4.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算（精練）（教師版）

4.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算（精練）1．（2023河南）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B． C．2 D．8【答案】D【解析】由導(dǎo)數(shù)定義和，得.故選：D.2．（2023·遼寧）已知函數(shù)，則A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】；故選：B.3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)），在處切線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知，，令，∴＝，解，∴在處切線方程為，即．故選：B．4．（2023春·河南·）設(shè)函數(shù)的圖像在處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以的方程為，即,令，解得,則在軸上的截距為.故選：B5．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】，故，故圖象在點處的切線的斜率為，所以即，故選：B6．（2023春·北京）若直線是函數(shù)切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題意設(shè)切點為，則，由，得，故，故，故，故選：B7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線在點處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由切點在曲線上，得①；由切點在切線上，得②；對曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點是函數(shù)圖象上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，.點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，.，.故選：B.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是曲線上一動點，當(dāng)曲線在處的切線斜率取得最小值時，該切線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，所以該切線的傾斜角為：.故選：D.10．（2023·福建）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是奇函數(shù)，恒成立，所以，，，所以，，即，．故選：A．11（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？级＃┣€在點處的切線的斜率為（

）A．－ B． C．－ D．【答案】B【解析】把代入得導(dǎo)數(shù)值為，即為所求切線的斜率．故選：B12．（2023·黑龍江）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由于，所以，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：,所以，故選：D.13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）函數(shù)在處的切線如圖所示，則（

）A．0 B． C． D．-【答案】A【解析】因為切線過和，所以，所以切線方程為，令，則，所以，所以.故選：A.14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，，.點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，.，.故選：B.15．（2023·吉林）曲線f(x)＝xlnx在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為()A． B．C． D．【答案】B【解析】；所以，所以曲線在點處的切線的斜率是，設(shè)曲線在點處的切線的傾斜角是，則，因為，所以，故選B.16．（2022秋·安徽）過坐標(biāo)原點且與曲線相切的直線斜率為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程的斜率為.故選：B17．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知曲線在點處的切線方程為，則（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．0【答案】C【解析】由題意可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點處的切線斜率為，解得；所以切點為，代入切線方程可得，解得.故選：C18．（2023·四川成都·成都實外校考模擬預(yù)測）若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)k的值是（

）A．e B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點為，因為，所以，所以切線斜率，所以曲線在點的切線方程為，又，所以切線方程為，又切線方程為，所以，解得，，故A，B，C錯誤.故選：D.19．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).若曲線和在公共點處有相同的切線，則a，b的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，由題意，解得故選:A.20．（2023·廣西）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記，則，，又，曲線在處的切線方程為：，即，令，解得：；令，解得：；該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故選：A.21．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以，故，所以，所以函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為.故選：D.22．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則在處的切線方程為___________.【答案】【解析】因為，所以，，所以，切線方程為，即.故答案為：.23．（2022秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則函數(shù)在處的切線方程是___________.【答案】【解析】由，得，而，所以，所以切線方程為，即.故答案為：.24．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)切點為，由，得，∴，得，∴，，∴切點為，，∴曲線在點M處的切線方程為①，又∵該切線過點，∴，解得或．將代入①得切線方程為；將代入①得切線方程為，即．∴曲線過點的切線方程為或．故答案為：或25．（2023·山東·河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模）過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標(biāo)為，故所求切線方程為，即.故答案為：26．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，所以，不妨設(shè)直線l與的切點為，斜率為，則，解得或或，當(dāng)時，直線l為；當(dāng)時，直線l為，即；當(dāng)時，直線l為，即；綜上：直線l的方程為或或.故答案為：（答案不唯一）.27．（2023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則實數(shù)a的取值范圍為_____.【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為：，所以切線斜率為，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，所以該方程有兩個實數(shù)解，所以，解得，又因為，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.28．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．【答案】8或【解析】因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，所以設(shè)曲線的過原點的切線的方程為，切點為，則，，，所以，當(dāng)時，，所以直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，，，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，，滿足方程的解不存在，故不存在.所以或，故答案為：8或.29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則實a的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為：，，所以切線斜率為，即切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，所以該方程有兩個解，所以，解得故答案為：30．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的最大值是_______【答案】【解析】由，得，則在點處的切線斜率為，由二次函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以，因為切線與直線垂直，所以且，所以，即實數(shù)的最大值是．故答案為：31．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）已知直線與曲線相切，則m的值為______．【答案】1【解析】由題意，可得，直線與曲線相切，設(shè)切點為，則，則，即切點為，將該點坐標(biāo)代入，可得，故答案為：132．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┤糁本€與曲線和均相切，則__________.【答案】【解析】設(shè)直線與相切于點，，因為直線與相切，所以，且；解得；因為直線與曲線相切，聯(lián)立得，且，即.故答案為：.33．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數(shù)______.【答案】1【解析】，，設(shè)公共點為，則，即，消得，令，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，．.故答案為：1.1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線為曲線在處的切線，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，可得，則，即切線的斜率為，又由時，求得，即切點坐標(biāo)為，所以切線方程為，即，由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離.故選：D．2．（2023春·河南鄭州）設(shè)點是函數(shù)圖象上的任意一點，點處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】,則，所以，所以，由，得，所以，即，所以.故選：D.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）若過點可作曲線的兩條切線，則點可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，即，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，即，因為過點可作曲線的兩條切線，則關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)解，所以，，即，即，對于點，，A不滿足；對于點，，B不滿足；對于點，，C滿足；對于點，，D不滿足.故選：C.4．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點，則切線方程為，又切線過，則，有兩個不相等實根，其中或，令或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即.故選：D.5．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線為曲線在點處的切線，，所以，即；設(shè)直線為曲線在點處的切線，，所以，即，由題意知，因為，由可得，將其代入可得：，顯然，整理得.記且，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即，化簡得，解得，故選：.6（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.7．（2023春·安徽合肥·）（多選）下列函數(shù)在處的切線傾斜角是銳角的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得，則，故在處的切線傾斜角是鈍角，A錯誤；由可得，則，故在處的切線傾斜角是銳角，B正確；由可得，則，故在處的切線傾斜角是銳角，C正確；由可得，則，故在處的切線傾斜角是鈍角，D正確；故選：BC8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知曲線及點，則過點且與曲線相切的直線可能有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】BC【解析】因為，所以，設(shè)切點，在點處的導(dǎo)數(shù)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率，以及導(dǎo)數(shù)的比值定義式有：整理得，所以，①當(dāng)時，可化為，由函數(shù)定義域知分母不為0，，所以只能解得，因此過只能找到一條與曲線相切的直線；②當(dāng)時，可化為，是關(guān)于的二次方程，，且兩根之積為，所以所求根之中一定不含0，此時對任意能夠找到兩個滿足條件.綜上所述，過點且與曲線相切的直線可能有1或2條.故選：BC.9．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，過點作曲線的切線，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)，時，有且僅有一條切線B．當(dāng)時，可作三條切線，則C．當(dāng)，時，可作兩條切線D．當(dāng)時，可作兩條切線，則b的取值范圍為或【答案】AD【解析】A：當(dāng)時，點在上，，若為切點，則切線斜率為，所以切線方程為，若不為切點，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以，切線斜率為，所以，，即切點為原點，所以時，有且僅有一條切線，正確；B：設(shè)切點坐標(biāo)為，所以，，則切線的斜率為，切線方程為，當(dāng)時，，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時有極小值，為，時有極大值，為，時，畫出的圖象，當(dāng)時，若有三條切線，則與有3個交點，由圖得，錯誤；C：當(dāng)時，由切線方程得，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，且，如圖，所以當(dāng)，時，與有且只有一個交點，所以只能作一條切線，錯誤；D：當(dāng)時，由切線方程為得，則，設(shè)，則，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，有極小值為，時，有極大值為，的圖象為若有兩條切線，則的取值為或，正確.故選：AD.10．（2023春·江蘇南京·高三校聯(lián)考期末）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．點是曲線的對稱中心B．當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點C．當(dāng)時，函數(shù)有三個零點D．過原點可作曲線的切線有且僅有兩條【答案】AB【解析】選項A：因為,所以點是曲線的對稱中心,故A正確；選項B：因為,所以令解得或，令解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，故B正確；選項C：在處取得極大值，在處取得極小值，,解得時,函數(shù)有三個零點,，故C錯誤；選項D：，設(shè)切點為，所以在點處的切線方程為：，又因為切線過點，所以，解得，，即過點可以作曲線的1條切線，故D錯誤；故選：AB11．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知O為坐標(biāo)原點，曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（

）A． B．C．的最大值為0 D．當(dāng)時，【答案】AB【解析】因為