專(zhuān)題13.9三角形中的邊角關(guān)系命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）（原卷版）

專(zhuān)題13.9三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用三角形的中線(xiàn)求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線(xiàn)段的最值或取值范圍】 2【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】 3【題型4與角平分線(xiàn)有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 4【題型5與平行線(xiàn)有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 6【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】 8【題型7坐標(biāo)系中的角度探究問(wèn)題】 10【題型8有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問(wèn)題】 12【題型1利用三角形的中線(xiàn)求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【變式11】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【變式12】（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C為直線(xiàn)AB外一動(dòng)點(diǎn)，AB=6，連接CA、CB，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，連接AE、CD交于點(diǎn)F，當(dāng)四邊形

【變式13】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線(xiàn)，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線(xiàn)的定義可知BD=CD．又因?yàn)楦逜E相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上．①若AD是△ABC的中線(xiàn)，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形ABCD的各邊，使得點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【題型2利用三角形的三邊關(guān)系求線(xiàn)段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點(diǎn)M在OB上，且OM=6，點(diǎn)M到射線(xiàn)OA的距離為a，點(diǎn)P在射線(xiàn)OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【變式21】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長(zhǎng)度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長(zhǎng)度最大值是【變式22】（2023秋·安徽·八年級(jí)期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式23】（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）設(shè)a,b,c表示一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿(mǎn)足此條件的三角形共有個(gè)．【題型3利用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)或證明】【例3】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知點(diǎn)O為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn).證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個(gè)城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內(nèi)建造供水站O向三個(gè)城鎮(zhèn)按如圖路線(xiàn)供水，則所需供水管長(zhǎng)度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？【變式31】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式32】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關(guān)系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關(guān)系；(3)如圖2，點(diǎn)D，E是△ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關(guān)系．【變式33】（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，現(xiàn)在要建立一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說(shuō)明理由【題型4與角平分線(xiàn)有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)太倉(cāng)市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_(kāi)________；(2)若∠A=α，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交線(xiàn)段BC,AC于點(diǎn)M,N，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)MN，與線(xiàn)段AC交于點(diǎn)N，與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠NDC與∠MDB的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）．【變式41】（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谥校?）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問(wèn)∠P與∠【變式42】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點(diǎn)A，B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線(xiàn)，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線(xiàn)，BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠OAB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，延長(zhǎng)MO至Q，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線(xiàn)與∠BOQ的平分線(xiàn)及其延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．【變式43】（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線(xiàn)，BC的反方向延長(zhǎng)線(xiàn)與∠BAO的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【題型5與平行線(xiàn)有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例5】（2023春·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線(xiàn)與∠CNP的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題拓展：如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O，M，D三點(diǎn)不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【變式51】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，作∠BPM=50°，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)F是直線(xiàn)CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PE⊥CD于點(diǎn)E，PN平分∠MPF．

(1)若點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)且∠PFM=32°，求∠NPE的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段EM（不與點(diǎn)M，E重合）上時(shí)，設(shè)∠PFM=α°，直接寫(xiě)出∠NPE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將射線(xiàn)PF從（1）中的位置開(kāi)始以每秒10°的速度繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至PM的位置，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△FPM為直角三角形．【變式52】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點(diǎn)O在直線(xiàn)CD上，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE//PQ交PB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，作∠DEP的平分線(xiàn)EF交PD于點(diǎn)F，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形，猜想EF與PD的位置關(guān)系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線(xiàn)EF交PD于點(diǎn)F”改為“作射線(xiàn)EF將∠DEP分為1:3兩個(gè)部分，交PD于點(diǎn)F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【變式53】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？计谥校┮阎狹N∥PQ，點(diǎn)D是直線(xiàn)(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點(diǎn)A固定在直線(xiàn)MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點(diǎn)B恰好落在射線(xiàn)DE上，此時(shí)，∠PDE=20°，求∠ABD的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線(xiàn)DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到與DQ重合時(shí)停止，三角板按圖1擺放不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE與三角板的一邊平行時(shí)，求t的值；(3)若將射線(xiàn)DE從圖1的位置開(kāi)始以每秒2度的速度繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，將三角板ABC也從圖1的位置開(kāi)始以每秒4度的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MAC的角平分線(xiàn)AH與∠PDE的角平分線(xiàn)DF交于點(diǎn)O．①如圖2，當(dāng)DF∥BC時(shí)，②如圖3，當(dāng)DF∥BA時(shí)，【題型6與折疊有關(guān)的三角形角的計(jì)算問(wèn)題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一定點(diǎn)，在邊AD上取點(diǎn)F，沿著EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，在邊BC上取一點(diǎn)G，沿EG折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B落在直線(xiàn)A′E上時(shí)，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)∠A′EB′=13∠B′EB時(shí)，設(shè)∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時(shí)∠FEG的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式61】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點(diǎn)A和點(diǎn)A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片沿著B(niǎo)C和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如果∠IBD=58°17′，求【變式62】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC′=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC′(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC′=42°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC′的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請(qǐng)求出∠C與【變式63】（2023春·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點(diǎn)A落A′的位置，折痕為DE(1)當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部A′的位置且A′與點(diǎn)C在直線(xiàn)①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1?∠2的度數(shù)；②如圖2，請(qǐng)寫(xiě)出∠1、∠2和∠A的關(guān)系并證明；如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點(diǎn)E是AB邊上的固定點(diǎn)（AE<12AB），請(qǐng)?jiān)贏C上找一點(diǎn)D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點(diǎn)A落在A′處，使A′【題型7坐標(biāo)系中的角度探究問(wèn)題】【例7】（2019春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中A(a,0)，C(0,c)且滿(mǎn)足(a+6)2+c+3=0，長(zhǎng)方形（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)（不超過(guò)點(diǎn)O），點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向下運(yùn)動(dòng)（不超過(guò)點(diǎn)C），設(shè)M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在它們運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MBNO的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍．（3）如圖2，E為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且∠CBE=∠CEB，F(xiàn)是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，∠ECF的平分線(xiàn)CD交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螩FE與∠D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【變式71】（2023春·重慶彭水·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是a,0，B的坐標(biāo)是0，b，其中a、b滿(mǎn)足a?12+b?3=0，將點(diǎn)B向左平移mm>0個(gè)單位到點(diǎn)C，連接AC

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．(2)如圖1，若S△ABC>4(3)如圖2，若m>1，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E（不與點(diǎn)A重合），射線(xiàn)CF交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G，交射線(xiàn)BE于點(diǎn)M，求∠CGA，【變式72】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線(xiàn)MN∥PQ，點(diǎn)A在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)B、C為平面內(nèi)兩點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B在直線(xiàn)MN上，點(diǎn)C在直線(xiàn)MN上方時(shí)，延長(zhǎng)CB交直線(xiàn)PQ于點(diǎn)D，則∠CAB和∠CDP之間的數(shù)量關(guān)系是___________．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線(xiàn)MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線(xiàn)MN與PQ之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交直線(xiàn)PQ于點(diǎn)D．為探究∠ABC與∠BDP之間的數(shù)量關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)B作BF∥MN．請(qǐng)根據(jù)他的思路，寫(xiě)出∠ABC與∠BDP的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作∠ABD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠AEB=2∠ABC時(shí)，直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù)．(4)如圖4，當(dāng)點(diǎn)C在直線(xiàn)MN上且在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)B在直線(xiàn)PQ下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB交直線(xiàn)PQ于點(diǎn)D．作∠ABD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)MN于點(diǎn)E，當(dāng)∠BDP=2∠BEN時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)充圖形并直接寫(xiě)出∠ABC的度數(shù)．【變式73】（2023春·四川自貢·七年級(jí)校考期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，已知Aa,0，Bb,3，C2,0，且滿(mǎn)足a+3

(1)填空：a=______，b=______；(2)如圖1，在x軸上是否存在點(diǎn)P（P點(diǎn)不與點(diǎn)A、O、C重合），使得△ABP的面積與△ABC的面積相等？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn)，ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，AM交y軸于點(diǎn)P，求【題型8有關(guān)三角形角度的多結(jié)論問(wèn)題】【例8】（2023春·福建福州·七年級(jí)