2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)24等差數(shù)列的概念等差數(shù)列的通項(xiàng)公式含解析蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE4等差數(shù)列的概念等差數(shù)列的通項(xiàng)公式[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2(n＋1)＋3，則此數(shù)列()A．是公差為2的等差數(shù)列B．是公差為3的等差數(shù)列C．是公差為5的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列解析：選Aan＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差為2的等差數(shù)列．2．(多選)已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)，則公差d＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．2解析：選AB依據(jù)題意知，a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)?a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，則4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝eq\f(1,2)或d＝0.3．一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選C∵b是x，2x的等差中項(xiàng)，∴b＝eq\f(x＋2x,2)＝eq\f(3x,2)，又∵x是a，b的等差中項(xiàng)，∴2x＝a＋b，∴a＝eq\f(x,2)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).4．《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金棰，長(zhǎng)五尺．?dāng)乇疽怀?，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．?wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問(wèn)各尺依次重多少？”按這一問(wèn)題的題設(shè)，假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端起先的其次尺的質(zhì)量是()A.eq\f(7,3)斤 B.eq\f(7,2)斤C.eq\f(5,2)斤 D.3斤解析：選B依題意，金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1＝4，則a5＝2，設(shè)公差為d，則2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).5．等差數(shù)列20，17，14，11，…中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是()A．第7項(xiàng) B．第8項(xiàng)C．第9項(xiàng) D．第10項(xiàng)解析：選B∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.故數(shù)列中第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第8項(xiàng)．6．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a1＝________，a6＝________．解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7，,a1＋4d＝a1＋d＋6.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.))∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.答案：3137．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為_(kāi)_______．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.答案：58．現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_______升．解析：設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).答案：eq\f(67,66)9．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1,a＋c)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列．證明：由已知得eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,a＋b)＝eq\f(2,a＋c)，通分有eq\f(2b＋a＋c,（b＋c）（a＋b）)＝eq\f(2,a＋c).進(jìn)一步變形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)·(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，所以a2，b2，c2成等差數(shù)列．10．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)問(wèn)112是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)？(3)在80到110之間有多少項(xiàng)？解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝8，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是數(shù)列{an}的第39項(xiàng)．(3)由80<3n－5<110，解得28eq\f(1,3)<n<38eq\f(1,3)，所以n的取值為29，30，…，38，共10項(xiàng)．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c成等差數(shù)列解析：選AC∵a，b，c為等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴2·(2b)＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差數(shù)列，故A正確．∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列，故C正確．12．(多選)假如a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，且公差d≠0，則()A．a(chǎn)3a6>a4a5 B．a(chǎn)3a6<a4a5C．a(chǎn)3＋a6＝a4＋a5 D．a(chǎn)3a6＝a4a5解析：選BC由通項(xiàng)公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝aeq\o\al(2,1)＋7a1d＋12d2，明顯a3a6－a4a5＝－2d2<0，故選B、C.13．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5，8，11，…與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝________；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是________．解析：由于數(shù)列{an}和{bn}都是等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(11≤12n－1≤302，,11≤12n－1≤399，))解得1≤n≤25.25，故{cn}的項(xiàng)數(shù)為25.答案：12n－12514．已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．解：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)(常數(shù))．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．[C級(jí)拓展探究]15．已知數(shù)列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a10，a11，…，a20是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列；a20，a21，…，a30是公差為d2的等差數(shù)列．(1)若a20＝40，求d;(2)試寫(xiě)出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；(3)續(xù)寫(xiě)已知數(shù)列，使得a30，a31，…，a40是公差為d3的等差數(shù)列．以此類(lèi)推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列．解：(1)依題意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3.(2)a30＝a20＋10d2＝10(1＋d＋d2)(d≠0)，故a30＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs