專題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型風(fēng)箏（鷹爪）模型（原卷版）

專題09三角形中的特殊模型燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大?。?．（2023·成都市·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，平分，平分，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A．80° B．75° C．60° D．45°例3．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.例5．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）例2．（2022秋·重慶渝北·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°例3．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)校考期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形的外部時(shí)，測(cè)量得，，則為（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·甘肅天水·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個(gè)不相鄰的外角．

(1)猜想并說(shuō)明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．例5．（2022春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_____________；再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部，寫出此時(shí)∠1，∠2，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．例6．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的內(nèi)部的點(diǎn)M處，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的外部的點(diǎn)M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過(guò)程）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023.廣東八年級(jí)期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）2．（2023·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，將CDE沿CE翻折，得到，則∠BC的度數(shù)為（

）A．60° B．80° C．100° D．120°3．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，沿圖中虛線翻折，使得點(diǎn)B落在上的點(diǎn)D處，則等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為．5．（2023春·寧夏吳忠·九年級(jí)校考期中）將△ABC沿著DE翻折，使點(diǎn)A落到點(diǎn)A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點(diǎn)，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．6.（2023·湖北·七年級(jí)期末）三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說(shuō)明為什么．（2）說(shuō)明為什么．（3）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案；（4）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案．7．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，把三角形紙片折疊，使個(gè)頂點(diǎn)重合于點(diǎn)．這時(shí)，__________；

（2）如果三角形紙片折疊后，個(gè)頂點(diǎn)并不重合于同一點(diǎn)，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）折疊后如圖所示，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系_______；（4）折疊后如圖，直接寫出、、、、、之間的數(shù)量關(guān)系：_______；8．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．9．（2022春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考期末）如圖①，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置，通過(guò)計(jì)算我們知道：.請(qǐng)你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，如圖②，此時(shí)與之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）10．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在和中，．點(diǎn)F與A位于線段所在直線的兩側(cè)，分別延長(zhǎng)、至點(diǎn)、．

【特殊化思考】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（1）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________；（2）當(dāng)在外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）若平分，平分．無(wú)論點(diǎn)在內(nèi)部（如圖③）還是外部（如圖④）時(shí)，都有，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；

【一般化探究】若時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（4）若射線、分別是，的等分線（為大于2的正整數(shù)），且，．當(dāng)時(shí)，直接寫出與需滿足的條件：__________．10．（2023·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD=40°，請(qǐng)直接寫出α、β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；（3）如圖2，若α=β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，(1)探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如果點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，與、之間的數(shù)量關(guān)系有何變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如圖①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖②，若BE，DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），試求∠E的度數(shù)．13．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．14．（2023·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．15．（2023·云南保山·八年級(jí)校考期中）已知：點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD．（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如圖2，若存在一點(diǎn)P，使得PB平分∠ABC，同時(shí)PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，將點(diǎn)D移至∠ABC的外部，其它條件不變，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明．16．（2023·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個(gè)角相加等于，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運(yùn)