青海省西寧市海湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次階段測(cè)試試題

PAGEPAGE13青海省西寧市海湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次階段測(cè)試試題時(shí)間：120分鐘命題：審核：選擇題（本大題共12小題，每小題6分，共60分）1、直線傾斜角為（）A.1500B.1200C.600D.300一個(gè)長(zhǎng)方體由同一頂點(diǎn)動(dòng)身的三條棱的長(zhǎng)度分別為2，2，3，則其外接球的表面積為()A.68πB.17πC.28πD.7π過點(diǎn)A(1，2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.4B.5C.6D.7已知直線m，n和平面α，β，有如下四個(gè)命題：①若m⊥α，m∥β則α⊥β；

②若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β；

③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β；

④若m⊥α，m⊥n，則n∥α．

其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4假如AB＜0，且BC＜0，那么直線Ax+By+C=0不通過()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限設(shè)直線l1：2x-my-1=0，l2：(m-1)x-y+1=0．若l1∥l2，則m的值為()A.2B.-1C.2或-1D.1或-28、SKIPIF1<0如圖長(zhǎng)方體中，AB=AD=2SKIPIF1<0，CC1=SKIPIF1<0，則二面角C1—BD—C的大小為（）A．30°AABCDA1B1C1D1B．45°C．60° D．90° 直線ax+y+1=0與連接A（2，3）、B（﹣3，2）的線段相交，則a的取值范圍是（）A.[﹣1，2]B.[2，+∞)∪(﹣∞，﹣1]

C.[﹣2，1]D.(﹣∞，﹣2]∪[1，+∞)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2且過原點(diǎn)的圓的方程可以是()A.(x-1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2QUOTEx+12+y+22C.(x-1)2+(y+1)2=4D.(x-2)2+y2=4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()

A.16B.13?C.2如圖是一個(gè)正方體的平面綻開圖，則在這個(gè)正方體中，MN與PQ所成的角為（）A.00B.600C.900D.1200填空題（本大題共小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。）13、左圖所示的直觀圖，其原來平面圖形的面積是14、已知直線l1：x+my+6＝0，l2：x+(m﹣2)y+2m＝0垂直，則m＝_______．15.下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出SKIPIF1<0的圖形的序號(hào)是.16、正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為_____________三、解答題（本大題共小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）17、（10分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．(按圖提示畫協(xié)助線)（1）求證：EF∥平面DBB1D1；（5分）（2）求證：平面A1BD∥平面CB1D1；（5分）18、（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，3)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-3y+2=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x+3y-9=0．求：(1)直線AC的方程；（5分）(2)△ABC的面積．（7分）(第19題)19、（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90(第19題)(1)求證：PC⊥BC；（6分）(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．（6分）20、（12分）

(1)已知直線l經(jīng)過直線2x+y+5=0與x-2y=0的交點(diǎn)，圓C1：x2+y2-2x-2y-4=0與圓C2：x2+y2+6x+2y-6=0相較于A、B兩點(diǎn)；若直線l與直線AB垂直，求直線l方程．（6分）

(2)已知圓O：x2+y2=1與圓O＇關(guān)于直線x+y=5對(duì)稱，求圓O＇的方程；（6分）21、（12分）一艘船在航行過程中發(fā)覺前方的河道上有一座圓拱橋．在正常水位時(shí)，拱橋最高點(diǎn)距水面8m，拱橋內(nèi)水面寬32m，船只在水面以上部分高6.5m，船頂部寬8m，故通行無阻，如圖所示．

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求正常水位時(shí)圓弧所在的圓的方程；（6分）(2)近日水位暴漲了2m，船已經(jīng)不能通過橋洞了．船員必需加重船載，降低船身在水面以上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？(精確到0.1m，6≈2.45)（622、（12分）如圖(1)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，將△ADC沿DC折疊得到三棱錐A1﹣BCD，如圖(2)，其中∠A1DB＝60°，點(diǎn)M，N，G分別為A1C，BC，A1(1)求證：MN⊥平面DCG；（6分）(2)求三棱錐G﹣A1DC的體積．（6分）

海湖中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)考測(cè)試題（答案）每小題5分，共60分）．一．單選題（共12小題,共60分）1、【正確答案】A2、【正確答案】B

【答案解析】長(zhǎng)方體的外接球直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，

由題意，體對(duì)角線長(zhǎng)為：，

外接球的半徑，

，

故選：B．3、【正確答案】B

【答案解析】依據(jù)題意得，當(dāng)與直線OA垂直時(shí)距離最大，

因直線OA的斜率為2，所以所求直線斜率為，

所以由點(diǎn)斜式方程得：，

化簡(jiǎn)得：x+2y-5=0，

故選：B．4、【正確答案】A

【答案解析】如圖示：

半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，可得該圓的圓心軌跡為(3，4)為圓心，1為半徑的圓，

故當(dāng)圓心到原點(diǎn)的距離的最小時(shí)，

連結(jié)OB，A在OB上且AB＝1，此時(shí)距離最小，

由OB＝5，得OA＝4，即圓心到原點(diǎn)的距離的最小值是4，

故選：A．5、【正確答案】C

【答案解析】已知直線m，n和平面α，β，γ，有如下四個(gè)命題：

①若m⊥α，m∥β，則在β內(nèi)，作n∥m，所以n⊥α，由于n?α，則α⊥β，故正確；

②若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，由于n?β，則α⊥β；故正確．

③若n⊥α，n⊥β，所以α∥β，由于m⊥α，則m⊥β；故正確．

④若m⊥α，m⊥n，則n∥α也可能n?α內(nèi)，故錯(cuò)誤．

故選：C．6、【正確答案】D

【答案解析】∵直線Ax+By+C=0可化為，又AB＜0，BC＜0

∴AB＞0，∴，，

∴直線過一、二、三象限，不過第四象限．

故選：D．7、【正確答案】A

【答案解析】解：∵直線l1：2x-my-1=0，l2：(m-1)x-y+1=0，且l1∥l2，

∴2×(-1)-(-m)(m-1)=0，解得m=-1或m=2，

閱歷證當(dāng)m=-1時(shí)兩直線重合，應(yīng)舍去8、【正確答案】A9、【正確答案】D【答案解析】由直線ax+y+1=0的方程，推斷恒過P（0，﹣1），

如下圖示：

.

∵KPA=﹣1，KPB=2，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-a≤﹣1或-a≥2．

故選：D．10、【正確答案】D

【答案解析】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由于圓的半徑為2，故解除A、B；

再把原點(diǎn)(0，0)代入，只有D滿意，C不滿意，

故選：D．11、【正確答案】B

【答案解析】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)三棱錐，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．

∴．

因此．

故選：B．

12、【正確答案】B

【答案解析】正方體的平面綻開圖還原成如下的正方體，

∵PQ∥GN，∴∠MNG是MN與PQ所成的角，

∵NG=MN=MG，∴∠MNG=60°．

∴在這個(gè)正方體中，MN與PQ所成的角為60°．

故選：B．

二．填空題（共5小題,共20分）

13._____4____．14._____1____．15．(1)(4)．16．____________________．三．解答題（共6小題,共60分）17．證明：(1)連接FO，∵四邊形ABCD為正方形，∴O為AC的中點(diǎn)．∵F是D1C的中點(diǎn)，∴OF是△D1B1C的中位線．∴FO∥BE．OF=BE四邊形OFEB是平行四邊形∵EF平面BDD1B1，PA平面BDE，∴PA∥平面BDD1B118、已知△ABC的頂點(diǎn)A(1，3)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-3y+2=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x+3y-9=0．求：（10分）(1)直線BC的方程；（8分）【正確答案】解：設(shè)AC邊所在直線方程為3x-2y+c=0，

依題意得3×1-2×3+c=0即c=3，即AC邊所在直線方程為3x-2y+3=0【答案解析】先求直線AC的方程，然后求出C的坐標(biāo)；設(shè)出B的坐標(biāo)，求出M代入直線方程為2x-3y+2=0，與直線為2x+3y-9=0．聯(lián)立求出B的坐標(biāo)然后可得直線BC的方程．(2)△ABC的面積．【正確答案】

解：，

點(diǎn)A到直線BC的距離

解：，

點(diǎn)A到直線BC的距離

【答案解析】求出|BC|，點(diǎn)A到直線BC的距離，即可求出△ABC的面積．19．(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．(第19題)由∠BCD＝90°，得CD⊥(第19題)又PD∩DC＝D，PD，DC平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵PC平面PCD，故PC⊥BC．(2)解：(方法一)分別取AB，PC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連DE，DF，則易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D，E到平面PBC的距離相等．又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于點(diǎn)E到平面PBC的距離的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面PBC于F．易知DF＝，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于．(方法二)：連接AC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h．∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱錐P-ABC的體積(第19題)V＝S△ABC·PD＝．(第19題)∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面積S△PBC＝．∵VA-PBC＝VP-ABC，∴S△PBC·h＝V＝，得h＝．故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于．20、（1）解：圓C1：x2+y2-2x-4y-4=0，即(x-1)2+(y-2)2=9，

故圓心坐標(biāo)為：C1(1，2)

圓C2：x2+y2+6x+2y-6=0即(x+3)2+(y+1)2=16，

故圓心坐標(biāo)為：C2(-3，-1)

直線C1C2與AB垂直，所以直線l與C1C2平行，可知：l的斜率為

由題意：

解得：

∴直線l的方程為：

即：3x-4y-2=0．

（2）圓O：x2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(0，0)

所以：點(diǎn)(0，0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為(a，b)，則：，

解得：a=b=5，

所以圓O＇的方程是：(x﹣5)2+(y﹣5)2=1

故答案為：(x﹣5)2+(y﹣5)2=121、一艘船在航行過程中發(fā)覺前方的河道上有一座圓拱橋．在正常水位時(shí)，拱橋最高點(diǎn)距水面8m，拱橋內(nèi)水面寬32m，船只在水面以上部分高6.5m，船頂部寬8m，故通行無阻，如圖所示．

（10分）(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求正常水位時(shí)圓弧所在的圓的方程；（5分）【正確答案】

解：在正常水位時(shí)，設(shè)水面與橋橫截面的交線為x軸，

過拱橋最高點(diǎn)且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-16，0)，(16，0)，(0，8)．

又圓心C在y軸上，故可設(shè)C(0，b)．

因?yàn)閨CD|=|CB|，所以，解得b=-12．

所以圓拱所在圓的方程為：x2+(y+12)2=(8+12)2=202=400【答案解析】在正常水位時(shí)，設(shè)水面與橋橫截面的交線為x軸，過拱橋最高點(diǎn)且與水面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系，利用|CD|=|CB|，確定圓的方程(2)近日水位暴漲了2m，船已經(jīng)不能通過橋洞了．船員必需加重船載，降低船身在水面以上的高度，試問：船身至少降低多少米才能通過橋洞？(精確到0.1m，6≈【正確答案】

解：當(dāng)x=4時(shí)，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時(shí)的水面約7.60m，

距漲水后的水面約5.6m，因?yàn)榇?.5m，頂寬8m，

所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m)以上，船才能順當(dāng)通過橋洞．

解：當(dāng)x=4時(shí)，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時(shí)的水面約7.60m，

距漲水后的水面約5.6m，因?yàn)榇?.5m，頂寬8m，

所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m)以上，船才能順當(dāng)通過橋洞．

【答案解析】令x=4時(shí)，求得y≈7.6，即橋拱寬為8m的地方距正常水位時(shí)的水面約7.60m，即可求得通過橋洞，船身至少應(yīng)當(dāng)降低多少．

本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程的運(yùn)用，正確建立坐標(biāo)系是