湖北省部分州市高三上學(xué)期9月月考聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題

2025屆高三上學(xué)期9月月考聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試卷考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A.3個 B.2個 C.1個 D.無窮多個【答案】B【解析】【分析】由圖知，陰影部分所示的集合為，根據(jù)條件求出，利用集合的運算，即可求解.【詳解】由圖知，陰影部分所示的集合為，由，得到，所以，又，所以，得到陰影部分所示的集合的元素共有個，故選：B.2.已知向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】先進行向量的線性坐標(biāo)運算，再利用向量垂直的數(shù)量積坐標(biāo)表示求解可得.【詳解】，.因為，所以，則，解得.故選：D.3.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得，進而根據(jù)即可代入化簡得求解.【詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則，所以，故，又，故，故選：B.4.將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個數(shù)不“拐角數(shù)”.（）A.22 B.30 C.37 D.46【答案】B【解析】【分析】由根據(jù)題意觀察“拐角數(shù)”的性質(zhì)，可得第個“拐角數(shù)”等于，進而逐項判斷即可得到答案.【詳解】由題意得第1個“拐角數(shù)”為，第2個“拐角數(shù)”為，第3個“拐角數(shù)”為，第4個“拐角數(shù)”為，…，則第個“拐角數(shù)”為.對于A：第6個“拐角數(shù)”是，故A不合題意；對于B、C：第7個“拐角數(shù)”是，第8個“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意;對于D：第9個“拐角數(shù)”是，故D不合題意.故選：B5.已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.86 B.87 C.88 D.90【答案】B【解析】【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因為，所以第75百分位數(shù)是．故選：B．6.已知直線與圓交于不同的兩點，O是坐標(biāo)原點，且有，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)中點為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點到直線的距離解不等式即可.【詳解】設(shè)中點為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點，∴，故，則，.故選：C．7.在中，角的對邊分別是，且，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化角為邊，再通過換元轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)，變形后利用基本不等式求最值求解可得.【詳解】由余弦定理得，代入得，，則，即，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，即時等號成立，此時，，即，為等腰直角三角形時，取到最小值.故選：B.8.已知的定義域為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用賦值法，求得，得到的一個周期是，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性，求得的值，進而得到答案.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函數(shù)，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一個周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函數(shù)可得：所以，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A.的虛部為 B.C. D.的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由歐拉公式，利用復(fù)數(shù)的基本概念，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，其虛部為，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，由，故的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，動點滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C，則下列結(jié)論正確的是（

）A.曲線C與y軸的交點為和B.曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，不關(guān)于原點O對稱C.點的橫坐標(biāo)的范圍是D.的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得曲線的軌跡方程為，利用軌跡方程，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】解：設(shè)點，因為，可得，整理得：，對于A中，當(dāng)時，解得，即曲線C與y軸的交點為，所以A正確；對于B中，因為，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱，同時用替換，用替換，方程不變，可得曲線關(guān)于原點對稱，所以B錯誤；對于C中，因為，即可得，即，即，解得，即，所以點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是，所以C正確；對于D中，因為，由C項知，所以，故，所以D錯誤．故選：AC.11.如圖，正方體的棱長為1，動點在對角線上，過作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長為，面積為，，下面關(guān)于函數(shù)和的描述正確的是（）A.最大值為；B.在時取得極大值；C.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】【分析】分情況作出截面，求截面的周長和面積，進行判斷.【詳解】當(dāng)時，截面為等邊三角形，如圖：因為，所以，所以：，，.此時，在上單調(diào)遞增，且，.當(dāng)時截面為六邊形，如圖：設(shè)，則所以六邊形的周長為：為定值；做平面于，平面于.設(shè)平面與平面所成的角為，則易求.所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時，即.所以在上遞增，在上遞減.時，最大，為.當(dāng)時，易得：，此時，在上單調(diào)遞減，，.綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)時，如果堅持用表示截面的周長和面積，感覺比較麻煩，設(shè)，用表示截面的周長和面積就省勁多了.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，若，則的值為______________．【答案】0.8##【解析】【分析】由條件結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可得，，再結(jié)合條件可求結(jié)論.【詳解】因為，，所以，所以，所以，故答案為：.13.已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，過點的直線交的左支于兩點.（為坐標(biāo)原點），記點到直線的距離為，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可得，再利用雙曲線定義及勾股定理求解即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為，由離心率為2，得，取的中點，連接，由，得，則，連接，由為中點，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案為：14.已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為的中點，E為的中點，延長交于點F，若，則的面積為______.【答案】##【解析】【分析】由正弦定理以及三角形面積公式求得的面積，設(shè)所求面積為，利用向量共線定理、平面向量基本定理得出即可求解.【詳解】的面積為，注意到，所以，因為三點共線，所以設(shè)，而點是中點，點是中點，所以，設(shè)，所以，因為不共線，所以，解得，因為，設(shè)的面積為，則.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于得到的面積，，由此即可順利得解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）求和：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由條件證明數(shù)列為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)，，則，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，所以，又，所以數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以an的通項公式為.【小問2詳解】設(shè)，，則，由（1）可得，所以，所以，所以，所以，所以所以.所以16.如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點．（1）在上是否存在點P，使直線平面，若存在，請確定點P的位置并給出證明，若不存在，請說明理由；（2）若（1）中點P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）存在，P是中點，證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用面面平行和線面平行確定點的位置，然后利用線面平行判定定理證明即可；（2）過點D作，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)面面夾角的向量公式求解可得.【小問1詳解】存在，證明如下：在四棱柱中，因為平面平面，所以可在平面內(nèi)作，由平面幾何知識可證，所以，可知P是中點，因平面，所以平面．即存在線段的中點，滿足題設(shè)條件．滿足條件的點只有一個，證明如下：當(dāng)平面時，因為平面，所以過作平行于CQ的直線既在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，而在平面內(nèi)過只能作一條直線，故滿足條件的點P只有唯一一個．所以，有且只有的中點為滿足條件的點P，使直線平面．【小問2詳解】過點D作，垂足為F，又因為平面ABCD，所以DA，DF，兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則有即令，得，，所以．設(shè)平面的法向量為．則有即令，得，，所以．所以．故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．17.現(xiàn)有n枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時正面朝上的概率為.甲、乙兩人用這n枚游戲幣玩游戲.（1）甲將游戲幣向上拋出10次，用表示落下時正面朝上的次數(shù)，求的期望，并寫出當(dāng)為何值時，最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；（2）甲將游戲幣向上拋出，用表示落下時正面朝上游戲幣的個數(shù)，求的分布列；（3）將這枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時正面朝上的個數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請判斷這個游戲規(guī)則是否公平，并說明理由.【答案】（1），（2）分布列見解析（3）公平，理由見解析【解析】【分析】（1）依題意可得隨機變量服從二項分布，即可得出期望值，依據(jù)二項式性質(zhì)可得時，最大.（2）寫出的所有可能取值，求出對應(yīng)概率即可求得分布列；（3）根據(jù)題意可求得，可知游戲規(guī)則是公平的.【小問1詳解】依題意得：每次拋游戲幣落下時正面向上的概率均為，故，于是，當(dāng)時，最大.【小問2詳解】記事件為“第枚游戲幣向上拋出后，正面朝上”，則，Y可取.由事件相互獨立，則.；；；故分布列為：X0123P【小問3詳解】不妨假設(shè)按照的順序拋這n枚游戲幣；記拋第枚游戲幣后，正面朝上的游戲幣個數(shù)為奇數(shù)的概率為；于是；即，即.記，則，故數(shù)列bn為首項是，公差為的等差數(shù)列；故，則，故，則，因此公平.18已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程以及離心率；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，過點作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否過定點，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）橢圓方程為，離心率為（2）定點為，證明見解析【解析】【分析】（1）代入聯(lián)立方程，解方程可得，，進而得到橢圓方程；即可由離心率公式求解（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，運用韋達定理，令，代入化簡可得，即可得直線恒過定點；【小問1詳解】將代入橢圓方程可得且，解得，故，故橢圓方程為，離心率為【小問2詳解】聯(lián)立與橢圓方程，消去可得，設(shè),，,，可得，，則的方程為，又，令，則故直線經(jīng)過定點．19.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個不同的根．（i）求的取值范圍；（ii）證明：．【答案】（1）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及其零點，分區(qū)間分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間；（2）方程可化為，結(jié)合（1）確定函數(shù)的性質(zhì)，由條件確定的取值范圍；（3）設(shè)，由（i），由已知，法一：先證明時結(jié)論成立，構(gòu)造函數(shù)，，并證明，由此可得，結(jié)合的單調(diào)性證明，再結(jié)合基本不等式證明當(dāng)時，結(jié)論成立；法二：構(gòu)造函數(shù)，證明當(dāng)時，hx<0，由此可證，結(jié)合的單調(diào)性證明，再結(jié)合基本不等式證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，x∈0,+∞，則，由，解得．當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由，得，設(shè)，由（1）得在區(qū)間0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，gx>0，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故的取值范圍是0,1．