2024高考數(shù)學(xué)一輪備考復(fù)習(xí)第8章立體幾何第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積課時跟蹤檢測文含解析新人教B版

PAGE第八章立體幾何其次節(jié)空間幾何體的表面積與體積A級·基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|1.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4π B．3πC．2π D．π解析：選C由幾何體的形成過程知，所得幾何體為圓柱，底面半徑為1，高為1，其側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C.2．(2025屆惠州市高三其次次調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成的，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為()A.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) B.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,2)解析：選C由三視圖可知該幾何體是一個半球上面有一個三棱錐，其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6)，故選C.3．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：選C由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABC－A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠ACB＝90°，其直觀圖如圖所示，側(cè)面為三個矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2)，故選C.4.如圖，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，假如不計容器的A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：選A設(shè)球的半徑為R，則由題意知，球被正方體上底面截得的圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為(R－2)cm，則R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，所以球的體積為eq\f(4π×53,3)＝eq\f(500π,3)(cm3)．5．(2025屆遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一個長方體被一平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．36 B．48C．64 D．72解析：選B由幾何體的三視圖可得，幾何體如圖所示，將幾何體分割為兩個三棱柱，所以該幾何體的體積為eq\f(1,2)×3×4×4＋eq\f(1,2)×3×4×4＝48，故選B.6.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－解析：三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以Veq\a\vs4\al(D1－EDF)＝Veq\a\vs4\al(F－DD1E)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．(2025屆福建市第一學(xué)期高三期末)已知圓柱的高為2，底面半徑為eq\r(3)，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積為________．解析：如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑r＝OB＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.故這個球的表面積S＝4πr2＝16π.答案：16π8．已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，沿AD進行折疊，使折疊后的∠BDC＝eq\f(π,2)，則過A，B，C，D四點的球的表面積為________．解析：連接BC，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BD＝CD＝1，AD＝eq\r(3)，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，將折疊后的圖形補成一個長、寬、高分別是eq\r(3)，1，1的長方體，其體對角線長即為外接球的直徑，2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，故該三棱錐外接球的半徑是R＝eq\f(\r(5),2)，其表面積為4πR2＝5π.答案：5π9.現(xiàn)須要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m．因為A1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故倉庫的容積是312m10．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝16－4＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，則AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).B級·素養(yǎng)提升|練實力|11.已知一個簡潔幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．3π＋6 B．6π＋6C．3π＋12 D．12解析：選A由三視圖還原幾何體如圖，該幾何體為組合體，左半部分是四分之一圓錐，右半部分是三棱錐，則其體積V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×32×4＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×4＝3π＋6.故選A.12．體積為eq\r(3)的三棱錐P－ABC的頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，則球O的體積的最小值為()A.eq\f(7\r(7),3)π B.eq\f(28\r(7),3)πC.eq\f(19\r(19),3)π D.eq\f(76\r(19),3)π解析：選B設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，由題可得，eq\r(3)＝eq\f(1,3)×S△ABC×2，解得S△ABC＝eq\f(3\r(3),2)，因為∠ABC＝120°，S△ABC＝eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(1,2)acsin120°，所以ac＝6，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號，此時bmin＝3eq\r(2)，設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則eq\f(b,sin120°)＝2r(b最小，則外接圓半徑最小)，故eq\f(3\r(2),\f(\r(3),2))＝2rmin，所以rmin＝eq\r(6)，如圖，設(shè)O1為△ABC外接圓的圓心，過O作OD⊥PA，垂足為D，R為球O的半徑，連接O1A，O1O，OA，OD，PO，設(shè)OO1＝h，在Rt△OO1A中，R2＝r2＋OOeq\o\al(2,1)＝r2＋h2，在Rt△OPD中，R2＝r2＋(2－h(huán))2，聯(lián)立得h＝1.當(dāng)rmin＝eq\r(6)時，Req\o\al(2,min)＝6＋1＝7，Rmin＝eq\r(7)，故球O體積的最小值為eq\f(4,3)πReq\o\al(3,min)＝eq\f(4,3)π×(eq\r(7))3＝eq\f(28\r(7)π,3)，故選B.13．榫卯是我國古代工匠極為精致的獨創(chuàng)，它是在兩個構(gòu)件上采納凹凸部分相結(jié)合的一種連接方式．我國的北京紫禁城、山西懸空寺、福建寧德的廊橋等建筑都用到了榫卯結(jié)構(gòu)．圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖，則其體積為________，表面積為________．解析：由三視圖可知，榫卯構(gòu)件中的榫由一個長方體和一個圓柱拼接而成，故其體積V＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面積S＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.答案：24＋54π54π＋3614．(2025屆合肥調(diào)研)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，M為棱AB上一點，BC1∥平面A1MC(1)求證：AM＝BM；(2)若△ABC是等邊三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，△A1MC的面積為4eq\r(2)，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．解：(1)證明：如圖，連接AC1交A1C于N，連接MN∵BC1∥平面A1MC，BC1?平面ABC1，平面ABC1∩平面A1MC＝MN，∴BC1∥MN.由三棱柱ABC－A1B1C1知，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴N為AC∴M為AB的中點，即AM＝BM.(2)連接A1B，∵△ABC是等邊三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°∴△ABC，△AA1B，△AA1C由(1)知，M為AB的中點，∴