因式分解壓軸題（20題）-【?？?jí)狠S題】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（解析版）

第四章因式分解壓軸題1．若，則關(guān)于的說(shuō)法正確的是（

）．A．是正整數(shù)，而且是偶數(shù) B．是正整數(shù)，而且是奇數(shù)C．不是正整數(shù)，而是無(wú)理數(shù) D．無(wú)法確定【答案】B【分析】設(shè)，將根號(hào)下的整式通過(guò)加添項(xiàng)湊成完全平方式，去掉根號(hào)，再根據(jù)整式的性質(zhì)進(jìn)行判斷正負(fù)性和奇偶性，本題考查了運(yùn)用完全平方公式分解因式，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握完全平方公式，及加添項(xiàng)的分解因式技巧．【詳解】設(shè)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，選項(xiàng)符合題意，故選：．2．如果一個(gè)四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0，滿(mǎn)足，那么稱(chēng)這個(gè)四位數(shù)為“和方數(shù)”．例如：四位數(shù)2613，因?yàn)椋?613是“和方數(shù)”；四位數(shù)2514，因?yàn)?，所?514不是“和方數(shù)”．若是“和方數(shù)”，則這個(gè)數(shù)是；若四位數(shù)M是“和方數(shù)”，將“和方數(shù)”M的千位數(shù)字與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到新數(shù)N，若能被33整除，則滿(mǎn)足條件的M的最大值是．【答案】83546213【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用．理解新定義，正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．根據(jù)“和方數(shù)”的定義求解即可；設(shè)這個(gè)四位數(shù)，則，再結(jié)合“和方數(shù)”的定義，得出，再由能被33整除可知是整數(shù)，得到滿(mǎn)足條件的的值為，進(jìn)而得出滿(mǎn)足條件的等式，即可得到M的最大值．【詳解】解：是“和方數(shù)”，，解得：，這個(gè)數(shù)是8354；設(shè)這個(gè)四位數(shù)，則，，四位數(shù)M是“和方數(shù)”，，，能被33整除，是整數(shù)，且，，，，滿(mǎn)足條件的的值為，，滿(mǎn)足條件的等式為，滿(mǎn)足條件的M的最大值是，故答案為：8354；6213．3．如果一個(gè)三位正整數(shù)可以表示為的形式，其中為正整數(shù)，則稱(chēng)為“幸運(yùn)數(shù)”．例如：三位數(shù)，，∴是“幸運(yùn)數(shù)”；又如：三位數(shù)，，∴不是“幸運(yùn)數(shù)”、根據(jù)題意，最大的“幸運(yùn)數(shù)”為；若與都是“幸運(yùn)數(shù)”，且，則所有滿(mǎn)足條件的的和為．【答案】【分析】本題考查了新定義的運(yùn)算，因式分解，根據(jù)“幸運(yùn)數(shù)”的定義即可得到最大的“幸運(yùn)數(shù)”；設(shè)，，得到，由分情況即可求出滿(mǎn)足條件的的值，即可求解；理解“幸運(yùn)數(shù)”的定義及運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴最大的“幸運(yùn)數(shù)”為；∵與都是“幸運(yùn)數(shù)”，設(shè)，，∴，∵，∴或或或或，解得（不符）或（不符）或（不符）或或，∴滿(mǎn)足條件的為和，∴所有滿(mǎn)足條件的的和，故答案為：，．4．一個(gè)四位正整數(shù)m，如果m滿(mǎn)足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相等，百位數(shù)字與十位數(shù)字相等，則稱(chēng)m為“對(duì)稱(chēng)數(shù)”，將m的千位數(shù)字與百位數(shù)字對(duì)調(diào)，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新數(shù)，記．例如：對(duì)稱(chēng)數(shù)時(shí)，，則．已知s、t都是“對(duì)稱(chēng)數(shù)”，記s的千位數(shù)字與百位數(shù)字分別為a，b，t的千位數(shù)字與百位數(shù)字分別為x，y，其中，，，a，b，x，y均為整數(shù)．若能被8整除，則；同時(shí)，若、還滿(mǎn)足，則所有可能值的和為．【答案】855【分析】根據(jù)“對(duì)稱(chēng)數(shù)”定義表示出，，得到，根據(jù)能被8整除，，得到；同理得，根據(jù)條件，得到，由，得到，，得到，根據(jù)x，y均為整數(shù)，分別列舉出x，y的值代入求和即可．【詳解】解：s的千位數(shù)字與百位數(shù)字分別為a，b，，，，能被8整除，且，；同理得，，，，，，，，即，x，y均為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；所有可能值的和為：，故答案為：8，55．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，因式分解的應(yīng)用，數(shù)的整除性，關(guān)鍵是正確理解新定義，利用代數(shù)式的值進(jìn)行相關(guān)分類(lèi)討論，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)進(jìn)行解答．5．“回文詩(shī)”即正念倒念都有意思，均成文章的詩(shī)，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲淺水流．流水淺洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋．”其意境與韻味讀起來(lái)都是一種美的享受．在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)數(shù)有這樣的特征，即正讀倒讀都一樣的自然數(shù)，我們稱(chēng)之為“回文數(shù)”，例如，等．下列幾個(gè)命題中：（1）是“回文數(shù)”；（2）所有兩位數(shù)中，有個(gè)“回文數(shù)”；所有三位數(shù)中，有個(gè)“回文數(shù)”；（3）任意四位數(shù)的“回文數(shù)”是的倍數(shù)；（4）如果一個(gè)“回文數(shù)”是另外一個(gè)正整數(shù)的平方，則稱(chēng)為“平方回?cái)?shù)”．若是一個(gè)千位數(shù)字為1的四位數(shù)的“回文數(shù)”，若，且s是一個(gè)“平方回?cái)?shù)”，則．其中，真命題有．（填序號(hào)）【答案】（1）（3）（4）【分析】根據(jù)“回文數(shù)”的定義進(jìn)行分析即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)定義正讀倒讀都一樣，故是“回文數(shù)”；（1）是真命題；（2）兩位數(shù)的“回文數(shù)”為：，，，，，，，，，合計(jì)個(gè)；三位數(shù)的“回文數(shù)”中，百位和個(gè)位是的為：，，，，，，，，，，合計(jì)個(gè)，同理百位和個(gè)位是的有個(gè)，依次類(lèi)推，則三位數(shù)的“回文數(shù)”合計(jì)個(gè)；（2）是假命題；（3）設(shè)任意四位數(shù)的“回文數(shù)”千位，百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字分別為，，，，則，根據(jù)定義，，，∴，∴是的倍數(shù)；（3）是真命題；（4）若是一個(gè)千位數(shù)字為1的四位數(shù)的“回文數(shù)”，設(shè)百位和十位上的數(shù)字為，則，又∵，∴，∵，∴，即，又∵是一個(gè)“平方回?cái)?shù)”，∴，∴，解得：，∴；（4）是真命題；故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，新定義，不等式的性質(zhì)等，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．定義：任意兩個(gè)數(shù)a，b，按規(guī)則運(yùn)算得到一個(gè)新數(shù)c，稱(chēng)所得的新數(shù)c為a，b的“和積數(shù)”．(1)若，，求a，b的“和積數(shù)”c；(2)若，，求a，b的“和積數(shù)”c；(3)已知，且a，b的“和積數(shù)”，求b（用含x的式子表示）并計(jì)算的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)，有最小值為．【分析】（1）把，代入c中求值即可；（2）利用完全平方公式求出，得到的值，進(jìn)而得到c的值；（3）把a(bǔ)，c的值代入，化簡(jiǎn)得，分和兩種情況討論，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴a，b的“和積數(shù)”；（2）解：∵，且，，∴,∴．∴或；即或；（3）解：由題意，，∵，，∴．①若，式子變?yōu)椋郻為任何數(shù)，不存在最小值；②若，又，∴，∴，∴．∴當(dāng)時(shí)，有最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用．7．若一個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)字與千位數(shù)字的差恰好是個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差的倍，則將這個(gè)四位數(shù)稱(chēng)作“星耀重外數(shù)”．例如：，∵，∴是“星耀重外數(shù)”；又如，∵，∴不是“星耀重外數(shù)”．(1)判斷，是否是“星耀重外數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)一個(gè)“星耀重外數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，且滿(mǎn)足，記，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，求出所有滿(mǎn)足條件的．【答案】(1)不是“星耀重外數(shù)”，是“星耀重外數(shù)”，理由見(jiàn)解析；(2)或或或或【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用和新定義，運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想，理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干中的新定義判定求解；（2）根據(jù)新定義將化為，由題意可得：為整數(shù)，從而推導(dǎo)出是的整數(shù)倍，利用因式分解，結(jié)合，可得，，再分四種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵，∴不是“星耀重外數(shù)”；∵，∴是“星耀重外數(shù)”．∴不是“星耀重外數(shù)”，是“星耀重外數(shù)”．（2）∵一個(gè)“星耀重外數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，，∴，且，，，均為正整數(shù)，∴，∴，∴，由題意可得：為整數(shù)，又∵是整數(shù)，∴是的整數(shù)倍，∵，又∵，∴，，∴有以下幾種情況：當(dāng)，時(shí)，即，，∴，，此時(shí)為；當(dāng)，時(shí)，即，，∴，解得：，，此時(shí)為或；當(dāng)，時(shí)，即，，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，即，，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，即，，此時(shí)為當(dāng)時(shí)，，則，即綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或或或或．8．已知一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)，以它的百位數(shù)字作為十位，個(gè)位數(shù)字作為個(gè)位，組成一個(gè)新的兩位數(shù)s，若s等于M的千位數(shù)字與十位數(shù)字的平方差，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)M為“平方差數(shù)”，將它的百位數(shù)字和千位數(shù)字組成兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字組成兩位數(shù)，并記．例如：6237是“平方差數(shù)”，因?yàn)椋?237是“平方差數(shù)”；此時(shí)．又如：5135不是“平方差數(shù)”，因?yàn)椋?135不是“平方差數(shù)”．(1)判斷7425是否是“平方差數(shù)”？并說(shuō)明理由；(2)若是“平方差數(shù)”，且比M的個(gè)位數(shù)字的9倍大30，求所有滿(mǎn)足條件的“平方差數(shù)”M．【答案】(1)是，理由如下(2)【分析】（1）根據(jù)“平方差數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）由M是“平方差數(shù)”，得，由比M的個(gè)位數(shù)字的9倍大30，得，進(jìn)而得，結(jié)合分解分?jǐn)?shù)的方法分解并分情況討論即可．【詳解】（1）解：7254是“平方差數(shù)”．理由如下：∵，∴7254是“平方差數(shù)”．（2）∵是“平方差數(shù)”，∴，∵比M的個(gè)位數(shù)字的9倍大30，∴，即，∴，即．∵且均為30的正因數(shù)，∴將30分解為或或．①，解得，∵，∴；②，解得，∵，∴（舍）；③，解得，∵，，∴（舍）或5214．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解“平方差數(shù)”，明確條件與所求的關(guān)系．9．一個(gè)兩位數(shù)M，若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N，當(dāng)N＞0時(shí)，我們把N放在M的右邊將所構(gòu)成的新數(shù)叫做M的“疊加數(shù)”．例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“疊加數(shù)”為4715；M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26沒(méi)有“疊加數(shù)”．(1)請(qǐng)判斷3420和5846是否為某個(gè)兩位數(shù)的“疊加數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)兩位數(shù)M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)）有“疊加數(shù)”，且12a－M－N能被13整除，求所有滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”．【答案】(1)3420是34的“疊加數(shù)”；5846不是58的“疊加數(shù)”；(2)71195或83247或5484或62140．【分析】（1）根據(jù)“疊加數(shù)”定義計(jì)算驗(yàn)證即可，（2）根據(jù)“疊加數(shù)”將12a－M－N轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的代數(shù)式，再分解因式，結(jié)合12a－M－N能被13整除以及a、b的取值范圍即可求解．【詳解】（1）解：M＝34，∵N＝(2×3)2－42＝20>0，∴34的“疊加數(shù)”為3420；M＝58，∵N＝(2×5)2－82＝36＜0，∴58的“疊加數(shù)”為5836；∴3420是34的“疊加數(shù)”；5846不是58的“疊加數(shù)”；（2）解：∵M(jìn)＝10a＋b，∴N＝(2a)2－b2，∴12a－M－N；，，，∵12a－M－N能被13整除，1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)；∴和至少有一個(gè)能被13整除，∵1≤a≤9，1≤b≤4，∴2≤≤17，-21≤≤-2，當(dāng)=13時(shí)，a=7，b=1或a=8，b=3；當(dāng)=-13時(shí)，a=5，b=4或a=5，b=2，當(dāng)a=7，b=1時(shí)，M的疊加數(shù)為71195；當(dāng)a=8，b=3時(shí)，M的疊加數(shù)為83247；當(dāng)a=5，b=4時(shí)，M的疊加數(shù)為5484；當(dāng)a=6，b=2時(shí)，M的疊加數(shù)為62140．綜上，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”為71195或83247或5484或62140．∴或，當(dāng)時(shí)，若，則，，其“疊加數(shù)”為71224；若，則，，其“疊加數(shù)”為83247；當(dāng)時(shí)，若，則，，其“疊加數(shù)”為5296；若，則，，其“疊加數(shù)”為4448；故滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”為71224、83247、5296、4448．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題目理解“疊加數(shù)”的定義．解問(wèn)題（2）要注意整除實(shí)際上時(shí)分解因式后有一個(gè)因式等于13或是13的整數(shù)倍．10．材料：把多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．例如：．(1)分解因式：(2)若a，都是正整數(shù)且滿(mǎn)足，求的值；(3)若a，b為實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足，，求S的最小值．【答案】(1)(2)(3)S的最小值為6【分析】本題考查了分組分解法因式分解，完全平方的非負(fù)性質(zhì)，整體代入是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意分組分解即可；（2）將變形為，再按照分組分解法可得，根據(jù)a，都是正整可求出a、b的值，進(jìn)而可求出的值；（3）先由得，然后整體代入S中得，再將S分組，然后轉(zhuǎn)化成，根據(jù)完全平方的非負(fù)性，即可求出S的最小值．【詳解】（1）；（2）由得，，，，，，，，，解得，，；（3）由得，，，，，，當(dāng)，時(shí)，，∴S的最小值為6．11．八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將因式分解．【觀(guān)察】經(jīng)過(guò)小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類(lèi)比】（1）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請(qǐng)用分組分解法將因式分解；（3）若，，請(qǐng)用分組分解法先將因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，利用平方差公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整體代入得出答案即可．此題主要考查了分組分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整體代入法求代數(shù)式的值，正確分組再運(yùn)用提公因式法或公式法分解因式，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】（1）；（2）；（3）．當(dāng)，時(shí)，原式．12．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在第二象限，且，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為n，滿(mǎn)足．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖②，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，在點(diǎn)E，F(xiàn)移動(dòng)過(guò)程中，四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)P，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)四邊形的面積是定值；理由見(jiàn)解析；(3)或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸垂線(xiàn)，延長(zhǎng)，與交于M，證明，得出，求出，即可求出結(jié)果；（2）連接，證明即可得出結(jié)論；（3）過(guò)A作垂線(xiàn)，使延長(zhǎng),使分別過(guò)向x軸作垂線(xiàn)，垂足為G，K，證明，，得出，，求出，，得出，即可．【詳解】（1）解：，，∴點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸垂線(xiàn)，延長(zhǎng)，與交于M，則，∴，，∵在和中，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：四邊形的面積是定值；理由如下：連接，∵，D為的中點(diǎn)，，∴，平分，∴，，∴，，∵，∴，∴∴∴；（3）解：過(guò)A作垂線(xiàn)，使延長(zhǎng),使分別過(guò)向x軸作垂線(xiàn)，垂足為G，K，如圖所示：則，∴，∴，∵，∴，同理得：，∴，，∴，∴，∴，，∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握三角形全等的判定．13．在x軸正半軸上有一定點(diǎn)A，．(1)若多項(xiàng)式恰好是某個(gè)整式的平方，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_________；(2)如圖1，點(diǎn)P為第三象限角平分線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線(xiàn)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交y軸于點(diǎn)Q，連接，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖2，已知點(diǎn)B、點(diǎn)C分別為y軸正半軸，x軸正半軸上的點(diǎn)，C在A右側(cè)，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，，且，過(guò)點(diǎn)A做軸，且，求的長(zhǎng)．（結(jié)果用m，n表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由，從而可得答案；（2）如圖，連接，過(guò)作交軸于，過(guò)作軸于，作軸于，證明，可得，，再證明，而，可得，從而可得答案；（3）如圖，過(guò)作交軸于，連接，而，證明，可得，，證明，證明，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵多項(xiàng)式恰好是某個(gè)整式的平方，∴，∴，∴；（2）如圖，連接，過(guò)作交軸于，過(guò)作軸于，作軸于，則，∴，∴，∵平分，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴；（3）如圖，過(guò)作交軸于，連接，而，∴，，∵軸，∴，∴，∵，，∴，∴，，，而，∴，，∵軸，則，∴，∴，∵，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的坐標(biāo)與圖形，利用完全平方公式分解因式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．14．通過(guò)課堂的學(xué)習(xí)知道，我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代數(shù)式的最小值，．可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：(1)代數(shù)式的最大值為：；(2)若與，判斷的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)已知：，，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意配方法的步驟，注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．（1）先配方，然后根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求最大值即可；（2）先表示出，然后由完全平方式的非負(fù)性可得，由此即可得解；（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非負(fù)性可得，，求出，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，當(dāng)時(shí)，由最大值，為，代數(shù)式的最大值為，故答案為：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．15．閱讀材料，解決問(wèn)題【材料】教材中這樣寫(xiě)道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．例如：分解因式．原式．【材料】因式分解：解：把看成一個(gè)整體，令，則原式，再將重新代入，得：原式上述解題用到的“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的思想方法．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)材料，利用配方法進(jìn)行因式分解：；(2)根據(jù)材料，利用“整體思想”進(jìn)行因式分解：；(3)當(dāng)，，分別為的三邊時(shí)，且滿(mǎn)足時(shí)，判斷的形狀并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）湊完全平方公式，再用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）利用完全平方進(jìn)行因式分解；（3）先因式分解，判斷字母、、三邊的關(guān)系，再判定三角形的形狀．【詳解】（1）解：；（2）解：設(shè)，∴；（3）解：是等腰三角形．理由如下：，∴，∴，∴，，，得，，，．∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，乘法公式，配方法的應(yīng)用以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．[解決問(wèn)題](1)已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a、b是整數(shù)）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則______；[探究問(wèn)題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．[拓展結(jié)論](5)已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值為：；【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，從而可得答案；（3）利用完全平方公式把左邊分組分解因式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定義可得答案；（5）由條件可得，代入計(jì)算可得：，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得最大值．【詳解】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），當(dāng)為完美數(shù)時(shí)，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算的理解，完全平方公式的應(yīng)用，利用完全平方公式分解因式，熟練的掌握完全平方公式的特點(diǎn)與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．閱讀材料：我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數(shù)式的最小值：；又；當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足求邊長(zhǎng)的最小值；(3)當(dāng)、為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)(2)5(3)時(shí)，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將變形為，再根據(jù)完全平方公式寫(xiě)成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根據(jù)配方法得出兩個(gè)完全平方式，再根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)x、y為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；【詳解】（1）解：原式=；故答案為：（2），，，解得：，、、是的三邊長(zhǎng)，，又是整數(shù)，；邊長(zhǎng)的最小值是5；（3），，；，當(dāng)時(shí),即時(shí)，取得最大值為16．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．18．【實(shí)踐探究】小青同學(xué)在學(xué)習(xí)“因式分解”時(shí)，用如圖所示編號(hào)為的四種長(zhǎng)方體各若干塊，進(jìn)行實(shí)踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個(gè)拼成如圖所示的大長(zhǎng)方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：；(2)【問(wèn)題解決】若要用這四種長(zhǎng)方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，其中號(hào)長(zhǎng)方體和號(hào)長(zhǎng)方體各需要多少個(gè)?試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，請(qǐng)根據(jù)體積的不同表示方法，直接寫(xiě)出因式分解的結(jié)果，并利用此結(jié)果解決問(wèn)題：已知與分別是兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，且，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，求的值．【答案】(1)；(2)號(hào)長(zhǎng)方體需要個(gè)，號(hào)長(zhǎng)方體需要個(gè)，，(3)．【分析】（）根據(jù)圖立方體的體積求法即可；（）根據(jù)題中的給定的長(zhǎng)方體組合把計(jì)算即可；（）先把因式分解，然后據(jù)此分解即可；此題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用幾何體的體積進(jìn)行因式分解及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：，故答案為：；（2）號(hào)長(zhǎng)方體需要個(gè)，號(hào)長(zhǎng)方體需要個(gè)，；（3）由題意得：，由上可知：，∴，整理得：，∵且與兩個(gè)大小不同正方體的棱長(zhǎng)，∴，∴，則，∵為整數(shù)，則為平方數(shù)，∴，∴．19．材料：對(duì)一個(gè)圖形通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積或體積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形紙片剪去-一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，根據(jù)剩下部分的面積，可得一個(gè)關(guān)于a，b的等式：__________．請(qǐng)類(lèi)比上述探究過(guò)程，解答下列問(wèn)題：(2)如圖2，將一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體木塊挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為b的小正方體，根據(jù)剩下部分的體積，可以得到等式：__________，將等式右邊因式分解，即__________；(3)根據(jù)以上探究的結(jié)果，①如圖3所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)．．．，按此規(guī)律拼疊到正方形，其邊長(zhǎng)為19，求陰影部分的面積．②計(jì)算：【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）利用兩種方法求出陰影部分的面積，即可得出結(jié)論；（2）利用兩種方法求剩余的立方體的面積，即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)整個(gè)陰影部分的面積等于各部分小陰影部分的面積之和，結(jié)合（1）中結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中結(jié)論，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴關(guān)于a，b的等式為：，故答案為：．（2）解：由題意，得：；故答案為：；（3）解：①.②．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用．正確的識(shí)圖，利用兩種方法表示面積和體積，是解題的關(guān)鍵．