3.2.2函數(shù)的奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)3.2.2：函數(shù)的奇偶性課標(biāo)解讀：函數(shù)的奇偶性的概念.（理解）函數(shù)奇偶性的幾何意義.（了解）函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.（掌握）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)類(lèi)比單數(shù)單調(diào)性，先由具體函數(shù)入手，對(duì)函數(shù)奇偶性有初步認(rèn)識(shí)，然后由此抽象概括并用符號(hào)語(yǔ)言描述奇、偶性的定義.實(shí)際上，函數(shù)的奇偶性就是平面幾何中心對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的解析表示.知識(shí)導(dǎo)圖：知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的奇偶性1.定義定義偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻加?，且，那么函?shù)叫做偶函數(shù).奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻?，都有，且，那么函?shù)叫做奇函數(shù).非奇非偶函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù).定義域特征定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間等價(jià)形式設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則有是偶函數(shù)，都有，且；是奇函數(shù)如果，都有，且.特別地，若，還可以判斷是否成立.2.常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性一次函數(shù)當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)反比例函數(shù)奇函數(shù)二次函數(shù)當(dāng)時(shí)是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)3.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)的定義域分別是F、G，若F=G，則有下列結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)例1-1：給出下列結(jié)論：①若的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則是偶函數(shù)；②若是偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③若，則（）是偶函數(shù)；④若（）是偶函數(shù)，則；⑤若，則（）不是偶函數(shù)；⑥既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是；⑦若是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則.其中正確的結(jié)論是.（填序號(hào)）答案：②④⑤⑦例1-2：若函數(shù)為奇函數(shù)，則必有（）A.B.C.D.答案：B知識(shí)點(diǎn)2：奇、偶函數(shù)的圖像特征（幾何意義）1.奇函數(shù)的圖像特征若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).2.偶函數(shù)的圖像特征若一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖像是以軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；反之，若一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).3.奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖像特征，我們不難得出以下結(jié)論.（1）奇函數(shù)在關(guān)于端點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.上述結(jié)論可簡(jiǎn)記為“奇同偶異”.（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的最大（?。┲担∽钪禃r(shí)的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).例2-3：下列四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖像一定與軸相交；②奇函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；④奇函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)表述正確的個(gè)數(shù)是（）1B.2C.3D.4答案：A例2-4：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（）.A.B.C.D.答案：A重難拓展知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性1.圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖像結(jié)論1：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).一般結(jié)論：在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)2.圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形結(jié)論2：函數(shù)的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).一般結(jié)論：在定義域內(nèi)恒滿足的條件的圖像的對(duì)稱(chēng)軸直線直線直線例3-5：在定義在函數(shù)是偶函數(shù)，且.若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）.A.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減答案：B變式訓(xùn)練：若函數(shù)滿足，且的最大值為4，則.答案：例3-6：函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)中心是（）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2）答案：C題型與方法題型1：函數(shù)奇偶性的判斷1.一般函數(shù)的奇偶性的判斷例7:判斷下列函數(shù)的奇偶性；；.答案：（1）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)；（4）奇函數(shù).變式訓(xùn)練：已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）是偶函數(shù)是奇函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)答案：D2.分段函數(shù)奇偶性的判斷例8：已知函數(shù)，則（）.是奇函數(shù)是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案：A例9：如果是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為偶函數(shù)的是（）.A.B.C.D.答案：B例10.（1）已知函數(shù)，若，都有，求證：為奇函數(shù).（2）已知函數(shù)，，都有，求證：為偶函數(shù).（3）設(shè)函數(shù)是定義在上，證明：是偶函數(shù)，是奇函數(shù).答案：略題型2：奇、偶函數(shù)圖像特征的應(yīng)用例11：已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，它們的定義域都是，且它們?cè)谏系膱D像如圖所示，則不等式的解集是.答案：例12：（1）奇函數(shù)的局部圖像如圖所示，則與的大小關(guān)系為.（2）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖像如圖所示，那么的值域是.答案：（1）（2）題型3：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.利用奇偶性求參數(shù)的值例13：（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t=；.（2）若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)=.（3）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則=.答案：（1）0（2）4（3）-1變式訓(xùn)練：若函數(shù)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)椋瑒t該函數(shù)的解析式=.答案：2.利用奇偶性求函數(shù)的值例14：（1）已知，且，則（）.A.-26B.-18C.-10D.10（2）已知為奇函數(shù)，，則（）.A.-1B.0C.1D.2（3）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為，則M+n=.答案:（1）A（2）A（3）2例15：設(shè)是R上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則等于（）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5答案：B3.利用奇偶性求分段函數(shù)形式的解析式例16：（1）已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，.（2）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則的解析式為.（3）已知為奇函數(shù)，則=.答案：（1）（2）（3）0變式訓(xùn)練：若函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，則=.答案：4.函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用1.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合例17：已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則（）A.B.C.D.答案：D例18:：（1）已知函數(shù)在定義域[-1,1]上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）定義在[-2,2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.答案：（1）[0,1)（2）[-1,)2.函數(shù)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性的綜合例19:（1）定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.（2）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則+.答案：（1）A（2）0易錯(cuò)提醒易錯(cuò)1：沒(méi)有搞清分段函數(shù)的概念致錯(cuò)例20：判斷函數(shù)的奇偶性.答案：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)易錯(cuò)2：判斷含參函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略對(duì)參數(shù)的討論致錯(cuò).例21：已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性.答案：時(shí)，是偶函數(shù)；時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)高考鏈接考向1：函數(shù)奇偶性的直接考察例23：設(shè)函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)答案：B例24：設(shè)函數(shù)，是奇函數(shù)，則.答案：1例25：已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則.答案：12例26：函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的的取值范圍是（）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基礎(chǔ)鞏固1.已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧-1,2,a,b}，則a+b=（）.A.-1B.1C.0D.22.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）.A.B.C.D.3.如圖奇函數(shù)在區(qū)間[3,7]上單調(diào)遞減且最小值為5，那么在區(qū)間[-7，-3]上（）.A.單調(diào)遞增且最小值為-5B.單調(diào)遞增且最大值為-5C.單調(diào)遞減且最小值為-5D.單調(diào)遞減且最大值為-54.已知偶函數(shù)在區(qū)間[-3，-1]上單調(diào)遞減，則的大小關(guān)系為.5.若定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，則常數(shù)m，n的值分別為.6.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）現(xiàn)已畫(huà)出在y軸及y軸左側(cè)的圖像，如圖所示，請(qǐng)把函數(shù)的圖像補(bǔ)充完整，并根據(jù)圖像寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）寫(xiě)出函數(shù)的值域.能力提升：7.設(shè)函數(shù)和分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是（）.A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)8.若定義在R上的函數(shù)滿足：，有+1，則下列說(shuō)法一定正確的是（）.A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)9.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.無(wú)法確定，隨a的變化而變化10.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像與軸有9個(gè)交點(diǎn)，則方程的所有實(shí)數(shù)根之和是（）A.0B.3C.6D.911.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.12.若定義：，例如，則函數(shù)（）是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)13.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是.14.函數(shù)是奇函數(shù)，且在[-1,1]上單調(diào)遞增，.（1）則在[-1,1]上的最大值為