4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解課時教學設計（王春艷）-高中數(shù)學新教材必修第一冊小單元教學+專家指導（視頻+教案）

第一課時函數(shù)的零點與方程的解（一）教學內(nèi)容：函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點存在定理（二）教學目標1.通過類比二次函數(shù)的零點的研究方法導出函數(shù)的零點的概念，能夠數(shù)學地認識函數(shù)與方程的關系，形成將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題、利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)學問題的習慣，發(fā)展學生數(shù)學抽象的數(shù)學核心素養(yǎng)；2.通過觀察對應二次函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的特征，能夠?qū)С龊瘮?shù)零點存在定理，發(fā)展學生數(shù)形結(jié)合、將形轉(zhuǎn)化為數(shù)的能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)；3.通過運算具體函數(shù)值的過程，感受指定區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的變化規(guī)律，尋找函數(shù)零點所在的區(qū)間，能夠利用信息技術畫出圖象操作確認，嘗試或轉(zhuǎn)化的方法探索方程的有解區(qū)間，強化學生估算意識，培養(yǎng)近似計算的習慣，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).（三）教學重點及難點1.重點：函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點存在定理2.難點：數(shù)學方式發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點存在定理的理性思維方法（四）教學過程設計引導語在“函數(shù)的應用（一）”的學習中，通過一些實例，我們已初步了解了建立函數(shù)模型解決實際問題的過程，學習了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)律的方法，本單元將繼續(xù)學習運用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法（二分法），再結(jié)合實例，更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學模型的基本過程，學習運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法，今天我們先類比二次函數(shù)零點的研究方法一起探究：形如“l(fā)nx+2x-6=0”的不能用公式求解的方程解的情況，大家思考以下問題：問題1：類比二次函數(shù)的零點的研究方法，怎樣從函數(shù)的觀點導出函數(shù)零點的概念？師生活動：教師安排學生閱讀教科書第147頁閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”后，類比二次函數(shù)的零點的概念的研究方法，由學生自主畫出二次函數(shù)的圖象，并觀察此圖象函數(shù)值的變化規(guī)律，嘗試說出一般函數(shù)零點概念？追問：你能再舉出幾個例子說明函數(shù)的零點、方程的解、圖象與x軸的公共點的關系嗎？并用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點及方程的解？學生舉例、畫圖、觀察熟悉的函數(shù)圖象，體會函數(shù)零點、方程的解、圖象與x軸的公共點之間的關系，深入理解函數(shù)零點的概念的內(nèi)涵.設計意圖：安排學生完成閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”，從高次代數(shù)方程解的探索歷程，引導學生感受數(shù)學文化、體會邏輯的嚴謹性，理性認識函數(shù)與方程的關系，形成將方程的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題、再利用函數(shù)性質(zhì)解決問題的思維習慣，從具體例子出發(fā)，利用從具體到抽象的方法，導出一般函數(shù)零點的概念并得到相應的結(jié)論，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).問題2：觀察，如圖，二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間[2,4]上有零點，此時函數(shù)圖象與x軸有什么關系？師生活動：教師提出問題，學生觀察函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的圖象部分與x軸有交點，體會此區(qū)間內(nèi)自變量確定的函數(shù)值的變化特征，請說出函數(shù)的零點兩側(cè)函數(shù)值的變化情況.追問1：計算在區(qū)間[-2,4]上是否也有這種特點？學生運算函數(shù)得出，在區(qū)間[-2,4]上不滿足，但函數(shù)存在零點，這一現(xiàn)象引發(fā)學生深入思考.追問2：你能舉出幾個例子并畫出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點所在的區(qū)間，并計算在區(qū)間端點的函數(shù)值的積，是否有同樣的結(jié)論嗎？學生通過舉例畫圖分析，函數(shù)零點所在區(qū)間的特征，能夠得出若有區(qū)間端點的函數(shù)值乘積為負，此區(qū)間內(nèi)一定存在零點，反之，不一定成立.設計意圖：觀察“函數(shù)圖象與x軸的關系”的角度，與x軸公共點（3,0），且“穿過”x軸，在“圖象連續(xù)不斷”的條件下，把這兩點結(jié)合起來，那么在零點所在區(qū)間內(nèi)，零點的兩邊函數(shù)值一定異號.理解“圖象穿過x軸”（形）用“函數(shù)的取值規(guī)律”（數(shù)）來表示，在“x=3的兩側(cè)函數(shù)值異號”，可以取端點為代表，即.追問3：請繼續(xù)思考自己舉出的函數(shù)例子，結(jié)合圖象分析零點存在的條件，在此基礎上歸納出零點存在的共同特征，能否概括出表達函數(shù)存在零點一個的命題？學生分析舉例存在零點的圖象特征，歸納函數(shù)零點存在的結(jié)論，師生共完善，學生寫在紙上，投影展示成果，再安排學生閱讀教材第143頁，“函數(shù)零點存在定理”的精準表達，學生思考，引導學生思辨其中關鍵語句的含義.追問4：你怎樣理解定理中的兩個條件“在給定區(qū)間上連續(xù)”和“”？思考定理的用處是什么？學生舉反例說明函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)連續(xù)，結(jié)合圖象得出如果區(qū)間端點乘積為負，則函數(shù)在此區(qū)間上至少有一個零點，師生總結(jié)得出：零點存在定理為研究方程的解提供了理論依據(jù).設計意圖：按“導出定理---了解定理---應用定理”途徑展開定理的研究，從邏輯的角度對定理中兩個條件的充分性、必要性的考察，發(fā)展學生的數(shù)學抽象的數(shù)學學科素養(yǎng).問題3：你能說出求方程lnx+2x-6=0的實數(shù)解的個數(shù)研究方法嗎？師生活動：教師提出不能用公式解決的方程解的問題，學生可能回答：計算機軟件畫圖，根據(jù)圖象直接判斷；取特殊值估計解的情況；轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)后，畫圖由交點個數(shù)確定；用零點存在定理進行判斷.按學生的想法進行嘗試操作：方法一：GGB畫圖可得方程解的個數(shù)，如圖方法二：考察函數(shù)的單調(diào)性，，，由函數(shù)的零點存在定理可知函數(shù)存在零點，又因為函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)所以，方程lnx+2x-6=0有一個實數(shù)解；方法三：方程lnx+2x-6=0可轉(zhuǎn)化為lnx=6-2x,同一平面直角坐標系上畫出兩個基本初等函數(shù)圖象，由交點情況，判斷方程解的個數(shù)問題方法四：借助計算工具化出畫出函數(shù)y=lnx+2x-6的圖象或列出x,y的對應值表，如下表格，并畫出圖象由以上表格和圖象可知，，，由零點存在定理可知函數(shù)，可以用單調(diào)性定義容易證明函數(shù)是增函數(shù)，所以它只有一個零點，即相應方程lnx+2x-6=0只有一個解.追問1：為什么由圖4.5-2和還不能說明函數(shù)只有一個零點？請舉例說明；學生舉例說明對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如，“連續(xù)不異號”“異號不連續(xù)”“不連續(xù)不異號”等都不能斷定該函數(shù)是否存在零點；學生能夠說出研究函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點時，可借助函數(shù)的單調(diào)性來判斷是否只有一個零點解決問題的方法.追問2：你能證明函數(shù)是增函數(shù)嗎？學生能夠給出兩種思路：方法一：函數(shù)單調(diào)性的證明思路，類似方法二進行證明，可將其轉(zhuǎn)化為兩個基本函數(shù)的單調(diào)性的判斷，令函數(shù)，從而判斷出函數(shù)，方法二：用單調(diào)函數(shù)定義進行增函數(shù)的證明，略設計意圖：通過追問，讓學生得出“函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上最多有一個零點”的結(jié)論，進一步得到方程解的個數(shù)問題的轉(zhuǎn)化方法，在后繼學習中經(jīng)常用到，有助于提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)；探究解法的多樣性，培養(yǎng)學生多角度思考問題的習慣，發(fā)展學生高階思維及數(shù)學運算素養(yǎng).課堂小結(jié)問題4：通過本節(jié)課函數(shù)零點概念及函數(shù)零點存在定理的學習，聯(lián)系函數(shù)與方程的研究內(nèi)容及方法，你能說出求方程近似值的一般路徑嗎？本節(jié)研究了函數(shù)的零點與方程的解、函數(shù)的零點存在定理，利用定理建立求方程近似解的一般步驟，學生經(jīng)歷從“情境+問題”思維過程，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，使其學會以簡馭繁，養(yǎng)成一般性的思考問題的習慣；研究路徑：“概念—定理一應用”，有利于學生形成系統(tǒng)性、普適性的數(shù)學思維模式.問題5：在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？本節(jié)課在函數(shù)的零點與方程的解的轉(zhuǎn)換過程中，逐步滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了直觀想象、數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng).目標檢測設計必做題：1.如圖（1）（2）（3）分別為函數(shù)在三個不同范圍的圖象，能否僅根據(jù)其中一個圖象，得出函數(shù)在某個區(qū)間只有一個零點的判斷？為什么？設計意圖：本題通過函數(shù)圖象加深對函數(shù)性質(zhì)的深層理解，主要考查零點存在定理及單調(diào)性，觀察不同函數(shù)區(qū)間的圖象特征，加深理解函數(shù)存在零點理論，提升數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)、直觀想象等素養(yǎng).2.利用計算工具畫出函數(shù)的圖象，并指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：（2）（4）設計意圖：通過信息技術繪制圖象，能加深學生對零點存在定理的認識，對具體函數(shù)圖象的實踐操作，進一步理解數(shù)對形的定性刻畫，對定理中的兩個條件有了更深刻的思考，提升學生數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).3.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應值表：x123456y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064函數(shù)在哪幾個區(qū)間內(nèi)一定有零點？為什么？設計意圖：通過對表格中的數(shù)據(jù)理解，由已知點的坐標確定了的圖象的特征及變化規(guī)律，為零點存在定理的應用提供了數(shù)與形的實證依據(jù)，提升了數(shù)學抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng).4.已知函數(shù)，求證：方程在（-1,2）內(nèi)至少有兩個實數(shù)解.設計意圖：本題蘊含的轉(zhuǎn)化思想，為學生提供了解決問題的一般方法，的實數(shù)解的問題可以轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的解的問題，先作出函數(shù)的圖象，由圖象的特征確定函數(shù)的零點情況，為函數(shù)的零點存在定理的使用提供了載體，在解決問題的過程中，發(fā)展了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學模型等數(shù)學核心素養(yǎng).選做題：5.觀察函數(shù)的圖象，借助計算工具，你能進一步縮小函數(shù)零點所在的范圍嗎？能否估算出此函數(shù)零點的近似值？若可以，請說出你的研究方法，并寫出分析過程.設計意圖：通過信息技術繪制圖象，在零點存在定理的運用基礎上積累探索“二分法”活動經(jīng)驗，為學生提供獨立思考機會，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維.落實“四基”、發(fā)展“四能”.教學反思本節(jié)課是在類比一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等圖象與性質(zhì)的實際應用的