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§3定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.1平面圖形的面積3.2簡(jiǎn)單幾何體的體積課時(shí)目標(biāo)進(jìn)一步理解定積分的概念和性質(zhì),能用定積分求簡(jiǎn)單的平面曲線(xiàn)圍成圖形的面積;了解定積分在旋轉(zhuǎn)體體積方面的應(yīng)用.1.平面圖形的面積表示一般地,設(shè)由曲線(xiàn)y=f(x),y=g(x)以及直線(xiàn)x=a,x=b所圍成的平面圖形的面積為S,則________________________.2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體可以看作由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x),直線(xiàn)x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積為V=?eq\o\al(b,a)π[f(x)]2dx.一、選擇題1.將由y=cosx,x=0,x=π,y=0所圍圖形的面積寫(xiě)成定積分形式為()A.?eq\o\al(π,0)cosxdx B.?eq\f(π,2)0cosxdx+|?πeq\f(π,2)cosxdx|C.?eq\o\al(π,0)2sinxdx D.?eq\o\al(π,0)2|cosx|dx2.由直線(xiàn)x=eq\f(1,2),x=2,曲線(xiàn)y=eq\f(1,x)及x軸所圍圖形的面積為()A.eq\f(15,4) B.eq\f(17,4) C.eq\f(1,2)ln2 D.2ln23.由曲線(xiàn)y=x3、直線(xiàn)x=-2、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積是()A.?eq\o\al(2,-2)x3dx B.|?eq\o\al(2,-2)x3dx|C.?eq\o\al(2,-2)|x3|dx D.?eq\o\al(2,0)x3dx+?eq\o\al(0,-2)x3dx4.由曲線(xiàn)y=x2-1、直線(xiàn)x=0、x=2和x軸圍成的封閉圖形的面積是()A.?eq\o\al(2,0)(x2-1)dxB.|?eq\o\al(2,0)(x2-1)dx|C.?eq\o\al(2,0)|x2-1|dxD.?eq\o\al(1,0)(x2-1)dx+?eq\o\al(2,1)(x2-1)dx5.由y=x2,x=0和y=1所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積可以表示為()A.V=π?eq\o\al(1,0)(eq\r(y))2dy=eq\f(π,2)B.V=π?eq\o\al(1,0)[12-(x2)2]dx=eq\f(4,5)πC.V=π?eq\o\al(1,0)(x2)2dy=eq\f(π,5)D.V=π?eq\o\al(1,0)(12-x2)dx=eq\f(4,5)π6.由y=e-x,x=0,x=1圍成的平面區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為()A.eq\f(π,2)(1-e-2) B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)(1-e) D.eq\f(π,2)e-2二、填空題7.由曲線(xiàn)y=x2+4與直線(xiàn)y=5x,x=0,x=4所圍成平面圖形的面積是________.8.直線(xiàn)x=k平分由y=x2,y=0,x=1所圍圖形的面積,則k的值為_(kāi)_______.9.曲線(xiàn)y=eq\f(2,x),直線(xiàn)x=2,x=3與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是________.三、解答題10.計(jì)算曲線(xiàn)y=x2-2x+3與直線(xiàn)y=x+3所圍成的圖形的面積.11.求由曲線(xiàn)y=4x-x2和直線(xiàn)y=x所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.能力提升12.由曲線(xiàn)y=x2,y=x3圍成的封閉圖形面積為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,12)13.在曲線(xiàn)y=x2(x≥0)上的某點(diǎn)A處作一切線(xiàn)使之與曲線(xiàn)以及x軸所圍圖形的面積為eq\f(1,12).求切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線(xiàn)方程.1.明確利用定積分求平面圖形面積的步驟,會(huì)將曲線(xiàn)圍成的曲邊梯形的面積表示成定積分的形式,并能求出面積.求解時(shí)一般先畫(huà)出草圖,確定積分變量,求交點(diǎn)確定積分上、下限,再利用定積分求得面積.特別地要注意,當(dāng)所圍成的圖形在x軸下方時(shí),求面積需對(duì)積分取絕對(duì)值.2.對(duì)求體積的有關(guān)問(wèn)題,要結(jié)合函數(shù)的形式寫(xiě)清對(duì)應(yīng)的定積分,然后求出所對(duì)應(yīng)的體積.答案知識(shí)梳理1.S=?eq\o\al(b,a)f(x)dx-?eq\o\al(b,a)g(x)dx作業(yè)設(shè)計(jì)1.B[定積分可正,可負(fù),但不論圖形在x軸上方還是在x軸下方面積都是正數(shù),故選B.]2.D[所求面積?2eq\f(1,2)eq\f(1,x)dx=lnx|2eq\f(1,2)=ln2-lneq\f(1,2)=2ln2.]3.C4.C5.B6.A[V=π?eq\o\al(1,0)(e-x)2dx=π?eq\o\al(1,0)e-2xdx=-eq\f(π,2)e-2x|eq\o\al(1,0)=eq\f(π,2)(1-e-2).]7.eq\f(19,3)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x2+4,y=5x)),得x=1或x=4.所求面積為S=?eq\o\al(1,0)(x2+4-5x)dx+?eq\o\al(4,1)(5x-x2-4)dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3+4x-\f(5,2)x2))|eq\o\al(1,0)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)x2-\f(1,3)x3-4x))|eq\o\al(4,1)=eq\f(19,3).8.eq\f(\r(3,4),2)解析作平面圖形,如右圖所示.由題意,得?eq\o\al(k,0)x2dx=eq\f(1,2)?eq\o\al(1,0)x2dx即eq\f(1,3)x3|eq\o\al(k,0)=eq\f(1,6)x3|eq\o\al(1,0).∴eq\f(1,3)k3=eq\f(1,6),k=eq\f(\r(3,4),2).9.eq\f(2,3)π解析V=?eq\o\al(3,2)π·(eq\f(2,x))2dx=eq\f(-4π,x)|eq\o\al(3,2)=eq\f(2,3)π.10.解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=x+3,,y=x2-2x+3,))解得x=0或x=3.∴S=?eq\o\al(3,0)(x+3)dx-?eq\o\al(3,0)(x2-2x+3)dx=?eq\o\al(3,0)[(x+3)-(x2-2x+3)]dx=?eq\o\al(3,0)(-x2+3x)dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3)x3+\f(3,2)x2))|eq\o\al(3,0)=eq\f(9,2).∴所圍成的圖形的面積為eq\f(9,2).11.解由y=4x-x2得頂點(diǎn)P(2,4),聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=4x-x2,y=x)),得交點(diǎn)Q(3,3),O(0,0).如圖所示又由上圖知V=π·?eq\o\al(3,0)y2dy+π?eq\o\al(4,3)(2+eq\r(4-y))2dy-π?eq\o\al(4,0)(2-eq\r(4-y))2dy=π·eq\f(1,3)y3|eq\o\al(3,0)+πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y-\f(8,3)4-y\f(3,2)+4y-\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,3)-πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4y+\f(8,3)4-y\f(3,2)+4y-\f(1,2)y2))|eq\o\al(4,0)=πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,3)+4+\f(28,3)+4-\f(7,2)-16+\f(16,2)))=eq\f(27,2)π.12.A[由題可知y=x2,y=x3圍成的封閉圖形的面積為?eq\o\al(1,0)(x2-x3)dx=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3-\f(1,4)x4))|eq\o\al(1,0)=eq\f(1,3)-eq\f(1,4)=eq\f(1,12).]13.解由題意可設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,xeq\o\al(2,0)),則切線(xiàn)方程為y=2x0x-xeq\o\al(2,0),可得切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2),0)).畫(huà)出草圖,可得曲線(xiàn)y=x2,直線(xiàn)y=2x0x-xeq\o\al(2,0)與x軸所圍圖形如圖所示.故S=S1+S2=?eq\f(x0,2)0x2dx+eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0\f(x0,2
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