1.2 集合間的基本關(guān)系-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

1.2集合間的基本關(guān)系【考點梳理】【考點梳理】考點一子集、真子集、集合相等定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集A?B(或B?A)真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A＝B考點二空集1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．【題型歸納】題型一：子集、真子集的個數(shù)問題1．（2022·河南洛陽·高一期末）集合的真子集的個數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一專題練習）集合，，則集合的真子集的個數(shù)為（

）A．8 B．6 C．7 D．153．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，則集合A的子集個數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64題型二：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)4．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．5．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合，集合，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高一專題練習）集合，，則M、P之間的關(guān)系為（

）A． B． C． D．題型三：根據(jù)集合相等關(guān)系求參數(shù)7．（2022·江蘇·高一）下列集合中表示同一集合的是（

）．A．，B．，C．，D．，8．（2021·福建·內(nèi)厝中學高一階段練習）若A＝{－1，2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，則有（

）A． B．C． D．9．（2021·湖南·長郡中學高一期中）設(shè)a，，P={1，a}，Q={，}，若P=Q，則(

)A． B． C．0 D．1題型四：與空集有的集合問題10．（2021·全國·高一）下列六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．611．（2020·山西·高一期中）若集合，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2020·浙江·臺州市雙語高級中學高一階段練習）設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是（

）A． B．C． D．題型五：集合的基本關(guān)系的綜合13．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，在下列條件下分別求實數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個元素.14．（2022·全國·高一專題練習）設(shè)集合，，且．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，求集合A的子集的個數(shù)．15．（2021·湖南·永州市第二中學高一階段練習）已知(1)若求實數(shù)a的取值范圍(2)若，求實數(shù)的取值范圍【雙基達標】一、單選題16．（2022·江蘇·高一）設(shè)集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，則實數(shù)x的值組成的集合為（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}17．（2022·江蘇·高一）已知集合，集合．若，則實數(shù)m的取值集合為（

）A． B． C． D．18．（2022·全國·高一專題練習）已知，，若，則的值為(

)A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．19．（2021·福建省德化第一中學高一階段練習）下列關(guān)系中正確的是（

）A．

B． C． D．20．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．（2022·全國·高一）集合，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．±122．（2019·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）已知集合，，且，則的值為（

）A．或 B．或C．或 D．或或23．（2021·河南·高一階段練習）規(guī)定：在整數(shù)集中，被7除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“家族”，記為，即，，給出如下四個結(jié)論：①；②；③若整數(shù)a，b屬于同一“家族”，則；④若，則整數(shù)a，b屬于同一“家族”．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【高分突破】一：單選題24．（2021·江蘇常州·高一期中）已知集合，若則實數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．25．（2022·江蘇·高一單元測試）設(shè)a，b是實數(shù)，集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．26．（2021·湖北·孝感市孝南區(qū)第二高級中學高一期中）給出下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．427．（2021·天津市濱海新區(qū)大港第八中學高一期中）下列六個寫法：①；②；③；④?；⑤?；⑥??{0}，其中錯誤寫法的個數(shù)為（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個28．（2021·河南南陽·高一階段練習）若集合，，則、、的關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題29．（2022·全國·高一開學考試）已知集合，，若，則實數(shù)a的值可能是（

）A．?1 B．1 C．?2 D．230．（2021·河北·高一階段練習）下列集合中，與相等的是（

）A． B． C． D．31．（2020·湖南·嘉禾縣第一中學高一階段練習）下列集合是空集的是（

）A． B．C． D．32．（2021·河北·石家莊市第四十一中學高一期中）已知集合，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．33．（2021·全國·高一課時練習）已知非空集合滿足：①，②若，則.則集合可能是（

）A． B． C． D．34．（2021·江蘇省天一中學高一期中）若一個集合是另一個集合的子集，則稱這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則可能的取值為（

）A．0 B．1 C． D．-1三、填空題35．（2022·安徽·高一期中）設(shè)集合，則集合的子集個數(shù)為________36．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，，且，則實數(shù)a的值為___________.37．（2022·江蘇·高一）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．38．（2020·甘肅·永昌縣第一高級中學高一階段練習）下列命題中正確的有________(寫出全部正確的序號).①{2，4，6}?{2，3，4，5，6}；②{菱形}?{矩形}；③{x|x2＝0}?{0}；④{(0，1)}?{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥.39．（2022·全國·高一專題練習）已知集合，，且，則實數(shù)的取值集合為___________.40．（2021·江蘇省海頭高級中學高一階段練習）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則=___________．四、解答題41．（2022·全國·高一專題練習）判斷下列每對集合之間的關(guān)系：(1)，；(2)，{是的約數(shù)}；(3)，.42．（2022·全國·高一專題練習）已知.(1)若是的子集，求實數(shù)的值；(2)若是的子集，求實數(shù)的取值范圍.43．（2021·重慶·高一階段練習）已知集合．(1)若是的子集，且至少含有元素，寫出滿足條件的所有集合；(2)若，且，求實數(shù)的取值集合．44．（2021·全國·高一課時練習）設(shè)集合，．(1)當時，求A的非空真子集個數(shù)；(2)當時，求m的取值范圍．45．（2021·上海市奉賢中學高一期中）定義：若任意（m，n可以相等），都有，則集合稱為集合A的生成集；(1)求集合的生成集B；(2)若集合，A的生成集為B，B的子集個數(shù)為4個，求實數(shù)a的值；(3)若集合，A的生成集為B，求證.46．（2021·福建·廈門市海滄中學高一期中）已知集合（1）若集合A中有兩個元素，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若集合A最多有兩個子集，求實數(shù)a的取值范圍.47．（2021·福建省龍巖第一中學高一開學考試）已知集合.(1)若，，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得，？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案詳解】1．B【詳解】集合的元素個數(shù)為，故集合的真子集個數(shù)為.故選：B.2．C【詳解】，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：C.3．B【詳解】∵，∴，解得，∵，∴，則集合的子集個數(shù)為.故選：B.4．A【詳解】由且，即，而，所以為的子集，則.故選：A5．D【詳解】由可得.故選：D.6．C【解析】【分析】用列舉法表示集合、，即可判斷兩集合的關(guān)系；【詳解】解：因為，，所以，故選：C7．B【詳解】選項A，集合，為點集，而點與點為不同的點，故A錯；選項C，集合為點集，集合為數(shù)集，故C錯；選項D，集合為數(shù)集，集合為點集，故D錯；選項B，集合，表示的都是“大于的實數(shù)”，為同一個集合．故選：B8．D【解析】【分析】根據(jù)，可得和是方程的兩個根，利用一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可求得的值.【詳解】由題意，，因為，可得和是方程的兩個根.可得，解得.故選：D.9．C【解析】【分析】利用相等集合的概念求出和即可求解.【詳解】由于，所以，，從而，.故選:C．10．C【解析】【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之間的包含關(guān)系可判定②，⑤，利用元素與集合的關(guān)系可判定⑥.【詳解】①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，表示空集，而表示的是含這個元素的集合，所以不成立.④錯誤，表示空集，而表示含有一個元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，由元素與集合的關(guān)系知，．故選：C.11．A【解析】先假設(shè)集合為空集，得到不等式恒成立，求出范圍，再求其補集，即可得出結(jié)果.【詳解】若集合，則不等式恒成立，當時，不等式可化為，則，不滿足題意；當時，為使不等式恒成立，只需，解得，綜上集合時，；又集合，所以.故選：A.12．D【解析】集合：，集合：，集合的分子代表偶數(shù)，集合的分子代表奇數(shù)，即可判斷選項.【詳解】對于集合：，對于集合：，集合的分子代表偶數(shù)，集合的分子代表奇數(shù)，則集合和集合沒有交集.故選：D.【點睛】本題主要考查了集合的運算.屬于較易題.13．(1)(2)【解析】【分析】若，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)解，則，且，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．若A恰有一個元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解，分類討論能求出實數(shù)m的取值范圍．(1)若，則關(guān)于x的方程沒有實數(shù)解，則，且，所以，實數(shù)m的取值范圍是；(2)若A恰有一個元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個實數(shù)解，討論：當時，，滿足題意；當時，，所以．綜上所述，m的取值范圍為．14．(1){或}(2)【解析】【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分類討論求解；（2）確定集合中元素（個數(shù)），然后可得子集個數(shù)．(1)當即時，，符合題意；當時，有，解得．綜上實數(shù)的取值范圍是或；(2)當時，，所以集合的子集個數(shù)為個．15．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題可得，即得；（2）根據(jù)，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求得的取值范圍．(1)∵，∴，即，∴實數(shù)a的取值范圍為；(2)∵，，∴，解得，故實數(shù)的取值范圍為.16．C【解析】【分析】利用集合相等求解.【詳解】解：因為，所以，解得或，的取值集合為，故選：C17．C【解析】【分析】根據(jù)是的子集列方程，由此求得的取值集合.【詳解】由于，所以，所以實數(shù)m的取值集合為.故選：C18．A【解析】【分析】A＝{－1，1}，若，則＝±1，據(jù)此即可求解﹒【詳解】，，若，則＝1或－1，故a＝1或－1．故選：A．19．B【解析】【分析】明確和的含義，可判斷A,B;說明是數(shù)集，而是點集，判斷C;當在時不成立，判斷D;【詳解】對于A,是單元素集合，元素為0，而是空集，二者不相等，故A錯誤；對于B，空集為任何一個集合的子集，故正確；對于C，的元素為0,1，而的元素為點，二者沒有包含關(guān)系，故錯誤；對于D,當表示不同的點，故在時不相等，故錯誤，故選：B20．A【解析】【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，即當時，，合乎題意；當時，即當時，由可得，解得，此時.綜上所述，.故選：A.21．B【解析】【分析】根據(jù)兩個集合相等，那么兩個集合中的元素完全一致，求出的值，進而計算的值.【詳解】因為，且，所以，即，所以，，又因為，所以，所以，故選B.22．D【解析】【分析】討論當與時，根據(jù)可得的值．【詳解】當時，，符合題意；當時，，因為，則或，得或；綜上所述：的值為或或故選：D．23．C【解析】【分析】根據(jù)“家族”的定義逐一判斷四個選項即可得正確答案.【詳解】對于①：因為，所以，故①正確；對于②：因為，所以，故②錯誤；對于③：若a與b屬于同一“家族”，則，，（其中），故③正確；對于④：若，設(shè)，，即，，不妨令，，，則，，，所以a與b屬于同一“家族”，故④正確；即①③④為正確結(jié)論．故選：C．24．C【解析】【分析】由知，然后對討論可得.【詳解】當時，集合B為空集，顯然滿足題意，故排除A、B；當時，集合，集合，則有，或，即或.故選：C25．D【解析】【分析】解絕對值不等式得到集合，再利用集合的包含關(guān)系得到不等式，解不等式即可得解.【詳解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范圍為故選：D26．B【解析】【分析】①空集中不含任何元素，由此可判斷①；②是整數(shù)，故可判斷②正確；③通過解方程，可得出，故可判斷③；④根據(jù)為正整數(shù)集可判斷④；⑤通過解方程，得，從而可判斷⑤.【詳解】①，故①錯誤；②是整數(shù)，所以，故②正確；③由，得或，所以，所以正確；④為正整數(shù)集，所以錯誤；⑤由，得，所以，所以錯誤.所以正確的個數(shù)有2個.故選：B.27．B【解析】【分析】根據(jù)集合與集合、集合與元素及空集的性質(zhì)判斷各項的正誤，即可確定錯誤寫法的個數(shù).【詳解】①兩個集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯誤；②0.3是有理數(shù)，即，故錯誤；③所含元素相同，正確；④空集沒有任何元素，故錯誤；⑤任意集合與空集的交集為空集，故錯誤；⑥空集是任意非空集合的真子集，故正確.故錯誤的有①②④⑤.故選：B.28．A【解析】【分析】分析出集合、為奇數(shù)集，可得出，再討論集合、的包含關(guān)系，即可得解.【詳解】由已知可知，集合、為奇數(shù)集，則，，故.故選：A.29．ABC【解析】【分析】由題意可得，從而可求出的范圍，進而可求得答案【詳解】因為，所以，，則，解得.故選：ABC30．AC【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義即可得出結(jié)果.【詳解】A，，可選；B，，與不相等，不選；C，，可選；D，，與不相等，不選.故選：AC31．AB【解析】【分析】根據(jù)各選項集合的描述直接判斷是否為空集即可.【詳解】A：由上恒成立，故；B：方程無解，故；C：，不為空集；D：，不為空集.故選：AB32．ACD【解析】【分析】根據(jù)子集、真子集、屬于的定義進行判斷即可.【詳解】因為，所以選項A正確、選項B錯誤，，因為集合不是空集，所以選項C正確，而正確，所以選項D正確，故選：ACD33．AC【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及子集的定義求解即可.【詳解】由題意可知且，而或2與4同時出現(xiàn)，所以且，所以滿足條件的非空集合有，故選：AC34．ACD【解析】【分析】由題意，可得或者兩個集合有公共元素，分別討論求解，即可得答案.【詳解】如果，則，解得，如果兩個集合有公共元素則，解得，經(jīng)檢驗符合，或，解得，經(jīng)檢驗符合.故選：ACD.35．16【解析】【分析】先化簡集合A，再利用子集的定義求解.【詳解】解：，故A的子集個數(shù)為，故答案為：1636．或或0【解析】【分析】先求得集合A，分情況討論，滿足題意；當時，，因為，故得到或，解出即可.【詳解】解：已知集合，，當，滿足；當時，，因為，故得到或，解得或；故答案為：或或0.37．或【解析】【分析】根據(jù)，利用數(shù)軸，列出不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實數(shù)的取值范圍或.故答案為：或38．①③⑥【解析】【分析】根據(jù)集合間的基本關(guān)系中的子集、真子集的定義及元素與集合的關(guān)系即可求解.【詳解】對于①，2，4，6，則{2，4，6}?{2，3，4，5，6}，故①正確；對于②，菱形不屬于矩形，則{菱形}{矩形}，故②不正確；對于③，由，解得，則{x|x2＝0}?{0}，故③正確；對于④，，則{(0，1)}?{0，1}，故④不正確；對于⑤，集合與集合不能用屬于與不屬于關(guān)系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正確；對于⑥，，故⑥正確.故答案為：①③⑥.39．【解析】【分析】討論和兩種情況，根據(jù)包含關(guān)系得出實數(shù)的取值集合.【詳解】當時，，滿足；當時，，因為，所以或，解得或即實數(shù)的取值集合為.故答案為：40．【解析】【分析】根據(jù)集合相等求得值，然后計算．【詳解】由題意，所以，即，所以，，時，與元素互異性矛盾，舍去，時，兩個集合為．滿足題意．所以．故答案為：．41．(1)BA(2)(3)【解析】【分析】（1）分析A，B集合中元素的關(guān)系，即得解；（2）列舉法表示集合D，即得解；（3）列舉法表示集合E，即得解(1)由題意，任取，有，故且，故BA(2)由于{是的約數(shù)}故(3)由于故42．(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）由題得，解即得解；（2）由題得，再對集合分三種情況討論得解.(1)解：由題得.若是的子集，則，所以.(2)解：若是的子集，則.①若為空集，則，解得；②若為單元素集合，則，解得.將代入方程，得，即，符合要求；③若為雙元素集合，，則.綜上所述