2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.已知函數(shù)/(%)=2/—3%—5,則/(%)的零點(diǎn)為().

A.1和—|B.—1和|C.(—1,0)和(*0)D.(-*0)和(1,0)

2.已知函數(shù)/(久)=匕：]>0則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

3.某同學(xué)用二分法求函數(shù)/(%)=2久+3%-7的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=—0.05.下列說(shuō)法正確的是().

A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值B.1.375是滿足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值D.1.25是滿足精度為0.1的近似值

4.函數(shù)/(無(wú))=：一In%的零點(diǎn)所在的區(qū)間為().

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

X3

5.已知函數(shù)/(久)=2+x,g(x)=log2x+x,九(久)=%+%的零點(diǎn)分別為a,b,c,

則().

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

6.已知函數(shù)/'(%)=In—2|+/,g(%)=4%,則兩個(gè)函數(shù)圖象所有交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)之和為().

A.0B.2C.3D.4

7.[2024?濟(jì)南模擬]已知函數(shù)/(%)=WDJo。'若函數(shù)。(%)=/(%)-匕有

四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為().

A.(0,1]B.[0,1]C.(0,1)D.(1,+8)

8.若關(guān)于%的不等式％2-4尤一2-Q>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)Q的取值范

圍是().

A.(—8,2)B.(—co,—2)C.(—6,+oo)D.(—8,-6)

綜合提升練

9.(多選題)已知當(dāng)%>0時(shí),%>log2%,則關(guān)于函數(shù)/(%)=f,0；、「下列

說(shuō)法正確的是().

A.方程/(%)=%的解只有一個(gè)

B.方程/(/(%))=1的解有五個(gè)

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五個(gè)

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五個(gè)

10.(多選題)已知函數(shù)/(久)-ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(%)-\nx+x-2的

零點(diǎn)為5,則下列不等式成立的是().

A.ea+In6>2B.ea+Inb=2C.a+b=2D.ab>1

——Y+1Y<C2

2'一’與函數(shù)g(%)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(/(%—2),x>2

圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

(2x+2

12.已知函數(shù)/(%)=F'X-'則函數(shù)F(x)=/(/(%))-2/(%)

2

IIlog2(x-l)\,x>l,

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

應(yīng)用情境練

13.(雙空題)設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)镽,且滿足/(1+x)=/(1—%),

2023

/(%-2)+/(-%)-0,當(dāng)xe時(shí),/(%)=-|x|+1,則力/(k)=

k=l

,函數(shù)y=/(%)-1gI久I有個(gè)零點(diǎn).

14.已知函數(shù)f(%)的定義域?yàn)?0,12],恒有八%+4)=4/(%),當(dāng)％6(0,4]時(shí),

fix)=[2丫-2—2].若函數(shù)或久)=[/(%)]2+t"(%)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范

圍為_(kāi)_______

創(chuàng)新拓展練

15.已知函數(shù)/(無(wú))=P若方程/(%)=上有4個(gè)不同的根

%1，%2，%3，%4，且％1<%2<%3<久4,則自？一％式%1+%2)的取值范圍是

16.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它

可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講：對(duì)于滿足一定條

件的連續(xù)函數(shù)/(%),存在實(shí)數(shù)沏，使得/(&)=&，我們就稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)

函數(shù)”，實(shí)數(shù)&為該函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”.

(1)求函數(shù)/(久)=2%+(—2的“不動(dòng)點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)/(%)=a"+b%+i(a>0)有兩個(gè)"不動(dòng)點(diǎn)"%],如且%|<2,

|%2=2,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.已知函數(shù)/(%)=2/一3%一5,則/(%)的零點(diǎn)為(B).

A.1和一3B.—1和|C.(―1,0)和(j,0)D.(-*0)和(1,0)

［解析］對(duì)于函數(shù)f(工)=2x2—3%—5,令/(%)=0,即2/—3%—5=0,解得％=

一1或％=所以/(%)的零點(diǎn)為一1和3故選B.

2.已知函數(shù)/(久)0；：；；>0則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(D).

A.0B.1C.2D.3

［解析］當(dāng)％<0時(shí)，令/(%)=2X-1=0,可得％=0；

當(dāng)汽>0時(shí)，令/—3%+1=0,可得x=3+—或％=3寸.

22

綜上所述，函數(shù)/(%)的零點(diǎn)為0,警，1，共3個(gè).故選D.

3.某同學(xué)用二分法求函數(shù)/(久)=2x+3x-7的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：

/(1.5)=0.33/(1.25)=-0.87/(1.375)=—0.28/(1.4375)=

0.02,/(1.4065)=-0.13/(1.422)=-0.05.下列說(shuō)法正確的是(B).

A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值B.1.375是滿足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值D.1.25是滿足精度為0.1的近似值

［解析］/(1.4375)=0,02>0,/(1.4065)=-0.13<0,又1.4375-1.4065=

0.031>0.01,A錯(cuò)誤;

???/(1.375)=-0.28<0/(1.4375)=0.02<0,又1.4375-1.375=0.062<

0.1,.-.B正確,D錯(cuò)誤；

/(1.422)=-0.05<0/(1.4375)=0.02>0J1,4375-1.422|=0.0155>

0.01,C錯(cuò)誤.故選B.

4.函數(shù)/(%)=|—111%的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(C).

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

［解析］依題意，函數(shù)/(%)=：-In久的定義域?yàn)?0,+8),而y=：在(0,+8)上單

調(diào)遞減，y=—In%在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.因?yàn)?/p>

33

3p2o3p2

e3>4,所以>2,即萬(wàn)>1,所以/(2)=--In2=Ine2—In2=Iny>0,

/(3)=1—In3=Ine—In3=In1<Zn1=0,所以/(2)?f(3)<0,所以函數(shù)

/(%)=：一In%在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn).故選C.

已知函數(shù)/(%)X九(%)=%3+%的零點(diǎn)分別為

5.=2+x,g(x)=log2x+x,a,b,c,

則(B).

A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

x3

［解析］在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2,y=log2x,y=x,y=一汽的大致圖

象如圖所示.

由圖象知a<c<b.故選B.

6.已知函數(shù)/(汽)=In-2|+/,g(')=4%,則兩個(gè)函數(shù)圖象所有交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)之和為(D).

A.0B.2C.3D.4

［解析］函數(shù)/(%)=ln|x—2|+/與g(%)=4久的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，可

以轉(zhuǎn)化為方程ln|%—2|=4x—x2的所有實(shí)數(shù)根之和.

因?yàn)閥=ln|x—2|和丫=4'一/的圖象均關(guān)于直線％=2對(duì)稱(chēng)，且兩個(gè)圖象

有兩個(gè)交點(diǎn)，所以兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選D.

7.［2024?濟(jì)南模擬］已知函數(shù)/(無(wú))=9「00'若函數(shù)。(%)=/(%)-5有

四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(A).

A.(0,1］B.［0,1］C.(0,1)D.(l,+8)

［解析］依題意，作出y=/(%)的圖象與直線y=匕,如圖所示，

因?yàn)楹瘮?shù)g(%)=f(x)—匕有四個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程/(%)=b有四個(gè)不同

的解，所以函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=匕有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可

知實(shí)數(shù)b的取值范圍為(0,1］.故選A.

8.若關(guān)于％的不等式,一4%一2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是(B).

A.(—8,2)B.(—oo,—2)C.(—6,+oo)D.(―oo,—6)

［解析］不等式等價(jià)于存在％C(1,4),使a<x2-4%-2,即a<(，-4x-2)max，設(shè)

y=/一軌一2=(%—2)2—6,當(dāng)％G(1,4)時(shí)，yG［-6,—2),則a<-2.故選B.

綜合提升練

9.(多選題)已知當(dāng)%>0時(shí),％>1嗝%,則關(guān)于函數(shù)/(%)=f,0；、「下列

說(shuō)法正確的是(ACD).

A.方程/(%)=%的解只有一個(gè)

B.方程/(/(%))=1的解有五個(gè)

C.方程/(/(%))=t(0<t<1)的解有五個(gè)

D.方程/(/(%))=t(t>1)的解有五個(gè)

［解析］作出/(%)=優(yōu)建ho的圖象，如圖，

因?yàn)楫?dāng)汽>0時(shí)，x>log2%,所以y='與y=f(%)有唯一交點(diǎn),A正確；

、1、-1

令/(%)=則f(。=1nt=0或t=5或t=2n/(%)=0或f(x)=或

/(%)=2,易知f(x)=。時(shí)有1個(gè)解，/(%)=:時(shí)有3個(gè)解，/(%)=2時(shí)有2個(gè)

解，共6個(gè)解,B錯(cuò)誤；

令〃=/(%),則/(〃)=te(0,1)n%V0,u2G(0,1),%G(1,2)n/(xj<

0,f(x2)e(0,l)/(第3)G(1,2)n%160M有3個(gè)解,右有2個(gè)解，共有5個(gè)解,C正

確；

-1

令〃=/(%),則/Q)=tE(1,+oo)=>%e(0,-),u2E(2,+8),所以/(%i)e

(0,|),/(%2)e(2,+8),所以久1有3個(gè)解,%2有2個(gè)解，共有5個(gè)解,D正確.故選ACD.

10.(多選題)已知函數(shù)/(%)-ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)-\nx+x-2的

零點(diǎn)為b,則下列不等式成立的是(BC).

A.ea+Inb>2B.e。+Inb=2C.a+b—2D.ab>1

［解析］令/(%)=0，g(%)=0,則e"=2—%,\nx-2—x,在同一平面直角坐

標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=ex,y-Inx,y-2-%的大致圖象，如圖所示.

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=ex+x—2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=In%+x—2的零點(diǎn)為b,

所以a(a,ea),B(b,Inb),由［1］?〔久‘得『二)

因?yàn)楹瘮?shù)y=e久與y=In%互為反函數(shù)，

所以由反函數(shù)的性質(zhì)知力(a,ea),B(b/n6)關(guān)于點(diǎn)(LD對(duì)稱(chēng)，

則a+b=2,ea+Inb=2,所以ab4絲生-=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=h=l時(shí)，

4

等號(hào)成立.

所以A,D錯(cuò)誤，B,C正確.故選BC.

—工支+1%<2_

2'一’與函數(shù)g(x)=logaO+3)(a>0且aH1)的

(f(x-2),x>2

圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0.1)U(L5］.

［解析］當(dāng)％>2時(shí)，由/(%)=/(%—2),知此時(shí)/(%)的周期T=2.

當(dāng)％C(2,4］時(shí),％—2C(0,2］,f(久)—f(%—2)———(%—2)+1———%+2>

作出分段函數(shù)/(%)的部分圖象.當(dāng)0<a<1時(shí)，由圖1可知，0<a<1顯然成立;

當(dāng)a>l時(shí)，如圖2,則g(2)21,即loga5Nl,即1<aW5.

歐z)=log"(z+3)M

綜上所述，a的取值范圍為(0,1)U(1,5］.

r2*+2

12.已知函數(shù)/(%)='"一口則函數(shù)“%)=/(/(久))—

2

IIlog2(x-l)|,%>1,

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4.

［解析］令t=/(%)，則F(%)=0等價(jià)于/(t)=2t+|,

作出y=/(%)的圖象和直線y=2%+1，如圖所示.

由圖象可得函數(shù)y=/(久)的圖象與直線y=2%+m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)這

兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為“心,則

G=0,t2G(1,2).

當(dāng)/(%)=G時(shí)，％=2,有1個(gè)解；當(dāng)/(%)=七時(shí)，有3個(gè)解.

綜上所述，F(xiàn)(x)=0共有4個(gè)解，即函數(shù)F(x)有4個(gè)零點(diǎn).

應(yīng)用情境練

13.(雙空題)設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)镽,且滿足/(1+%)=/(1-％),

2023

/(X-2)+/(-%)=0,當(dāng)％e[—1,1]時(shí)，/(%)=-|x|+1,則E/(k)=T,函

k=l

數(shù)y=/(%)-ig團(tuán)有io個(gè)零點(diǎn).

[解析]由/(1+%)=/(1-%),知函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱(chēng)，且

/(-%)=/(2+%),

由/(久一2)+/(—%)=0,知函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對(duì)稱(chēng)，

且/(一%)=-/(%-2),

所以/(2+%)=—/(%—2),故/(4+%)=—/(%),

則/(%+8)=—/(%+4)=/(%),

故函數(shù)/(久)的周期為8.

當(dāng)％G[―1,1]時(shí),/(久)=-|x|+1,根據(jù)周期和對(duì)稱(chēng)性可作出/(久)的圖象，如

由圖可知，/⑴=0/(2)=1/⑶=0/(4)=-1,/(5)=0/(6)=

-1,/(7)=0/(8)=1,得/⑴+/(2)+-??+/(8)=0,

2023

所以￡f也)=252x0+[/(I)+f(2)+…+/⑺]=-1.

k=l

由y=1g|%|在(一8,0)上單調(diào)遞減,且lg|-10|=l,lg|-l|=0;在(0,+8)上單

調(diào)遞增，且lg|10|==0.結(jié)合圖象,得y=/(%)和y=1g|久|的圖象有10

個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=/(%)-1g|%|有10個(gè)零點(diǎn).

14.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,12],恒有/(%+4)=4/(%),當(dāng)％6(0,4]時(shí),

/(%)=|2七2_21.若函數(shù)g(%)=[/(%)]2+t"(%)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范

圍為[—32,—28].

[解析]當(dāng)％G(4,8]時(shí)，X-4G(0,4]，則/(%)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

4|2Z-6-2|.

當(dāng)％G(8,12]時(shí)，%-8G(0,4],則/(尤)=/((%-4)+4)=4/(%-4)=

47((%-8)+4)=16/(%-8)=16|2X-10-2|.

(\2*-2-2|,久C(0,4],

所以/(久)=(4|2A6-2\,xE(4,8],

(16|2X-10-2|,xG(8,12],

則/(3)=/(7)=/(ll)=0,作出f(%)的大致圖象如圖所示.

令9(久)—[/(%)]2+t-/(%)=0,可得/(%)=0或/(%)=—t.

由題意得方程以久)=0有4個(gè)根，

由/(%)—0，可得％=3或％——7或%—11,

所以/(%)=T僅有1個(gè)根，又16|28T。-2|=28,/(12)=16|212To-2|=

32,

貝U28<-t<32,解得一32<t<-28.

創(chuàng)新拓展練

15.已知函數(shù)/(%)=P若方程/(%)=上有4個(gè)不同的根

%1，%2，%3，%4，且無(wú)1〈尤2<%3<%4,則一％4(久1+%2)的取值范圍是田②雪.

%3無(wú)4

[解析]作出函數(shù)y=/(久)與、=上的圖象，如圖，

由方程/(%)=k有4個(gè)不同的根％I，%2，%3，%4,且久1<%2<%3<%4,

可知》1，%2關(guān)于％=—1對(duì)稱(chēng)，則為1+%2=—2；且0<%3<1<%4工4,

貝U|10g4%3l=|10g4%4l，R“0g4%3=-1。84K4,貝匹084%3+10g4%4=。，

即10g4久3%4=0，則％3%4=1，

d-1

當(dāng)|log4久1=1時(shí)，％=4或Z，則1<久4￡4,-<X3<1.

44

所以--2—(%i+汽2)工4=2%4"I--，1<汽44%

%3久4%4

令y=2%+-(1<%<4),

X

則其在(1,/)上為減函數(shù)，在［VX4］上為增函數(shù).

故當(dāng)％時(shí)，y取得最小值，最小值為4/,而當(dāng)％=4時(shí),y取得最大值，最

大值為9.

故七一乙(%i+g)的取值范圍是［4V2,9］.

16.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它

可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單地講：對(duì)于滿足一定條

件的連續(xù)函數(shù)/(%),存在實(shí)數(shù)&,使得/(&)