人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)《第七章 隨機(jī)變量及其分布》2024年單元測(cè)試卷（B卷）

人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)《第七章隨機(jī)變量及其分布》2024年單元測(cè)試卷（B卷）一、選擇題1．（5分）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c則實(shí)數(shù)c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.762．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．3．（5分）已知4個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次隨機(jī)取1個(gè)球，不放回地取兩次．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為（）A． B． C． D．4．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列由，則a的值為（）A．1 B． C． D．5．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，則μ的值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1二、多選題（多選）6．（5分）下列事件中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的有（）A．隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù) B．某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ C．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N） D．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N）（多選）7．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），則下列結(jié)論正確的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）（多選）8．（5分）下列命題中，正確的命題是（）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變 C．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則 D．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B（10，0.8），則當(dāng)X＝8時(shí)概率最大三、填空題9．（5分）設(shè)隨機(jī)變量X～B（5，），則P（2＜X≤4）＝．10．（5分）已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位．若移動(dòng)n次，則當(dāng)n＝4時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為，當(dāng)n＝時(shí)，質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大．11．（5分）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，則b＝．四、解答題12．（12分）某校從學(xué)生會(huì)宣傳部6名成員（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加某省舉辦的“我看中國(guó)改革開(kāi)放三十年”演講比賽活動(dòng)．（1）設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．13．（12分）學(xué)校體育節(jié)，某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4．現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．（1）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．14．（12分）甲，乙兩隊(duì)參加世博會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響，用ξ表示甲隊(duì)的總得分．（1）求隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）設(shè)C表示事件“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求P（C）．15．（12分）生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）試分別估計(jì)元件A，元件B為正品的概率；（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元．（?。┯沊為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率．16．（12分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，分別求兩種方案下小明、小紅累計(jì)得分的分布列，并指出他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)《第七章隨機(jī)變量及其分布》2024年單元測(cè)試卷（B卷）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列如表：X0123P0.20.30.4c則實(shí)數(shù)c等于（）A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【分析】利用分布列的性質(zhì)即可得出．【解答】解：據(jù)題意，得0.2+0.3+0.4+c＝1，解得：c＝0.1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知，則＝（）A． B． C． D．【分析】由二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型可得：P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，得解．【解答】解：因?yàn)閄～B（5，），所以P（）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝（）3（）2+（）2（）3＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型，屬簡(jiǎn)單題．3．（5分）已知4個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次隨機(jī)取1個(gè)球，不放回地取兩次．在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為（）A． B． C． D．【分析】直接分析即可．【解答】解：第一次取到紅球后還剩3個(gè)紅球，2個(gè)白球，故第二次取到白球的概率為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列由，則a的值為（）A．1 B． C． D．【分析】根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列和分布列的所有概率之和等于1，列出關(guān)于a的一元一次方程，得到字母的值．【解答】解：∵隨機(jī)變量ξ的分布列由，∴根據(jù)分布列的性質(zhì)有a×＝1，∴a（）＝a×＝1，∴a＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)和簡(jiǎn)單應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)分布列的性質(zhì)得到關(guān)于字母系數(shù)的方程，利用方程思想來(lái)解題，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．5．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（μ，σ2），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝1，則μ的值為（）A． B．﹣ C．1 D．﹣1【分析】由題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和概率的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．【解答】解：由題意可得：P（ξ＜0）+P（ξ＜1）＝P（ξ≥1）+P（ξ＜1）＝1，∴P（ξ＜0）＝P（ξ≥1），結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性可得：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，概率的基本性質(zhì)等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．二、多選題（多選）6．（5分）下列事件中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的有（）A．隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù) B．某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9，從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ C．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N） D．有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的定義，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，由于每拋擲一枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率都是相等的，且相互獨(dú)立，故隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，故A正確，對(duì)于B，對(duì)于射手某從開(kāi)始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ，每次試驗(yàn)不是獨(dú)立的，與其它各次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，故不是二項(xiàng)分布，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用有放回抽取方法，每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率都是相等的，且相互獨(dú)立，故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N）服從二項(xiàng)分布，故C正確，對(duì)于D，由于采用不放回抽取方法，每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率相等，后一次要受前一次影響，故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)（M＜N）不服從二項(xiàng)分布，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)分布的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（5分）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），則下列結(jié)論正確的是（）A．P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）+P（ξ＞﹣a）（a＞0） B．P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）﹣1（a＞0） C．P（|ξ|＜a）＝1﹣2P（ξ＜a）（a＞0） D．P（|ξ|＜a）＝1﹣P（|ξ|≥a）（a＞0）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解．【解答】解：P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a），故A錯(cuò)誤，P（|ξ|＜a）＝P（﹣a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＜﹣a）＝P（ξ＜a）﹣P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）﹣[1﹣P（ξ＜a）]＝2P（P（ξ＜a）﹣1，故B正確，C錯(cuò)誤，∵P（|ξ|＜a）+P（|ξ|＞a）＝1，∴P（|ξ|＜a）＝10P（|ξ|＞a），（a＞0），故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布的對(duì)稱性，掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性是解決正態(tài)分布概率的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（5分）下列命題中，正確的命題是（）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，則 B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變 C．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，則 D．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，X～B（10，0.8），則當(dāng)X＝8時(shí)概率最大【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)列方程組計(jì)算p判斷A，根據(jù)方差性質(zhì)判斷B，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性判斷C，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式判斷D．【解答】解：對(duì)于A，由題意可得：，兩式相比可得：1﹣p＝，故p＝，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由D（aX+b）＝a2D（X）可知當(dāng)a＝1時(shí)，D（X+b）＝D（X），故B正確；對(duì)于C，由ξ～N（0，1）可知P（ξ≤0）＝，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞1）＝p，∴P（﹣1＜ξ≤0）＝P（ξ≤0）﹣P（ξ＜﹣1）＝p，故C正確；對(duì)于D，＝＝，＝＝，令，解得：≤k≤，又k∈Z，故k＝8，故X＝8時(shí)，概率最大，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)，屬于中檔題．三、填空題9．（5分）設(shè)隨機(jī)變量X～B（5，），則P（2＜X≤4）＝．【分析】利用二項(xiàng)分布和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型直接求解．【解答】解：∵隨機(jī)變量X～B（5，），∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查二項(xiàng)分布和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（5分）已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位．若移動(dòng)n次，則當(dāng)n＝4時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為，當(dāng)n＝34或36時(shí)，質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大．【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求n＝4時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率，再求質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率表達(dá)式并求其最值．【解答】解：質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位．則第n次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率為，事件n＝4時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)等價(jià)于事件前4次移動(dòng)中有且只有2次向左移動(dòng)，所以事件n＝4時(shí)質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為，事件第2m+6次移動(dòng)后質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處等價(jià)于事件質(zhì)子在2m+6次移動(dòng)中向右移了m+6次，所以第2m+6次移動(dòng)后質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率，設(shè)，則，令可得，化簡(jiǎn)可得4m2+32m+28＞4m2+30m+56，所以m＞14，m∈N*，所以f（15）＞f（16）＞…＞f（m）＞…，令可得m＜14，m∈N*，所以f（14）＞f（13）＞…＞f（1），又，所以m＝14或m＝15，即n＝34或n＝36時(shí)，質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大．故答案為：；34或36．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．11．（5分）已知隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示：x﹣1012P（ξ＝x）abc若Eξ＝0，Dξ＝1，則b＝．【分析】由分布列的性質(zhì)和期望方差的定義可得a+b+c+＝1，①﹣a+c+＝0，②a+c+＝1，③聯(lián)立解方程組可得．【解答】解：由分布列的性質(zhì)可得a+b+c+＝1，①又可得Eξ＝﹣a+c+＝﹣a+c+＝0，②Dξ＝（﹣1﹣0）2a+（0﹣0）2b+（1﹣0）2c+（2﹣0）2×＝1，化簡(jiǎn)可得：a+c+＝1，③聯(lián)立②③可解得，代入①可得b＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方程，涉及分布列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題．四、解答題12．（12分）某校從學(xué)生會(huì)宣傳部6名成員（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加某省舉辦的“我看中國(guó)改革開(kāi)放三十年”演講比賽活動(dòng)．（1）設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列；（2）求男生甲或女生乙被選中的概率．【分析】（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，分別求出ξ的分布列．（2）設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出男生甲或女生乙被選中的概率．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值為0，1，2，依題意得P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝．∴ξ的分布列為：ξ012P（2）設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C，則P（C）＝＝＝．∴所求概率為P（）＝1﹣P（C）＝1﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．13．（12分）學(xué)校體育節(jié)，某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4．現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．（1）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求出事件A發(fā)生的概率；（2）根據(jù)題意知隨機(jī)變量X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值與方差．【解答】解：（1）由已知得：P＝＝，所以，事件A發(fā)生的概率為；（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2；計(jì)算＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0×+1×+2×＝1，D（X）＝+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．14．（12分）甲，乙兩隊(duì)參加世博會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響，用ξ表示甲隊(duì)的總得分．（1）求隨機(jī)變量ξ的分布列；（2）設(shè)C表示事件“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求P（C）．【分析】（1）由題意可知，ξ的所有可能的值為0，1，2，3，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得ξ的分布列．（2）“甲隊(duì)得兩分”與“乙隊(duì)得1分”相互獨(dú)立，分別算出“甲隊(duì)得兩分”的概率，乙隊(duì)得1分”的概率，并相乘，即可求解．【解答】解：（1）由題意可知，ξ的所有可能的值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，故ξ的分布列為：ξ0123P（2）“甲隊(duì)得兩分”與“乙隊(duì)得1分”相互獨(dú)立，由（1）得，“甲隊(duì)得2分”的概率P（ξ）＝，“乙隊(duì)得1分”的概率為++，∴“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”的概率P（C）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解，以及需要學(xué)生熟練掌握概率公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（12分）生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件A81240328元件B71840296（Ⅰ）試分別估計(jì)元件A，元件B為正品的概率；（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元．（?。┯沊為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率．【分析】（Ⅰ）由檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出元件A、元件B為正品的概率．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有取值為150，90，30，﹣30．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．（ii）生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元包含兩種情況：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，由此能求出生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知元件A為正品的概率為p1＝＝，元件B為正品的概率為＝．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有取值為150，90，30，﹣30．由題意可得P（X＝150）＝，P（X＝90）＝＝，P（X＝30）＝＝，P（X＝﹣30）＝＝，∴X的分布列為：X1509030﹣30PEX＝＝108．（ii）生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元包含兩種情況：5件都是正品，或5件中4件正品1件次品，∴生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于300元的概率：p＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．16．（12分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．（1）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，分別求兩種方案下小明、小紅累計(jì)得分的分布列，并指出他們選