3.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)重難點手冊（圓錐曲線篇人教A版2019選擇性必修第一冊）

3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)知識儲備橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2離心率表示橢圓的扁平程度.當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b＝越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而b＝越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)e＝0時，c＝0，a＝b，兩焦點重合，圖形就是圓.[熟記常用結(jié)論]1．焦半徑：橢圓上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1與右(上)焦點F2之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點)．2．焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓(a＞b＞0)中(1)當(dāng)P為短軸端點時，θ最大．(2)S＝|PF1||PF2|·sinθ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點P為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)焦點三角形的周長為2(a＋c)．3．焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝.4．AB為橢圓(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則(1)弦長l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－. 典例剖析考點一橢圓的簡單幾何性質(zhì)[考法全析]考法(一)求橢圓的離心率的值(范圍)[例1](1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A. B.C. D.(2)(2019·福州模擬)過橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點．若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.[解析](1)如圖，作PB⊥x軸于點B.由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝(2)由題設(shè)知，直線l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝.又圓與直線l有公共點，所以≤，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故選A.[答案](1)D(2)A考法(二)與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題[例2]P為橢圓上任意一點，EF為圓N：(x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則的取值范圍是()A．[0,15] B.[5,15]C．[5,21] D．(5,21)[解析]由題意知圓N的圓心N(1,0)恰好是橢圓的右焦點，因為＝()·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－4，因為a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5，所以的取值范圍是[5,21]．[答案]C[規(guī)律探求]看個性考法(一)求橢圓離心率的值(范圍)，其方法為(1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．考法(二)與橢圓有關(guān)的最值(范圍)問題與橢圓有關(guān)的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求與橢圓有關(guān)的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系[口訣記憶]離心率，不用愁，尋找等式消b求；幾何圖形尋蹤跡，等式藏在圖形中．找共性1.無論題型如何變化，都是圍繞橢圓的幾何性質(zhì)，外加其他條件來考查，所以理清橢圓的幾個關(guān)鍵點(頂點、原點、焦點、對稱軸)和靈活應(yīng)用幾個公式，理清a，b，c的內(nèi)在聯(lián)系(a，b，c的關(guān)系式→構(gòu)造a，c的齊次方程或不等式)，便可以不變應(yīng)萬變．2.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形能力檢測姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間45分鐘，試題共16題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．一、單選題1．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，，故選C項.2．已知正方體，P是平面上的動點，M是線段的中點，滿足PM與所成的角為，則動點P的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】在正方體中，連接相交于點所以，又平面，所以又，所以平面以為原點，分別為軸和軸，然后過點作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，所以由PM與所成的角為所以化簡可得，即所以點的軌跡為橢圓，故選：B3．已知橢圓的離心率為，若面積為的矩形的四個頂點都在橢圓上，點為坐標(biāo)原點，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的離心率為，解得，所以橢圓的方程為，不失一般性，設(shè)，由橢圓與矩形的對稱性可得該矩形的面積，所以，即或，可得，所以，故選：D.4．定點，動點Q在圓上，線段的垂直平分線交于點M（O為坐標(biāo)原點），則動點M的軌跡是（）A．圓 B．直線 C．雙曲線 D．橢圓【答案】D【解析】如圖所示：因為，所以，因此點的軌跡是以為焦點，長軸長為，焦距為的橢圓．故選：D．5．已知點F是橢圓的上焦點，點P在橢圓E上，線段PF與圓相切于點Q，O為坐標(biāo)原點，且，則橢圓E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的下焦點為，圓的圓心為，線段的中點為，因為，所以，即；所以，由于，所以；因為線段PF與圓相切于點Q，所以，所以，所以；因為，所以；根據(jù)橢圓定義可得，所以有，整理得，所以離心率.故選：B.6．已知橢圓的兩焦點，和雙曲線的兩焦點重合，點P為橢圓和雙曲線的一個交點，且，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，不妨設(shè)在第一象限，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，，則，解得，在中由余弦定理得，∴，，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為．故選：A．7．已知橢圓C：的右焦點為F，O為坐標(biāo)原點，C上有且只有一個點P滿足，則C的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對稱性知在軸上，，故，，解得，，故橢圓方程為：.故選：D.8．已知拋物線與橢圓交于點，若拋物線C的焦點F也是橢圓E的焦點，則實數(shù)a的值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意：對于拋物線，有，所以拋物線C的焦點為，所以對于橢圓E，有，解得或，又因，即，所以，所以.故選：A9．若方程C：（是常數(shù)）則下列結(jié)論正確的是（）A．，方程C表示橢圓 B．，方程C表示雙曲線C．，方程C表示橢圓 D．，方程C表示拋物線【答案】B【解析】∵當(dāng)時，方程C：即表示單位圓使方程不表示橢圓．故A項不正確；∵當(dāng)a時，方程C：表示焦點在軸上的雙曲線方程表示雙曲線，得B項正確；，方程不表示橢圓，得C項不正確

∵不論取何值，方程C：中沒有一次項方程不能表示拋物線，故D項不正確，綜上所述，可得B為正確答案，故選B10．已知橢圓上一點到其一個焦點的距離為3，則點到其另一個焦點的距離等于（）A．2 B．3 C．1 D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則其焦點在軸上，且，若橢圓上一點到它的一個焦點的距離等于3，那么點到另一個焦點的距離為，故選：C．11．若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為（）A．B．C．或D．以上都不對【答案】C【解析】由題意可得：，解得：，當(dāng)橢圓焦點位于軸時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，當(dāng)橢圓焦點位于軸時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，本題選擇C選項.12．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，橢圓的長軸長是短軸長的倍，即，則橢圓的離心率為，故選B.二、填空題13．如圖，過原點O的直線AB交橢圓于A，B兩點，過點A分別作x軸、AB的垂線AP．AQ交橢圓C于點P．Q，連接BQ交AP于一點M，若，則橢圓C的離心率是__________．【答案】【解析】設(shè)），則，由，則，再由B，M，Q三點共線，則，故，故即，又因為，，即，所以，故橢圓C的離心率是．故答案為：14．橢圓的右焦點，其右準(zhǔn)線與軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是_____【答案】【解析】由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等，而，于是，即，?，又，故，故答案為.15．已知是橢圓的長軸的兩個端點，是橢圓上的動點，且的最大值為，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】因為是橢圓上的動點，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?，由橢圓性質(zhì)得此時是短軸頂點且，所以，解得故答案為：16．已知直線為經(jīng)過坐標(biāo)原點且不與坐標(biāo)軸重合的直線，且與橢圓相交于兩點，點為橢圓上異于的任意一點，若直線和的斜率之積為，則橢圓的離心率為______.【答案】【解析】由題知：設(shè)，，.則，.因為，所以.又因為，在橢圓上，所以，，兩式相減得，即.所以，即.則.故答案為：三、解答題17．已知橢圓的短軸長等于，右焦點F距C最遠處的距離為3．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過F的直線與C交于A、B兩點（A、B不在x軸上），若，求四邊形面積S的最大值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由已知得，，（2）因為過的直線與交于兩點（不在軸上），所以設(shè)，設(shè)則，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性易得當(dāng)即18．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C