高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解答題培優(yōu)-極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)解答題培優(yōu)一一極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

知識(shí)整合：，已知函數(shù)/U)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)沏，若式X)=C的兩

根的中點(diǎn)剛好滿(mǎn)足出三強(qiáng)=沏，即極值點(diǎn)在兩根的正

中間，也就是說(shuō)極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.此時(shí)函數(shù)/(X)在X

=沏兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1).(無(wú)偏移，左右對(duì)稱(chēng)，二次函數(shù))

若/(孫)二/(42)，則的+%2二240.

(1)

2.若土土土力°,則極值點(diǎn)偏移,

2

此時(shí)函數(shù)/(x)在％=沏兩側(cè)，函數(shù)

值變化快慢不同,如圖⑵

(3).(左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移)(左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移)

=<

若/(工1)=4*2)>則x1+x2>2x0.若/(4)/(x2)，則?1+%22?0-

(2)⑶

典例:已知/(x)=封一；如-X

11%2,meR.若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)』，々，且玉</，

求證：演々>e2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路

2

證法1：欲證xw>e,需證In%1+lnx2>2.

若〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)看，即函數(shù)/'(x)有兩個(gè)零點(diǎn).又f(x)=lnx-mx，所以，為，

W是方程/'(力=0的兩個(gè)不同實(shí)根.

In%—/wc=0解得加=々

于是，有}E%+In

Inx-mx=0

22X{+工2

JlnXj-mX]=0

另一方面，由得Ing-In%=m(x2—xj,

[lnx2-mx2=0

Inx-Inx,_Inx+Inx

從而可得，2}2

九2一%X1+%

1+強(qiáng)]In強(qiáng)

(lnx2-lnXj)(x2+xj

于是，Inx,+Inx2

強(qiáng)-1

玉

又0v%<%2，設(shè)￡=±，則，>1.因此，InXj+lnx,=（l+，）ln，,［〉］

x}t-\

要證ln%+lnw>2，即證：）ln->2/>1.即：當(dāng)，>1時(shí)，有Inf>丑二^.設(shè)

I￡+1

函數(shù)W）=lnr—^^,t>\,則“⑺=；_2（，+l）—：!l）=尹余。,

/+1t（z+l）（+1）

所以,〃⑺為（1.+8）上的增函數(shù).注意到，〃（1）=0,因此,/2（f）>/7（l）=O.

，當(dāng)，>1時(shí)，有In/>一）；）.所以，有In%+In々>2成立，xx>e2.

x2

求解本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè).一個(gè)是消參，把極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之后，需要利用兩

個(gè)變量把參數(shù)表示出來(lái)，這是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，若只用一個(gè)極值點(diǎn)表示參數(shù)，如得到

加=嶼之后，代入第二個(gè)方程，則無(wú)法建立兩個(gè)極值點(diǎn)的關(guān)系，本題中利用兩個(gè)方程相

玉

加（減）之后再消參，巧妙地把兩個(gè)極值點(diǎn)與參數(shù)之間的關(guān)系建立起來(lái)：二是消“變”，即減少

變量的個(gè)數(shù)，只有把方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)“變量”的式子后，才能建立與之相應(yīng)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函

數(shù)問(wèn)題求解.本題利用參數(shù)m的值相等建立方程，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，將方程轉(zhuǎn)化

為關(guān)于小?的方程，通過(guò)建立函數(shù)模型求解該問(wèn)題，這體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)建模等孩心素養(yǎng)的考

川

查.（消參減元）

解法二變換函數(shù)能妙解

證法2:欲證不々>?2，需證Inx+lnx^Z,若“可有兩個(gè)極值點(diǎn)外，即函數(shù)尸（x）

有兩個(gè)零點(diǎn).又/'（x）=lnx—如，所以，當(dāng)，%是方程r（x）=0的兩個(gè)不同實(shí)根.顯

然機(jī)>0,否則，函數(shù)/'（%）為單調(diào)函數(shù)，不符合題意.

Inx-mx.=0i,

由?1^=>Inx+In=m

Inx2—nvc^=0

/、2

即只需證明加（玉+%）>2即可.即只需證明x,+x>—.

2m

'Nr'83=%4>°'故8(”在

設(shè)g（x）=/,（x）-/0,—

1“7\m77

(0勿，即g(x)<g/=o,故r(x)W.

由于/"(x)=,_/〃=上心竺，故尸(x)在,f-,+ooh.

XX\J7

i(2、

設(shè)王〈一<龍2，令X=X|，貝！1/(*2)=r(N)<%，

tnktTi)

又因?yàn)椤?--％j—，+00]J'(x)在[一,故有為>再，即百+工2>—原

mJ\m)mm

命題得證.

解法三構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實(shí)力

證法3:由玉，毛是方程/'(x)=0的兩個(gè)不同實(shí)根得加=邛，令g(x)=(，

g(%)=g(毛),由于g'(x)=l]尸,因此，g(x)在(l,e)T,(e,400)4-.

2(2

2

設(shè)1<X1<e<々，需證明x,x2>e，只需證明X]>上e(0,e)，只需證明/(%)>/-

屋2、屋2、

即/(%)>/—，即一/—>0.

\X27\x27

<2\(1—[n1)仿2—)

BPA(x)=/(%)-/—(xe(l,e)),/z,(x)=-------------->0，故/?(x)在(l,e)T,

xJxe

/2\(2、

故〃(x)<〃(e)=0,即/6)4—.令%=%,則“%2)=/(%)</—，因?yàn)樨祝?/p>

\XJ\Xl7

—e(e,+oo),/(x)在(e,+oo)J，所以%>上,即不々>/.

對(duì)稱(chēng)變換主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下:

(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為須)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)

即.

(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)F(x)=J(x)—Air。-x),若證的應(yīng)>無(wú)；，則令尸(x)

玉)

=/U)一.

x

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)尸(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出兀0與人2xo-x)的大小關(guān)系.

（5）轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)段）的單調(diào)性，將火x）與八與一x）的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2的一x之間的

關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求.

［提醒］若要證明了（"乜）的符.號(hào)問(wèn)題，還需進(jìn)一步討論三戶(hù)與孫的大小，得出

工上所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).

2

解法四巧引變量（一）

證法4:設(shè)匕=ln%e（0,l）,Z2=lnx241,同，則由｛黑二黑二、得

Ji八=乙二不七，設(shè)左=（-J<0,則f［=~r~：''2=?欲證王％2>e?,

—me-qe_1e_1

需證In%+In%>2.即只需證明白+弓>2，即

4（］+e〃）

士卡>20攵（1+心）<2（心-1）0攵0+心）-2（9-1）<0.設(shè)

g（A）=Ml+e?）-2（e?-l）（A<0）,g"）=AeJe"+l,g〃（A）=Ze"<0，故g"）在

（-oo,0）J，故/團(tuán)>8〈0）=0,故8（女）在（7,0）個(gè)，因此g化）<g（0）=0，命題得

證.

解法五巧引變量（二）

證法5:設(shè)4=*G（0,l）,J=1—?1什）,則由（黑二皴：；得

J=嗎=>Le…，設(shè)乙=%?0,1），則半，"鱉.欲證中2%，需

2

t2=me!t2Lk—lk-1「

證ln%+ln%2>2,即只需證明A+L>2,即

(Z+l)lnA2(1)oln女一豈—―<0,設(shè)

>2oIn攵v

k-lk+\Z+1

g⑻=lnA-2(jJ)0o(0,l)),g，(k)=［虧>0，故g(。在(0,1)個(gè)，因此

k+1攵(Z+l)

g（攵）<g⑴=0,命題得證.

比（差）值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，

然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比（差）作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值或差值（一

般用f表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問(wèn)題求解.

變式1.已知函數(shù)/(x)=xe7(xeR).

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)如果%H%2，且/(x)=/(w)，求證：石+%2>2.

解：(1)因?yàn)?(x)=xe-*,所以/=X”-，，.

可得函數(shù)〃x)=xer在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減.

(2)證明：由/(%)=/(工2)，X|H%2，不妨設(shè)藥<》2，

構(gòu)造函數(shù)b(x)=/(l+x)-/(l-x),xe(O,l],

則?(力=/'(1+同+/'(1_力=自卜2*—1)>0,

所以尸(X)在x€(0,1]上單調(diào)遞增，/(X)>尸(0)=0,

也即+x)>/(1-x)對(duì)x€(0』恒成立.

由0<%<1<々，貝I」1-玉€(0,1],

所以〃1+(1-內(nèi)))=/(2—xJ>/(l_(l_X1))=/(xJ="w),

即/(2—石)>/(%),又因?yàn)?-王，e(l,+oo),且/(X)在(1,+oo)上單調(diào)遞減,

所以2—石<%2，即石+/>2.

變式2.已知函數(shù)〃X)=幺+乃8sx

(1)求函數(shù)/(X)的最小值;

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-a在(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)再，々，且為<%,求證:

2%j+%兀

-<?.

儲(chǔ)

【答案】(1)/(%).=—(2)證明見(jiàn)解析；

J\/min4

(1)/(x)=x2+ZTCOSX,/(-x)=x2+^cosx=/(x),

/(x)為偶函數(shù)，故只需求％目0,轉(zhuǎn))時(shí)/(x)的最小值，

/,(x)=2x-zrsinx,當(dāng)時(shí)，設(shè)力(x)=2x-〃sinX,

/?'(x)=2—7TCOSX,顯然〃'(x)單增，而“(0)<0,>0,

由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的使得〃(毛)=0,

當(dāng)xe(O,豌))，”(x)<0,單減,

當(dāng)兀6卜0，方)，/Z(x)>0,/z(x)單增，

而〃(0)=0,〃D=。,故A(x)<0,

即xe(0,/),r(x)<0,〃x)單減；

乂當(dāng)xe^,+ooj,2x>%>乃sinx,/'(x)>0,/(x)單增,

3131

⑵2%+3/+三+。產(chǎn)+產(chǎn)+o.+/,

3-33-2

只需證？‘2%<萬(wàn)，由(1)得%%€(,,+8),

構(gòu)造函數(shù)/(x)=/(x)-/(%-x)，XG0,^

\2)

尸'(x)=/'(x)+/"(萬(wàn)一x)=2;r—24sinx>0,即F(x)單增,

所以產(chǎn)(%)</')=°'即當(dāng)xe(0,、J時(shí)，/(x)</(^--x),

而所以/(%)</(萬(wàn)一內(nèi))，又〃%)=/(9)，

即1(%)</(萬(wàn)一石)，此時(shí)赴,乃一玉e(^,+oo

在后,+00J單增，所以馬〈乃一石，玉+馬〈乃，即證''-

變式3.(2020?安徽模擬)已知/(x)=2x+l-*(6/GR).

>2

若XI，X2為方程/(x)=1的兩個(gè)相異的實(shí)根，求證：X1+X2%

【解析】證明：Xl，X2為方程f(x)=1的兩個(gè)相異的實(shí)根，則修，X2為方程2x-eS=0的

兩個(gè)相異的實(shí)根，

即為，為方程辦=及(2x)的兩個(gè)相異的實(shí)根，

'.ax\=ln(2x|),ax2=ln(2%2)-不妨設(shè)片>》2>0.

?\a(xj-X2)—In—，即a_*2.證明：x\+x2>-^ci>—二—.

"2一式FaXl+X2

因此只要證明：,2.即證明要2>-xi-X2)即可.

犯—“241+”2**1+42

令2=/>l.上述不等式等價(jià)于：g(/)=bU-2(>Q(/>1),g(1)=0.

x2t+1

⑺_l_2(t+l)-冬-1)_(J1)：

>0,

g(t+ip

???函數(shù)g(7)在(1,+8)上單調(diào)遞增，??.g(/)>g(1)=0,

：.ln^->巡曰2成立.即xj+X2>2.

a

x241+“2

變式4..(2020?撫順模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-tx+t.當(dāng)f=2時(shí)，方程f(x)=〃?-0￥恰

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占，X2,證明："2>2—a.

2xiX2

【解析】證明：由f(x)—m-cix,得lnx+(a-2)x+2-m=0.

令g(x)=lnx+(。-2)x+2,貝ljg(x\)=g(無(wú)2)=m.

BPlnx]+(a-2)x\=lnx0+{a-2):.a-2=xi.

———叼

不妨設(shè)0<刁<x2>要證紅±>2-a,

2xiX2

□?-txl+x2gs、-21,X1X2X2

只需證----->2(2-〃1)____fl,n即n證T-------<—21九一.

X1X2一孫一&戈2X1X1

X21

令A(yù)一=c(c>l),g(c)=2lnc--

孫c

?:g'(C)=]_5=_(白_1)2<0?

，g(c)在(1,+8)上單調(diào)遞減，則g(c)<g(1)=0.

故紅士?>2-a成立.

2xiX2

變式5.設(shè)函數(shù)./1(%)=x2-(a-2)x-aln