2022-2024年高考數(shù)學試題分類匯編：函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（八大考點）（解析版）

=在直

4M02函照的就念導及多初等篩照I

目制魯港。絹施留

考點三年考情（2022-2024）命題趨勢

2023年全國n卷

2023年全國乙卷（理）

考點1:已知奇偶性求參數(shù)2024年上海卷

2022年全國乙卷（文）

2023年全國甲卷（理）

2022年天津卷

2023年天津卷

2024年全國甲卷（理）

考點2：函數(shù)圖像的識別

2024年全國I卷

2022年全國乙卷（文）

2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷從近三年高考命題來看，本節(jié)

考點3：函數(shù)模型及應用2024年北京卷

是高考的一個重點，函數(shù)的單

2023年全國I卷

2023年全國乙卷（理）調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期

2022年北京卷

性是高考的必考內(nèi)容，重點關

考點4：基本初等函數(shù)的性2023年北京卷

質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性2024年全國I卷注周期性、對稱性、奇偶性結

2024年天津卷

合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)

2023年全國I卷

零點和不等式相結合進行考

2022年浙江卷

考點5：分段函數(shù)問題

2024年上海夏季查.

考點6：函數(shù)的定義域、值2022年北京卷

域、最值問題2022年北京卷

2023年全國I卷

考點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、

2022年全國I卷

周期性、奇偶性）的綜合運

2024年全國I卷

用

2022年全國n卷

2022年天津卷

2022年浙江卷

考點8：指對塞運算

2024年全國甲卷（理）

2023年北京卷

曾窟饗綴。闔滔運溫

考點1:已知奇偶性求參數(shù)

1.(2023年新課標全國n卷數(shù)學真題)若〃x)=(尤+a)lnJ為偶函數(shù)，貝巾=().

2x+l

A.-1B.0C.1D.1

【答案】B

【解析】因為/*)為偶函數(shù)，則/(I)=(1+?)In|=(-1+a)In3,解得a=0,

Oy_111

當a=0時，/(x)=xln-------,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>—或x<——,

2犬+122

則其定義域為或X<一1,關于原點對稱.

2(?2%-lY1

n2x+l2x-i=〃尤)，

"f)=(一%)1=(-x)ln=(-x)ln2X+1J=xln

2(—%)+12x-l2x+l

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)已知/(x)=T;是偶函數(shù)，則。=()

e^-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為=為偶函數(shù)，則小)_f㈠)=_(t)b=x[e'_e(“3]=0,

e-1八/八)Qaxee—]e這一1

又因為X不恒為0,可得e—e(“Tb=0，即e'=小心，

貝1Jx=(a—1)無，即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學真題)已知““=丁+。，xeR,且〃x)是奇函數(shù)，貝M=

【答案】0

【解析】因為/(x)是奇函數(shù)，故/(—x)+/(x)=0即無3+。+(一可3+。=0,

故a=0,

故答案為：0.

4.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)若/(尤)=lna+4+b是奇函數(shù)，貝___，b=

1-x

【答案】-；；In2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對稱性

若4=0,則/*）的定義域為{X|XH1},不關于原點對稱

QW0

若奇函數(shù)的/（%）=ln\a+1+）有意義，貝I］%W1且。H-------W0

1一工1-X

「.XW1且"1+’,

a

???函數(shù)〃九）為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，

--1+—=-1,解得〃=一7，

a2

由/（。）=。得，big+b=0,

:.b=Iril,

故答案為：-萬；Iril.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

,/、i1Ij\a-ax+lI,jIax—ci—1

j(X)=Ina+-----\+bz=ln\------------\+b=ln\------------+b

1l-x

ax+a+1

f(-x)=In+b

1+x

???函數(shù)/（龍）為奇函數(shù)

j、-、iax-a-l\1ax+a+1_?

/./(x)+/(-x)=In------------\+l7n\---------------卜2b7=0

l-x1+x

JCl2X2—(tz+1)2J

:.ln---------------—+2Z?=0

x2-l

a2(a+1)2,i八

—=--------=>2a+1=0na

11

—2b=In—=—2ln2nb=ln2

4

1.7c

a=——,b=Ini

2

［方法三］:

1

因為函數(shù)/（x）=lnaH--+--6--為-奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱.

l-x

（1-x）（a+l-冰）W0,所以冗=?=—1,解得：〃=—；,即函數(shù)的定義域為

由Q+------W0可得,

1-X

再由〃0)=0可得，b=ln2.即〃x)=ln—:+/L+ln2=lnp,在定義域

2L—X1—X

內(nèi)滿足/（一切=-〃力，符合題意.

故答案為：-,；In2.

5.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)若/(x)=(x—l)2+〃x+sin[x+]J為偶函數(shù)，貝lj〃二

【答案】2

【解析】因為y=/(x)=(x—l)2+〃x+sin[x+]]=(x—l『+〃x+cosx為偶函數(shù)，定義域為R,

則Tia=+lj——1J=2兀，故q=2,

此時/(x)=(x—1)2+2尤+cos無=f+i+cos九,

所以/(一%)=(-X)2+l+COS(-%)=X2+1+COSX=/(X),

又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù)，

所以〃=2.

故答案為：2.

考點2：函數(shù)圖像的識別

【答案】D

【解析】函數(shù)〃引=忙刁的定義域為{小*0},

且〃T）=山

-XX

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項錯誤；

又當x<0時，/⑺上T、o,C選項錯誤；

當x>l時，/（%）=七二i=±1=%_工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學真題）己知函數(shù)/（x）的部分圖象如下圖所示，則/（x）的解析式可能為（）

5sin%

x2+1

51+5b5cosx

■X2+2x2+1

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）<0,

由:;=一且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當x>0時5（e'e'）>0、5（e；+e'）>0,即人、c中（0,+刃）上函數(shù)值為正，排除；

X2+2必+2

故選：D

8.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）函數(shù)〃x）=-/+（1卜in%在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為

【答案】B

【解析】/(—x)=—x2+(e-x—e[sin(—%)=—x2+(e"—e-A)sinx=/(x),

又函數(shù)定義域為[-2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

X/(l)=-l+|e_~|sinl>-l+|e-—|sin—=—-—>0,

v7(ejej622e42e

故可排除D.

故選：B.

9.(2024年新課標全國I卷數(shù)學真題)當V[0,2加時，曲線y=sinx與y=2sin(3x-3的交點個數(shù)為()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因為函數(shù)，=豆”的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin[x-的最小正周期為T號,

所以在xe[0,2可上函數(shù)y=2sin(3x-。有三個周期的圖象，

在坐標系中結合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.

故選：C

10.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[-3,3]的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

2sinx

D.

y=x2+1

【解析】設〃尤）=蕓，則/⑴=0,故排除B;

、門7/、2XCOSX、I/兀工」八Y

設/z（x）=—p,當xe（O,5j時，0<COSX<1,

所以〃（尤卜等一^^勤，故排除C;

?X十_L4十I

設g（加*，則且⑶-等>。，故排除D.

故選：A.

H.（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）函數(shù)y=（3=3T）cosx在區(qū)間的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】令"x）=（3*-3-）cosx,尤e--,y,

則y（-x）=（3-x-3*）cos（-x）=-（3x-3-x）cosx=-/（x）,

所以/（X）為奇函數(shù)，排除BD；

又當xe（0,?|時，3<3一”>。,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.

故選：A.

考點3：函數(shù)的實際應用

12.（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和IgP的

關系，其中7表示溫度，單位是K；尸表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是（）

A.當T=220,尸=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當T=270,尸=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當T=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當7=360,尸=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

【解析】當T=220,尸=1026時，坨尸>3,此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.

當T=270,P=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.

當7=30。，尸=9987時，IgP與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯

誤.

當7=360,P=729時，因2<lgP<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

C_1

13.（2024年北京高考數(shù)學真題）生物豐富度指數(shù)d=J是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中S,N分別表

InN

示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由M變?yōu)樯?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N『2N\B.2電=3$

C.N；=N；D.N：=N：

【答案】D

S-l5-1

【解析】由題意得「右=21，K=3.15,則2.11nM=3.151nM，即21nM=31n%,所以泗=N：.

IllxV?111/Yo

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標全國I卷數(shù)學真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的

強弱，定義聲壓級4=20xlg3，其中常數(shù)。。（%>0）是聽覺下限閾值，2是實際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050-60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為口,Pz，P3,則（）.

A.Pi^P2B.P2>1°P3

C.Pi=100p0D.Pl<100p2

【答案】ACD

【解析】由題意可知：LnG[60,90],Lfte[50,60],=40,

對于選項A：可得—x噴3啜R唱

因為4,2%,則4-4=20xlg&Z0,即1g包20,

〃2P1

所以2且P”P2>0,可得故A正確；

P1

對于選項B：可得4.-勾3=2°x1g三一20Xlg旦=20X1g甚，

PoPoP3

因為4工=4-ONI。，則20xlg&210,即1g%：,

夕3，3」

所以上>756且02，23>0,可得

〃3

當且僅當=50時，等號成立，故B錯誤;

對于選項C：因為Lp3=20xlg馬=40,即1g馬=2,

PoPo

可得乙=100,即p3=100p°,故C正確；

P。

對于選項D：由選項A可知：4=20xlga,

Pz

且490-50=40,貝|20xlg且V40,

Pi

即lg&42,可得包W100,且p"2>0,所以“《loop2,故D正確;

PlPl

故選：ACD.

考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）設若函數(shù)/（x）="+（l+a）*在（0,+s）上單調(diào)遞增,

則。的取值范圍是

【答案】

【解析】由函數(shù)的解析式可得Ina+（l+a）'In（1+a）20在區(qū)間（0,+⑹上恒成立,

+a

貝lj(l+a)“l(fā)n(l+a)2-a"Ina,即N-在區(qū)間（0,+8）上恒成立，

a

o

1+QIna

故I=1>-而a+le(l,2),故ln(l+a)>0,

aln(l+fl),

a(a+l)>1,故與

故

0<a<l0<a<l

&T1

結合題意可得實數(shù)。的取值范圍是，1

2

7

故答案為:

16.（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）己知函數(shù)小戶e,則對任意實數(shù)尤，有（）

A./(-x)+/(%)=0B.f(-x)-f(x)=0

C.f(-x)+f(x)=lD.

【答案】C

111

【解析】y(-x)+/(x)=-------------\-=1,故A錯誤，C正確;

l+2-x1+2"1+■2無1+2尤

]_12%___1_2一_]__2

f(-x)-f[x}=不是常數(shù)，故BD錯誤;

l+2-x1+2X1+2%~1+2X~2x+1~-2"+l

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-lnxB./（%）=

2

C./（%）=--D./（^）=3M

X

【答案】C

【解析】對于A,因為，=lnx在（0,+動上單調(diào)遞增，y=-X在（0,+動上單調(diào)遞減,

所以〃x）=-lnx在（0,+e）上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2,在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=g在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=?在（0,+s）上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為y=:在（0,+e）上單調(diào)遞減，y=r在（0,+e）上單調(diào)遞減，

所以尤）=-1在（0,+e）上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為/已卜3W=3；=6，f(l)=3M=3°=l,f(2)=3IM=3,

顯然〃x）=3-在（0,+e）上不單調(diào)，D錯誤.

故選：C.

18.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知函數(shù)/（元）=-:：2依一,“<：在R上單調(diào)遞增，則。的取值

[e'+ln（x+l）,x>0

范圍是（）

A.y,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【答案】B

【解析】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且時，/(x)=e*+ln(x+l)單調(diào)遞增,

-->0

則需滿足2x(-1),解得_iva<o,

-a<e°+In1

即a的范圍是上1,0].

故選：B.

19.（2024年天津高考數(shù)學真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

QX-X2cosx+x2e-xsinx+4x

A.y=B.C.y=D.y=--

x2+1尸F(xiàn)Tx+1

【答案】B

【解析】對A,設〃x)==^,函數(shù)定義域為R,但/(-!)=二1,八1)=彳，則〃一1片/(1)，故

x+122

A錯誤;

2

對B,設g(尤)=,函數(shù)定義域為R,

旦8(一力=。。$!?：(x)=cos：+：=8口),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

(-X)+1X+1

對C,設為⑺=三，函數(shù)定義域為不關于原點對稱，則從力不是偶函數(shù)，故C錯誤；

對D,設0(x)=sin；：4x,函數(shù)定義域為R,因為0。)=包詈，/㈠)一,1,

則砒則0(x)不是偶函數(shù),故D錯誤.

故選：B.

20.(2023年新課標全國I卷數(shù)學真題)設函數(shù)””=2個.在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則”的取值范圍是(

A.(—co,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,向

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2”在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃月=2'(1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)了=尤(尤-a)=(尤-殳2-[在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此^21,解得心2,

所以。的取值范圍是[2,+co).

故選：D

考點5：分段函數(shù)問題

-%2+2,%W1,

21.(2022年新高考浙江數(shù)學高考真題)已知函數(shù)/(尤)=<1??則/;若當

XH-----1,X>1,

X

切時，14/Cx)K3,則人一〃的最大值是

37

【答案】——3+A/3/\/3+3

【解析】由已知錯)=f]+2=:&)=：+；T=||，

ZJ444/Zo

所以

當xWl時，由14/(x)43可得14_/+2<3,所以-LWxWl,

當x>l時，由1V/(X)V3可得1<X+L-1V3,所以1<X42+6，

X

14/(%)43等價于_1?%42+石，所以[見切口[—1,2+百],

所以-〃的最大值為3+百.

故答案為：--,3+A/3.

2o

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學真題)已知則〃3)=

【答案】百

【解析】因為“無故〃3)=石，

l,x<0

故答案為：石.

考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學高考真題)函數(shù)/(x)=4+Vi二7的定義域是.

X

【答案】(y,0)3。5

【解析】因為〃x)」+行]，所以『一：°，解得尤W1且X/0，

XIXWU

故函數(shù)的定義域為(F,O)U(O,1]

故答案為：(f0)50』

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學高考真題)設函數(shù)〃x)=/若/(x)存在最小值，則。的一個取

(x-2),x>a.

值為;。的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若a=0時，/(無)=｛，。、2、°，；?/(尤)疝?=。；

(x-2),尤20

若"0時，當彳<。時，y(x)=-ax+l單調(diào)遞增，當x--8時，f(x)->-oo,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時，

當x<。時，f(x)=-ax+1單調(diào)遞減,f(x)>f{a}=-a2+1,

0(0<4/<2)

當犬>4時，f(x).={_

小\a-2)2(a>2)

，一42+120或一片+i之(〃一2>,

解得0<QW1,

綜上可得OWQWI；

故答案為：0(答案不唯一)，1

考點7：函數(shù)性質(zhì)(對稱性、周期性、奇偶性)的綜合運用

25.(多選題)(2023年新課標全國I卷數(shù)學真題)已知函數(shù)的定義域為R,〃孫)=yV(x)+x"(y),

則(),

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(x)的極小值點

【答案】ABC

【解析】方法一：

因為f(xy)=y2fM+xz/(y),

對于A,令尤=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,f(l)=1/(1)+1/(1),貝U/?⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則"-1)=0,

令y=-1,/(-X)=/(%)+%2/(-1)=f(x),

又函數(shù)人無)的定義域為R,所以Ax)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/(x)=。，顯然符合題設條件，此時f(x)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(XV)=曲⑴+,

對于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,f(l)=1/(1)+1/(1),貝?⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(一1)=0,

令y=-1,/(一無)=/?+x2/(-D=于(x),

又函數(shù)Ax)的定義域為R,所以為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當//wo時，對/(盯)=y"(尤)+//(y)兩邊同時除以犬丁，得至I」［(3)=+岑^，

2

故可以設孝=卬尤|(尤#0),則/(x)=Xln|x|,x^O

0,x=0

當x>0肘，f（x）=x2Inx,則fr（x}=2xlnx+x2?—=x（21nx+l）,

x

令/'（"VO,得Oc<eW；令74%）>。，得x>e4；

Cj_A（_i_\

故了（%）在0,e-i上單調(diào)遞減，在eH+8上單調(diào)遞增，

\7\7

因為〃X）為偶函數(shù)，所以“X）在-e-\0上單調(diào)遞增，在卜8,屋？上單調(diào)遞減,

顯然，此時彳=0是了。）的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

26.（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）已知函數(shù)Ax）及其導函數(shù)/'（X）的定義域均為R,記

g(x)=_f(x),若噌-2x),g(2+x)均為偶函數(shù),則()

A./(0)=0B.g'g]=0

C./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】［方法一］：對稱性和周期性的關系研究

對于f（x）,因為/\一為偶函數(shù)，所以/（|-2無41+2.即4一）/［+尤）①，所以

3

〃3T）=/（X）,所以/（無）關于尤=；對稱，則"-1）=〃4）,故C正確;

對于g(x),因為g(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)關于x=2對稱，由①求

導,和g（x）=r（x）,得）所

以g（3-x）+g（x）=0,所以g（x）關于§,0）對稱，因為其定義域為R,所以g［）=°，結合g。）關于尤=2對

稱，從而周期T=4x12-力=2,所以g，3=g0=。，g（—l）=g（l）=—g⑵，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)Ax）滿足題設條件，則函數(shù)A尤）+C（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定Ax）的函數(shù)值,

故A錯誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關于x=2對稱，故可設g(x)=cos(KX),則y(x)=Lsin(7U)+c,顯然A,D錯

7T

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因為/g(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/1|-2x］=/1|+2xj即/'13一x［=7［)+》［，g(2+x)=g(2-x),

所以〃3—x)=/(x),g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確；

函數(shù)Ax),g(x)的圖象分別關于直線尤=匕尤=2對稱，

又g(x)=r(x),且函數(shù)=x)可導,

所以g1)=ag(3_x)=_g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3—x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以8(一3)=8(5)=0，g(T)=g(l)=-g(2)，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)Ax)滿足題設條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設條件，所以無法確定Ax)的函數(shù)值，故

A錯誤.

故選：BC.

【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的

通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.

27.(2024年新課標全國I卷數(shù)學真題)已知函數(shù)了⑴的定義域為R,/W>/(x-l)+/(x-2),且當x<3

時/(x)=x,則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因為當x<3時”x)=x,所以〃1)=1"(2)=2,

又因為/(元)>/(x-l)+/(x-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+f(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(n)>/(IO)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知/(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

28.(2022年新高考全國H卷數(shù)學真題)已知函數(shù)Ax)的定義域為R,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則2〃幻=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】［方法一］:賦值加性質(zhì)

因為〃x+y)+/(x—y)=/(x)/(y)，令無=i,y=o可得，2/(i)=/(i)/(o),所以"0)=2,令x=o可得，

”y)+/(-y)=2〃y),即/(y)=/(—y),所以函數(shù)/⑺為偶函數(shù)，令y=i得,

y(x+l)+/(x-l)=f(x)f(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=f(x+1),從而可知/(x+2)=—/(x—l),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)"(x-4),即/?(x)=/(x+6),所以函數(shù)的一個周期為6.因為

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/⑴+〃2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡〃左)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1_1_2_1=一3.故選：A.

k=\

［方法二］:【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)

由〃x+y)+/(x-y)=〃x)〃y),聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式

cos(x+y)+cos(x-y)=2co&?cosy,可設/(x)=ocos<yx,則由方法一中/(0)=2,/(1)=1知。=2,g050=1,

171

解得COSG=］,取刃=至，

所以〃x)=2cos§龍，則

〃x+y)+/(x-y)=2cos］x+?yj+2costx-qyj=4cos9xcos?y=〃x)〃y),所以=2cos：x

73=6

符合條件，因此/(x)的周期工一，/(。)=2,/(1)=1,且

3

f(2)=-l,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,/(6)=2,所以/(1)+/(2)+/⑶+f(4)+/(5)+f(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以￡/(4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1-1-2-1=-3.故選：A.

k=l

【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；

29.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,且