13.4 課題學習 最短路徑問題 人教版數學八年級上冊課件

新知一覽軸對稱畫軸對稱圖形軸對稱線段的垂直平分線的性質與判定軸對稱畫軸對稱圖形等腰三角形等腰三角形的性質等邊三角形的性質與判定用坐標表示軸對稱線段的垂直平分線的有關作圖課題學習

最短路徑問題含30°

角的直角三角形的性質等腰三角形的判定13.4課題學習

最短路徑問題第十三章

軸對稱人教版八年級(上)

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖

1

中的

A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊

l

飲馬，然后到

B

地.到河邊個么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?

l

知識點1:將軍飲馬問題你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？

l

當點C在l的什么位置時，AC與

CB

的和最小.探究一

如圖，點

A、B

在直線

l

的同側，點

C在直線

l

上的一個動點，當點

C

在

l

什么位置時，AC和

CB

的和最小？分析：未知問題同側兩點最短已知問題異側兩點最短(1)如圖，點

A、B

分別是直線l異側的兩個點，如何在l

上找到一個點，使得這個點分別到點

A與點

B

的距離和最短？連接

AB交l于點

C.(2)如何將探究一的點

B“移”到l的另一側

B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持

CB與

C′B′的長度相等？利用軸對稱，作出點

B關于直線

l的對稱點

B′.作法：(1)作點

B

關于直線

l的對稱點

B′；(2)連接

AB′，與直線

l相交于點

C．則點

C即為所求．(3)你能用所學的知識證明：AC+BC

最短嗎？證明：如圖，在直線

l上任取一點

C′(與點

C

不重合)，連接

AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質知

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴

AC+BC＜AC′+BC′，即

AC+BC

最短．同側轉化異側實際問題數學問題通過軸對稱將同側點轉化為異側利用兩點之間，線段最短，化折為直1.如圖

(1)

是示意圖，游船從湖岸

l?

的碼頭

D

將游客送往亭子

M停留觀賞，然后將游客送往湖岸

l?

的碼頭

C，最后再回到碼頭

D.請在圖

(2)

中畫出游船的最短路徑，并確定兩個碼頭的位置(練一練2超鏈接).湖岸

l?湖岸

l2

(1)

(2)

湖岸

l?湖岸

l?解：如圖(2)示.知識點2:造橋選址區(qū)問題探究二

如圖，A和

B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋

MN.橋造在何處可使從

A到

B的路徑

AMNB最短(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)？當點

N在直線

b的什么位置時，AM+MN+NB最小？AM+NB固定分析：MN

平移到AA′AM+NB最短AM=A′NA′N+NB最短A′、N、B三點共線類比將軍飲馬問題，完成證明.連接

AB2.如圖

(1)

是示意圖，在第

1

題的條件下，如果在湖面上再新建一座觀賞亭

N，且游船路線為湖岸

l?

的碼頭

D→亭子

M→亭子

N→湖岸

l2

的碼頭

C→湖岸

l?

的碼頭

D.請在圖(2)中畫出游船的最短路徑，并確定兩個碼頭的位置.(提示：思考最短路線是由哪幾條線段相加).湖岸

l?湖岸

l2

(1)湖岸

l?湖岸

l2

(2)解：如圖(2)示.解決最短路徑問題通常利用________、________實現線段的轉移，把已知問題轉化成容易解決的問題軸對稱平移基礎練習1.(佛山?？?某開發(fā)商的經適房的三個居民小區(qū)

A、B、C

在同一條直線上，位置如圖所示，其中小區(qū)

B

到小區(qū)A、C

的距離分別是70m和150m，小區(qū)

A、C之間建立一個超市，要求各小區(qū)居民到超市總路程和最小，那么超市的位置應建在()A.小區(qū)

A B.小區(qū)

BC.小區(qū)

C D.AC

的中點B2.線段

AC是正方形

ABCD的對角線，點

M是邊

CD上的一定點(不與

D，C重合)，請在對角線

AC上找一點

P，使得△PDM的周長最小，并作簡要說明．解：如圖，連接

BM，交

AC于點

P，點

P即為所求．3.(廣州校考)如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中，點A，B，C

在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出與△ABC

關于直線l成軸對稱的△A′B′C′；(2