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第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)中學(xué)高三(上)期初數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.sin(1050A.12 B.?12 C.2.已知集合A={x|2x?1>0},B={x|x2A.(0,3) B.(0,1) C.(?3,+∞) D.(?1,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=ax?sinx(a∈R),則“a=1”是“f(x)在區(qū)間(π2,+∞)上單調(diào)遞增”的A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.已知f(x)=2x+m,x>0nx+1,x<0為奇函數(shù),則m+n=(
)A.1 B.2 C.0 D.?15.某圓錐母線長為1,其側(cè)面積與軸截面面積的比值為2π,則該圓錐體積為(
)A.3π8 B.π8 C.36.已知隨機(jī)變量ξ~N(2,σ2),且P(ξ≤1)=P(ξ≥a),則1xA.5 B.112 C.203 7.已知角α,β滿足tanα=2,2sinβ=cos(α+β)sinα,則tanβ=(
)A.13 B.17 C.168.已知f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,記g(x)=f′(x),g(5.5)=2,若f(x+1)關(guān)于x=?1對(duì)稱,g(2x+1)是偶函數(shù),則g(?0.5)=(
)A.?2 B.2 C.3 D.?3二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a>0,b>0,a+2b=1,下列結(jié)論正確的是(
)A.1a+2b的最小值為9 B.a2+b2的最小值為5510.已知函數(shù)f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ(ω>0,0<φ<π2)的部分圖象如圖所示,則A.φ=π6
B.ω=2
C.f(x+π6)為偶函數(shù)
D.f(x)11.Sigmoid函數(shù)S(x)=11+e?x是一個(gè)在生物學(xué)中常見的S型函數(shù),也稱為S型生長曲線,常被用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù).記S′(x)為SigmoidA.S′(x)=S(x)[1?S(x)] B.Sigmoid函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)
C.函數(shù)S′(x)的最大值是14 D.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?2,1),則cos(π+α)=______.13.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足ab?b+2=0,則1a+3b的最小值是______.14.已知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)且f(2)=2,對(duì)于任意正數(shù)x1,x2都有f(x1x2)=f(x1四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=a?2x+12x?1是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意x∈R,都有16.(本小題15分)
已知a=(2cosx,32),b=(sin(x?π3),1),設(shè)f(x)=a?b.
17.(本小題15分)
如圖,三棱錐P?ABC中,∠ABC=π2,AB=BC=2,PA=PB,D是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在棱AC上.
(1)下面有①②③三個(gè)命題,能否從中選取兩個(gè)命題作為條件,證明另外一個(gè)命題成立?如果能,請(qǐng)你選取并證明(只要選取一組并證明,選取多組的,按第一組記分);
①平面PAB⊥平面ABC;
②DE⊥AC;
③PE⊥AC.
(2)若三棱錐P?ABC的體積為23,以你在(1)所選的兩個(gè)條件作為條件,求平面PDE與平面18.(本小題17分)
在一場乒乓球賽中,甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”,具體賽制為:首先,四人通過抽簽兩兩對(duì)陣,勝者進(jìn)入“勝區(qū)”,敗者進(jìn)入“敗區(qū)”;接下來,“勝區(qū)”的兩人對(duì)陣,勝者進(jìn)入最后決賽;“敗區(qū)”的兩人對(duì)陣,敗者直接淘汰出局獲利第四名,緊接著,“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對(duì)陣,勝者晉級(jí)最后的決賽,敗者獲得第三名;最后,剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽,勝者獲得冠軍,敗者獲利第二名.甲對(duì)陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(0<p<1),且不同對(duì)陣的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)若p=0.6,經(jīng)抽簽,第一輪由甲對(duì)陣乙,丙對(duì)陣?。?/p>
①求甲獲得第四名的概率;
②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
(2)除“雙敗淘汰制”外,也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”:抽簽決定兩兩對(duì)陣,勝者晉級(jí),敗者淘汰,直至決出最后的冠軍.哪種賽制對(duì)甲奪冠有利?請(qǐng)說明理由.19.(本小題17分)
已知函數(shù)g(x)=2ln(?t?1)+cos(?t?2).
(1)函數(shù)f(x)與g(x)的圖像關(guān)于x=?1對(duì)稱,求f(x)的解析式;
(2)f(x)?1≤ax在定義域內(nèi)恒成立,求a的值;
(3)求證:k=n+12nf(參考答案1.B
2.B
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.A
9.AD
10.ACD
11.ACD
12.2513.214.(0,4]
15.解:(1)由偶函數(shù)定義知:f(?x)=f(x),
即a?2?x+12?x?1=a?2?x+2?2x=a?2x+2?2?x,
∴(a?2)?(2x?2?x)=0對(duì)?x∈R成立,∴a=2.
(2)由(1)得:f(x)=2(2x+2?x);
16.解:(1)因?yàn)閍=(2cosx,32),b=(sin(x?π3),1),
所以f(x)=a?b=2cosxsin(x?π3)+32=2cosx(12sinx?32cosx)+32
=sinxcosx?3cos2x+32=12sin2x?17.解:(1)證明:選擇①②,可證明③.
因?yàn)镻A=PB,D是線段AB的中點(diǎn),所以PD⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且PD?平面PAB;
所以PD⊥平面ABC,又AC?平面ABC,所以PD⊥AC,
又DE⊥AC,PD∩DE=D,PD,DE?平面PDE,
所以AC⊥平面PDE,又PE?平面PDE,所以AC⊥PE,
若選擇①③,可證明②.
因?yàn)镻A=PB,D是線段AB的中點(diǎn),所以PD⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且PD?平面PAB,
所以PD⊥平面ABC,又AC?平面ABC,
所以PD⊥AC,又PE⊥AC,PD∩PE=P,PD,PE?平面PDE,
所以AC⊥平面PDE,又DE?平面PDE,所以AC⊥DE.
選擇②③,可證明①.
因?yàn)镻A=PB,D是線段AB的中點(diǎn),所以PD⊥AB,
因?yàn)镻E⊥AC,DE⊥AC,PD,PE?平面PDE,DE∩PE=E,
所以AC⊥平面PDE,又PD?平面PDE,所以PD⊥AC,
AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,
所以PD⊥平面ABC,又P
D?平面PAB,
所以平面PAB⊥平面ABC;
(2)如圖,延長ED交CB的延長線于Q,連接PQ,
則平面PDE∩與平面PBC=PQ.
由三棱錐P?ABC的體積為23,且∠ABC=π2,
AB=BC=2,得23=13(12×2×2)?PD,解得PD=1.
又由∠ABC=π2,及D是線段AB的中點(diǎn),DE⊥AC,
在等腰直角三角形CEQ中,CE=322,CQ=3,
連結(jié)CD,在Rt△CPD中,PD=1,CD=5,PC=6,
在等腰直角三角形BDQ中,BD=BQ=1,QD=2,
在Rt△QPD中,PQ=3,
在△CPQ中,由PC2+PQ2=CQ2,所以PC⊥PQ,
又由(1)知,18.解:(1)若p=0.6,經(jīng)抽簽,第一輪由甲對(duì)陣乙,丙對(duì)陣?。?/p>
①記“甲獲得第四名”為事件A,則P(A)=(1?0.6)2=0.16;
②記甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場次為隨機(jī)變量X,
則X的所有可能取值為2,3,4,
連敗兩局:P(X=2)=(1?0.6)2=0.16,
X=3可以分為:連勝兩局,第三局不管勝負(fù);負(fù)勝負(fù);勝負(fù)負(fù);
P(X=3)=0.62+(1?0.6)×0.6×(1?0.6)+0.6×(1?0.6)×(1?0.6)=0.552X234P0.160.5520.288故數(shù)學(xué)期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128,
則甲在“雙敗淘汰制”下參與對(duì)陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3.128;
(2)除“雙敗淘汰制”外,也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”:抽簽決定兩兩對(duì)陣,勝者晉級(jí),敗者淘汰,直至決出最后的冠軍,
“雙敗淘汰制”下,甲獲勝的概率P=p3+p(1?p)p2+(1?p)p3=(3?2p)p3,
在“單敗淘汰制”下,甲獲勝的概率為p2,
由(3?2p)p3?p2=19.解:(1)依題意,設(shè)f(x)圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
則其關(guān)于x=?1對(duì)稱的點(diǎn)(?2?x0,y0)在g(x)圖像上,
則y0=f(x0)=g(?2?x0),則f(x0)=g(?x0?2)=2ln(x0+1)+cosx0,(x0>?1)
故f(x)=2ln(x+1)+cosx,(x>?1);
(2)令?(x)=f(x)?1?ax=2ln(x+1)+cosx?1?ax,(x>?1),
則在?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立,
又?(0)=0,且?(x)在x∈(?1,+∞)上是連續(xù)函數(shù),則x=0為?(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),
?′(x)=2x+1?sinx?a,?′(0)=2?a=0?a=2,
下證當(dāng)a=2時(shí),?(x)≤0在x∈(?1,+∞)恒成立,
令φ(x)=ln(x+1)?x,φ′(x)
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