4.3 等比數(shù)列（十四大題型）（原卷版）

4．3等比數(shù)列課程標準學習目標1、通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義．2、探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．3、能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．4、體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．1、能根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能進行簡單的求值．2、能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式．3、掌握等比數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)特征并能進行基本的運算．4、掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路．5、會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡單問題．知識點01等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識點詮釋：①由于等比數(shù)列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)”，這里的項具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個；③隱含條件：任一項且；“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件；④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列．不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)．利用這種形式來判定，就便于操作了．【即學即練1】（2023·全國·高二隨堂練習）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列知識點02等比中項如果三個數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項．其中．知識點詮釋：①只有當與同號即時，與才有等比中項，且與有兩個互為相反數(shù)的等比中項．當與異號或有一個為零即時，與沒有等比中項．②任意兩個實數(shù)與都有等差中項，且當與確定時，等差中項唯一．但任意兩個實數(shù)與不一定有等比中項，且當與有等比中項時，等比中項不唯一．③當時，、、成等比數(shù)列．④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件．【即學即練2】（2023·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎?和4的等差中項，正數(shù)是和的等比中項，則等于.知識點03等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項公式為：推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：∴；；；……當n=1時，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：，，，……，把以上個等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識點詮釋：①通項公式由首項和公比完全確定，一旦一個等比數(shù)列的首項和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等比數(shù)列的通項公式的推廣已知等比數(shù)列中，第項為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公比來表示，通項公式可以看成是時的特殊情況．【即學即練3】（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列的前項和，則的通項公式（

）A． B．C． D．知識點04等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為①若，且，則，特別地，當時．②下標成等差數(shù)列且公差為的項，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為．③若，是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；④連續(xù)項和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．【即學即練4】（2023·廣西欽州·高二欽州一中?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若、是方程的兩根，則的值是.知識點05等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則：（1）當時，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．（2）當時，等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點．①當且時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；②當且時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；③當且時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；④當且時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列．（3）當時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列．知識點詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列．【即學即練5】（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和之積為，設(shè)等差數(shù)列的公差為、等比數(shù)列的公比為，以下正確的所有序號為.①；②；③；④.知識點06等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的前項和公式推導(dǎo)過程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有根據(jù)等比性質(zhì)，有所以當時，或．（2）錯位相減法等比數(shù)列的前n項和，①當時，，；②當時，由得：所以或．即知識點詮釋：①錯位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個等比數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法．②在求等比數(shù)列前項和時，要注意區(qū)分和．③當時，等比數(shù)列的兩個求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．【即學即練6】（2023·上海虹口·高二上外附中校考階段練習）若等比數(shù)列的前n項和為，且，，求.知識點07等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點．2、與的關(guān)系當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．【即學即練7】（2023·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．知識點08等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)1、等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則；若項數(shù)為，則．2、若等比數(shù)列的前n項和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．3、若一個非常數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等比數(shù)列．【即學即練8】（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學校考階段練習）已知等比數(shù)列的前n項和為45，前2n項和為60，則其前3n項和為（

）A．65 B．80 C．90 D．105【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項公式求解；（2）優(yōu)缺點：適應(yīng)面廣，入手簡單，思路清晰，但有時運算稍繁．2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項的“下標”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系，選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點：簡單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量．題型一：等比數(shù)列的判斷例1．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）如果某地某天某病毒患者的確診數(shù)量為，且每個患者的傳染力為2（即一人可以造成2人感染），則3天后的患者人數(shù)將會是原來的（

）A．8倍 B．15倍 C．16倍 D．31倍例2．（2023·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前n項和，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列也是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列例3．（2023·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則“”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）“一個數(shù)列是常數(shù)列”是“這個數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列”的（

）A．充分非必要條件；B．必要非充分條件；C．充要條件；D．既不充分又非必要條件．變式2．（2023·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B．5 C． D．【方法技巧與總結(jié)】一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．題型二：等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用例4．（2023·河南許昌·高二校考階段練習）已知數(shù)列滿足，則的通項公式（

）A． B． C． D．例5．（2023·福建漳州·高二?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，，則首項等于（

）A．2 B．1 C． D．例6．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．32 D．64變式3．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學校考階段練習）在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2變式4．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）在正項等比數(shù)列中，，，則的公比（

）A．2 B． C．2或 D．或變式5．（2023·黑龍江大慶·高二校考期末）已如公比不為1的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項公式涉及4個量，，，，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．題型三：等比數(shù)列的證明例7．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，

(1)求(2)若，求證數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式(3)求數(shù)列的通項公式例8．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列滿足：，．(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項公式．例9．（2023·天津北辰·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)證明：是等比數(shù)列.變式6．（2023·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項和，，．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式．變式7．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為，且N(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【方法技巧與總結(jié)】1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項法：（）為等比數(shù)列；3、通項公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列．4、構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)關(guān)系時，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把與對照，求出即可．題型四：等比中項及應(yīng)用例10．（2023·吉林·高二校聯(lián)考期末）在等比數(shù)列中，，，則與的等比中項為例11．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學?？茧A段練習）5和15的等比中項是.例12．（2023·高二課時練習）在等比數(shù)列中，，則和的等比中項為．變式8．（2023·高二課時練習）與的等比中項為．變式9．（2023·高二?？颊n時練習）已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.【方法技巧與總結(jié)】（1）由等比中項的定義可知，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．（2）在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項和后一項的等比中項．（3）a，G，b成等比數(shù)列等價于．題型五：等比數(shù)列的實際應(yīng)用例13．（2023·全國·高二隨堂練習）計算機的價格不斷降低，若每年計算機的價格降低，現(xiàn)在價格為8100元的計算機3年后的價格可降低為（

）．A．300元 B．900元 C．2400元 D．3600元例14．（2023·北京·高二校考期中）我國古代哲學著作《莊子》中有一句話：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭.”這句話的意思是：一尺長的木棍，每天截去一半，永遠也截不完.從數(shù)學上來說，如果木棍初始長度為1，記第n天截去一半之后木棍剩余的長度為，則數(shù)列的各項依次為（

）A．1，，，，… B．，，，，…C．，，，，… D．，，，，…例15．（2023·全國·高二專題練習）黨的十九大明確把精準脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一，作出了新的部署．某地區(qū)現(xiàn)有28萬農(nóng)村貧困人口，如果計劃在未來3年時間內(nèi)完成脫貧任務(wù)，并且后一年的脫貧任務(wù)是前一年任務(wù)的一半，為了按時完成脫貧攻堅任務(wù)，那么第一年需要完成的脫貧任務(wù)是（

）A．10萬人 B．12萬人 C．14萬人 D．16萬人變式10．（2023·全國·高三專題練習）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．而早在16世紀，明代朱載最早用精湛的數(shù)學方法近似計算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．若第一個單音的頻率為，則第四個單音的頻率為（

）A． B． C． D．變式11．（2023·全國·高三專題練習）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當進行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（

）

A．2 B． C． D．3【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學模型即將實際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學模型即解等比數(shù)列問題．題型六：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例16．（2023·甘肅白銀·高二校考階段練習）正項等比數(shù)列中，，則的值是．例17．（2023·新疆喀什·高二?？茧A段練習）在等比數(shù)列中，，則.例18．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學?？奸_學考試）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則．變式12．（2023·新疆·高二校考期中）已知遞增等比數(shù)列的第三項、第五項、第七項的積為512，且這三項分別減去后成等差數(shù)列.則的公比為.變式13．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）正項等比數(shù)列中，，是方程的兩個根，則.變式14．（2023·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列中，有，則；變式15．（2023·江西撫州·高二江西省臨川第二中學?？茧A段練習）正項等比數(shù)列中，若，則.變式16．（2023·遼寧阜新·高二?？计谥校┤舻缺葦?shù)列滿足，，則．變式17．（2023·安徽滁州·高二校考期末）在等比數(shù)列中，，，則等于．變式18．（2023·北京·高二中央民族大學附屬中學?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，若，，則.【方法技巧與總結(jié)】利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項的“下標”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系，選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題．（2）優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．題型七：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題例19．（2023·寧夏·石嘴山市第三中學高二階段練習）有四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個數(shù)是25，求此四個數(shù)．例20．（2023·陜西·西安市鄠邑區(qū)第二中學高二階段練習）依次排列的四個數(shù)，其和為13，第四個數(shù)是第二個數(shù)的3倍，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，求這四個數(shù).例21．（2023·全國·高二課時練習）四個數(shù)中前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個數(shù)．變式19．（2023·江蘇·高二課時練習）已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個數(shù)．變式20．（2023·全國·高二專題練習）有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為，中間兩個數(shù)的和為，求這四個數(shù).變式21．（2023·全國·高二課時練習）已知四個數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－，求這四個數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】幾個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法（1）三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（2）四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（3）四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號是否相同時，可設(shè)為．題型八：等比數(shù)列前項和的有關(guān)計算例22．（2023·上海靜安·高二校考階段練習）求和：.例23．（2023·甘肅白銀·高二?？茧A段練習）若數(shù)列為首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則．例24．（2023·福建龍巖·高二福建省連城縣第一中學?？茧A段練習）記為等比數(shù)列的前項和，若，則變式22．（2023·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？茧A段練習）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，則的值為.變式23．（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，已知，，，則的值為．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列前n項和運算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：、、、、，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．（2）對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可看作一個整體．（3）在解決與前項和有關(guān)的問題時，首先要對公比或進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．題型九：等比數(shù)列前項和的性質(zhì)例25．（2023·江西吉安·高二吉安三中?？计谀┑缺葦?shù)列的前項和，則的值為.例26．（2023·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）若等比數(shù)列的前n項和，則．例27．（2023·河北保定·高二定興中學校聯(lián)考階段練習）若等比數(shù)列的前n項和，則．變式24．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則.【方法技巧與總結(jié)】處理等比數(shù)列前項和有關(guān)問題的常用方法（1）運用等比數(shù)列的前項和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．（2）靈活運用等比數(shù)列前項和的有關(guān)性質(zhì)．題型十：遞推公式在實際問題中的應(yīng)用例28．（2023·湖南·高二期末）年月日日，備受矚目的年中國國際軌道交通和裝備制造產(chǎn)業(yè)博覽會（軌博會）在湖南株洲成功舉行．假設(shè)年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤為百億元，預(yù)計從年開始，軌道產(chǎn)業(yè)每年的年利潤將在前一年翻一番的基礎(chǔ)上減少百億元，設(shè)從年開始，每年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤（單位：百億元）依次為、、、.(1)請用一個遞推關(guān)系式表示與之間的關(guān)系．(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列．(3)預(yù)計哪一年株洲軌道產(chǎn)業(yè)的年利潤將首次突破千億元大關(guān)．例29．（2023·全國·高二單元測試）某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金1000萬元，已知每年可獲利，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中抽取200萬元資金進行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．設(shè)經(jīng)過年之后，該項目的資金為萬元．（1）設(shè)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出至少要經(jīng)過多少年，該項目的資金才可以達到或超過翻兩番（即為原來的4倍）的目標（?。唬?）若，求數(shù)列的前項和．例30．（2023·全國·高二課時練習）某工廠2019年初有資金1000萬元，資金年平均增長率可達到20％，但每年年底要扣除萬元用于獎勵優(yōu)秀職工，剩余資金投入再生產(chǎn)．（1）以第2019年為第一年，設(shè)第年初有資金萬元，用和表示，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）為實現(xiàn)2029年初資金翻再現(xiàn)兩番的目標，求的最大值（精確到萬元）．（參考數(shù)據(jù)：，，）變式25．（2023·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））“綠水青山就是金山銀山”是時任浙江省委書記習近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時提出的科學論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報告，為響應(yīng)總書記號召，我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方公里，則第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系如下：；(1)證明是等比數(shù)列并求通項公式；(2)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%？（）變式26．（2023·上海市松江二中高一期末）在一次招聘會上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標準.甲公司允諾：第一年的年薪為萬元，以后每年的年薪比上一年增加元；乙公司的工資標準如下：①第一年的年薪為萬元；②從第二年起，每年的年薪除比上一年增加外，還另外發(fā)放（為大于的常數(shù)）萬元的交通補貼作為當年年薪的一部分.設(shè)甲、乙兩家公司第年的年薪依次為萬元和萬元.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)小李年初被這兩家公司同時意向錄取，他打算選擇一家公司連續(xù)工作至少年.若僅從前年工資收入總量較多作為選擇的標準（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從第二年起，每年應(yīng)至少發(fā)放多少元的交通補貼？（結(jié)果精確到元）【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學推理與計算得出的結(jié)果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結(jié)論．題型十一：利用錯位相減法求數(shù)列的前項和例31．（2023·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和.例32．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學校考期中）已知數(shù)列滿足：，，設(shè)．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和．例33．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學校考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.變式27．（2023·吉林長春·高二長春市解放大路學校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.變式28．（2023·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．變式29．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足（）(1)求數(shù)列的通項公式：(2)設(shè)為數(shù)列的前項和【方法技巧與總結(jié)】錯位相減法的適用范圍及注意事項（1）適用范圍：它主要適用于是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．（2）注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出與的表達式時，應(yīng)注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出的表達式．②利用此法時要注意討論公比是否等于1的情況．題型十二：等比數(shù)列中與的關(guān)系例34．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和分別為，且，(1)求數(shù)列的通項公式(2)求的通項公式例35．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和為，．證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)當時，．例36．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．變式30．（2023·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.變式31．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，從下面①②③中選擇兩個作為條件，證明另外一個成立.①，②，③.變式32．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式：(2)若正整數(shù)m滿足不等式，求m的最大值．變式33．（2023·吉林長春·高二長春外國語學校?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【方法技巧與總結(jié)】與的關(guān)系當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．題型十三：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)例37．（2023·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12例38．（2023·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．3例39．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學校考階段練習）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．變式34．（2023·高二課時練習）已知等比數(shù)列的前項和，前項和，則前項和（

）A．64 B．66 C． D．變式35．（2023·新疆阿勒泰·高二統(tǒng)考期末）已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則的值為（

）A．85 B．64 C．84 D．21變式36．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）設(shè)等比數(shù)列的前項和為10，前項和為60，則該數(shù)列的前項和為（）A．360 B．720C．1560 D．1800【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．題型十四：等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和例40．（2023·高二單元測試）已知一個等比數(shù)列的項數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和1011，偶數(shù)項之和為2022，則這個數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2例41．（2023·高二課時練習）已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的倍，前項之積為，則（）A． B．C． D．例42．（2023·全國·高二專題練習）已知等比數(shù)列的公比，前項和為，則其偶數(shù)項為（

）A．15 B．30C．45 D．60變式37．（2023·高二課時練習）已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的公比和項數(shù)分別為（）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8變式38．（2023·江西南昌·高一南昌二中階段練習）已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的公比和項數(shù)分別為（

）A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則；若項數(shù)為，則．一、單選題1．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則等于（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高二隨堂練習）某超市去年的銷售額為a萬元，計劃在今后10年內(nèi)每年比上一年增加10%．從今年起10年內(nèi)這家超市的總銷售額為（

）萬元．A． B． C． D．3．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學校考階段練習）在等比數(shù)列中，，則其公比q的值為（

）A． B． C．1或 D．﹣1或4．（2023·西藏拉薩·高二校考期中）已知等比數(shù)列的前n項和為，，.則公比q等于（

）A．或 B． C．1 D．1或5．（2023·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學蘇州附屬中學校考階段練習）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．6．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學校考階段練習）記為等比數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．2567．（2023·天津津南·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C． D．8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．沒有最大值二、多選題9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前n項和為，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是（

）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若（A，B為常數(shù)），則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列10．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學?？茧A段練習）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是等差數(shù)列C．D．數(shù)列是遞增數(shù)列11．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）某高中通過