設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出不定方程。答案：解：設(shè)足球有個(gè)，排球有個(gè)，則籃球有7個(gè)。根據(jù)題意列方程：＋7＋＝258＋＝25解得：，，。又因?yàn)榛@球比排球少，所以只有符合題意。即排球的個(gè)數(shù)是17個(gè)。能力探索4甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)共栽樹55棵，甲栽的棵數(shù)是乙的2倍，丙栽得最少且只栽了十幾棵，三人各栽了多少棵？答案解：設(shè)乙栽樹棵，甲栽樹2棵，丙栽樹棵。即，因?yàn)?0＜＜20，解得：，，。但只有第三組解滿足丙栽得最少。只有符合要求。甲：2×14＝28（棵）。答：甲栽28棵，乙栽14棵，丙栽13棵。聰明泉數(shù)學(xué)家熊慶來(lái)熊慶來(lái)(1893—1969)，字迪之，云南彌勒人。中國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域曾有過許多極為輝煌的成就，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)端則起始于一些留學(xué)生，熊慶來(lái)就是其中之一。他早年留學(xué)法國(guó)，畢生追求“科學(xué)救國(guó)、教育救國(guó)”的思想，以數(shù)學(xué)為終生專業(yè)，致力于為國(guó)家培育人材，華羅庚、陳省身等知名數(shù)學(xué)家皆出自他門下。熊慶來(lái)可稱作“中國(guó)近代數(shù)學(xué)研究和教育的奠基人”。1926年，清華學(xué)校改辦大學(xué)，又聘請(qǐng)熊慶來(lái)去創(chuàng)辦算學(xué)系。他在任清華算學(xué)系系主任的九年間，又辛勤培養(yǎng)了一大批在國(guó)內(nèi)外享有盛譽(yù)的優(yōu)秀人才。1930年，他在清華大學(xué)當(dāng)數(shù)學(xué)系主任時(shí)，偶然從學(xué)術(shù)雜志上發(fā)現(xiàn)了華羅庚的名字，了解到華羅庚的自學(xué)經(jīng)歷和數(shù)學(xué)才華以后，毅然打破常規(guī)，請(qǐng)只有初中文化程度的19歲的華羅庚到清華大學(xué)。在熊慶來(lái)的培養(yǎng)下，華羅庚后來(lái)成為著名的數(shù)學(xué)家。拓展挑戰(zhàn)一個(gè)兩位數(shù)除以5所得的商等于這個(gè)兩位數(shù)各位數(shù)字之和，求這個(gè)兩位數(shù)。思路引領(lǐng)：未知數(shù)為兩位數(shù)，設(shè)為，即個(gè)位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b。那么這個(gè)兩位數(shù)用字母表示是：10b＋a。再根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系，列出不定方程。5（a＋b）＝a＋10b5a＋5b＝a＋10b4a＝5b因?yàn)閍、b都是整數(shù)且均小于或等于9，解得：a＝5，b＝4。所以這個(gè)兩位數(shù)是45。能力探索5一個(gè)兩位數(shù)等于它的各位數(shù)字之和的8倍，求這個(gè)兩位數(shù)。答案：解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位為a,十位為b，兩位數(shù)的值為a＋10b，則列方程為：8(a＋b)＝10b＋a8a＋8b＝10b＋a7a＝2b因?yàn)閍、b都是整數(shù)且均小于等于9，解得：b＝7，a＝2，所以這個(gè)數(shù)是72。課堂小測(cè)：1、某商店賣出一些3元一支和7元一支的鋼筆，共收入29元，求賣了鋼筆多少支？答案：解:設(shè)3元的鋼筆有支,7元的鋼筆有支，那么列方程為：解得：。即賣了鋼筆5＋2＝7（支）。2、一只箱中裝有若干只蟋蟀（6只腳）與蜘蛛（8只腳），它們共有46只腳，且蟋蟀的只數(shù)大于3只，問蟋蟀和蜘蛛各有多少只？答案：解:設(shè)有只蟋蟀,有只蜘蛛，那么列方程為：解得：，。因?yàn)轶爸粩?shù)大于3只，所以只有符合要求。即有5只蟋蟀，2只蜘蛛。3、一個(gè)工人將零件裝進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒裝12個(gè)零件，每個(gè)小盒子裝5個(gè)零件，恰好裝完，如果零件一共是99個(gè)，盒子總個(gè)數(shù)大于10，那么需要大、小盒子各多少個(gè)？答案：設(shè)需要大盒子個(gè)，小盒子個(gè)。列不定方程：解得：，。因?yàn)楹凶又粩?shù)大于10，那么只有符合要求，即大盒子2個(gè)，小盒子15個(gè)。4、一個(gè)布袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的大小相同的木球，紅球上標(biāo)有數(shù)字1，黃球上標(biāo)有數(shù)字2，藍(lán)球上標(biāo)有數(shù)字3，小明從布袋中摸出10個(gè)球，它們上面所標(biāo)數(shù)字的和等于21，問小明摸出的球中紅球最多有多少個(gè)？答案：解：設(shè)有藍(lán)球個(gè)，黃球個(gè)，則紅球有（10――）個(gè)；根據(jù)題意，列方程：解得：，，，，因?yàn)榧t球有（10――）個(gè)，要紅球最多，那么藍(lán)球、黃球總數(shù)要最少，因此只有滿足題意。當(dāng)最小5＋1＝6時(shí)，紅球最多為：10－6＝4（個(gè)）。答：小明摸出的球中，紅球的個(gè)數(shù)最多4個(gè)。課后作業(yè)：1、商店賣出一些每支7元和每支8元的鋼筆，共收入55元。問商店共賣出鋼筆多少支？答案：解:設(shè)7元的鋼筆有支,8元的鋼筆有支，那么列方程為：解得：。共賣出鋼筆1＋6＝7（支）。2、工程隊(duì)要鋪設(shè)78米長(zhǎng)的地下排水管道，倉(cāng)庫(kù)中有3米和5米長(zhǎng)的兩種管子。問：可以有多少種不同取法？（取5米長(zhǎng)的管子要多于5根）答案：解:設(shè)3米的管子有根,5米的管子有根，（且y＞5