4.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（精講）（教師版）

4.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（精講）一．導(dǎo)數(shù)的概念1.如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極根，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))2.當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))二．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)（點斜式）三．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))＝0f(x)＝xn(n∈Q*)＝nxn－1f(x)＝sinx＝cosxf(x)＝cosx－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)＝axlnaf(x)＝ex＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)＝eq\f(1,x)四．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝±(2)[f(x)·g(x)]′＝g(x)＋f(x)(3)(g(x)≠0)五．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．導(dǎo)數(shù)概念理解f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))，應(yīng)是兩個變量的差值，如果不是兩個變量的差值，要進(jìn)行拼湊導(dǎo)數(shù)運(yùn)算連乘形式：先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)分式形式：先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)對數(shù)形式：化為和、差形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)：先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元導(dǎo)數(shù)的幾何意義在型與過型的切線方程1.在型2.過型3.求參（1）斜率：（2）代點：切點在切線上，代入切線方程；切點在曲線上，代入曲線五．公切線法一：利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；法二：設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2)，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2).法三：兩個函數(shù)在切點處的斜率相等，且切點既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．六．切點或切線數(shù)量1.判斷切點或切線數(shù)量：利用在型或過型列出關(guān)于切點x0的方程f(x0)，判斷方程解的個數(shù)：（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判別式判斷（2）f(x0)若不是一元二次方程，則判斷其零點個數(shù)或與x軸交點的個數(shù)，一般采用圖像法；畫未學(xué)過函數(shù)圖像一般需要知道單調(diào)區(qū)間（導(dǎo)數(shù)法），極值和端點值或端點值的正負(fù)2.已知切點或切線數(shù)量求參：一般采用分離參數(shù)，變成兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題考法一導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【例1-1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點處的切線斜率為（

）A．2 B．-1 C．1 D．【答案】C【解析】.故曲線在點處的切線斜率為.故選：C【例1-2】（2023湖南）如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.【答案】【解析】直線過點，，直線斜率，又直線是在處的切線，，又，.故答案為：.【例1-3】（2023·云南）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：，即.故選：A【例1-4】（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，解得；故選：B【一隅三反】1．（2023春·河南）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A． B．2 C． D．8【答案】C【解析】故選：C2．（2022秋·江蘇徐州·高三徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義：，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點處的切線的斜率為.故選：B3．（2023春·江蘇）如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】由題可得函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則切線，，，.故選：D．4.（2023·江西）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，令，則，解得，所以，.故選：D.考法二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例2】（2023廣東湛江）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)；(3)．(4)；(5)；【答案】(1)；(2)；(3)(4)(5)；【解析】（1）.（2）（3）．（4）因為函數(shù)可以看做函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得，；（5）函數(shù)，所以.【一隅三反】1．（2023春·四川）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)；(2)(3)(4)(5)；(6)；(7)(8)；【答案】(1)(2)(3)(4).(5)(6)(7)(8)【解析】（1）因為，則.（2）因為，則.（3）由已知，所以；（4）．（5）因為，所以.（6）因為，所以.（7）因為，所以（8）因為，所以考法三導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例3-1】（2023吉林）曲線在處切線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，故曲線在處切線的斜率為.故選：D【例3-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，曲線在點處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【解析】由，得則，解得．故答案為：.【例3-3】（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴曲線在點處的切線的斜率，∵切線與直線垂直，∴直線的斜率為，∴.故選：C.【例3-4】（2023湖南）設(shè)點是曲線上任意一點，直線過點與曲線相切，則直線的傾斜角的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為故答案為：【一隅三反】1．（2023四川）函數(shù)在處切線的傾斜角為_______.【答案】【解析】,則，即函數(shù)在處切線的斜率為1，則傾斜角為故答案為：2．（2023重慶）若曲線在點處的切線與平行，曲線在點處的切線與直線垂直，則__________．【答案】【解析】設(shè)，.則，.直線的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，所以.又，.直線的斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，所以.所以.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則曲線在點處的切線的斜率為【答案】【解析】對，求導(dǎo)可得，，得到，所以，，所以，，故選D4．（2023春·河南）點P在曲線上移動，設(shè)點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是【答案】[0，【解析】因為，所以，因為，所以，又，所以，故選：D.考點四在型與過型的切線方程【例4-1】（1）（2023上海）已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______.（2）（2023春·河北）若，則曲線在處的切線方程為【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線方程為：，即或.故答案為：（2），，令，解得.所以，則.所以曲線在處的切線方程為，即.故選：.【例4-2】（1）（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，則切線方程為（2）2023·江蘇南通·二模）過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程_______．【答案】（1）（2）（答案不唯一）【解析】（1）由函數(shù)，可得，設(shè)切點坐標(biāo)為，可得切線方程為，把原點代入方程，可得，即，解得，所以切線方程為，即.故選：A.（2），，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為.故答案為：（或）.【例4-3】（1）（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若直線與曲線相切，則___________.（2）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線過原點，則a的值為（3）（2023·新疆阿克蘇·?？家荒＃┤糁本€與曲線相切，則k的取值范圍是【答案】（1）2（2）（3）【解析】（1）設(shè)切點坐標(biāo)為，由曲線可得，則，解得，所以故答案為：2（2）由，則，所以，，即切線方程為，又函數(shù)在處的切線過原點，所以，即．（3），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.【一隅三反】1.（2023吉林）函數(shù)在點處的切線的方程是__________.【答案】【解析】因為函數(shù)，所以，所以函數(shù)在點處切線的斜率為：，所以函數(shù)到點處切線方程為：，故答案為：.2．（2023·陜西咸陽）已知函數(shù)，那么在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】由，則，所以，又，所以在點處的切線方程為，即．故答案為：．3．（2023春·上海浦東新）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____.【答案】【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，,則切線的斜率，故切線方程為，又因為點在切線上，所以，整理得到，解得，所以切線方程為．故答案為:.4．（2023吉林）已知函數(shù)，則曲線過點的切線方程為______．【答案】或【解析】設(shè)切點為，，則切線斜率為，故曲線在處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，解或，故所求切線方程為或，即或.故答案為：或.5．（2023·四川成都·成都實外?？寄M預(yù)測）若直線為曲線的一條切線，則實數(shù)k的值是（

）A．e B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，解得.故選：C6．（2023春·上海楊浦）已知為實數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為，則的值為___________．【答案】【解析】因為，所以，則，由處的切線方程為，得切線的斜率為，所以，得，所以，當(dāng)時，，所以切點為，將代入切線方程得：，解得，所以.故答案為：考法五公切線【例5-1】（2023安徽）已知直線l與曲線、都相切，則直線l的方程為______．【答案】或【解析】由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：；由得，設(shè)切點為，所以切線的斜率為，則直線l的方程為：．所以，，消去得，故或，所以直線l的方程為：或．故答案為：或【例5-2】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若直線與函數(shù)和的圖象都相切，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線與函數(shù)和的圖象分別相切于點，則由，得，令，得，將代入中得，由，得，令，得，將代入中得，所以．故選：D【例5-3】（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）若直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點為，則的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】因為直線與曲線相切，切點為，可知直線的方程為，又直線與曲線也相切，切點為，可知直線的方程為，所以，兩式相除，可得，所以.故選：B【一隅三反】1．（2023·云南）已知曲線與曲線有相同的切線，則這條切線的斜率為____.【答案】【解析】設(shè)曲線與曲線的切點分別為，，又，，所以，，所以切線為，即，，即，所以，所以，，即這條切線的斜率為.故答案為：.2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線與曲線的公切線，則等于【答案】2【解析】設(shè)是圖象上的一點，，所以在點處的切線方程為，①，令，解得，，所以，，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），所以，此時①可化為，所以.3．（2023河北）若函數(shù)與的圖像存在公共切線，則實數(shù)的最大值為【答案】【解析】，，設(shè)公切線與的圖像切于點，與曲線切于點，所以，故，所以，所以，因為，故，設(shè)，則，令當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以實數(shù)a的最大值為e，考點六切線條數(shù)或切點個數(shù)【例6-1】（2023福建）已知函數(shù)，則過點可作曲線的切線的條數(shù)最多為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為函數(shù)，所以，設(shè)過點作曲線的切線，切點為，則有，也即，又因為，所以令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，所以函數(shù)有三個零點，分別在區(qū)間上，也即方程有三個不同的根，所以過點作曲線的切線，有三個不同的切點，也即過點可作曲線的切線的條數(shù)最多為，故選：.【例6-2】（2023·四川眉山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)切點為，由可得，所以在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線為：，因為切線過點，所以，即，即這個方程有三個不等根即可，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點的個數(shù)，設(shè)，則由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于正無窮，趨近于0，當(dāng)趨近于負(fù)無窮，趨近于正無窮，的圖象如下圖，且，要使與的圖象有三個交點，則.則的取值范圍是:.故選：A.【例6-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┻^點可以作曲線的兩條切線，切點的橫坐標(biāo)分別為m，n，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】，設(shè)切點為坐標(biāo)，則，即，則，由題意知有兩解，分別為m，n，故，故選：D.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.【答案】【解析】時，，設(shè)切點，則，切線過，，，時，，切點，，切線過，，，故.故答案為：.2．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)曲線在點處的切線為，由可知直線的斜率為，故直線的方程為，將代入直線可得關(guān)于的方程具有兩個不相等的正數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，；，當(dāng)，即時，，即當(dāng)時，；故為了使方程有兩個不相等的正數(shù)解，則須使.故選：B.3．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，存在兩條過原點的直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為，又，