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文檔簡(jiǎn)介
專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
(思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧)
維構(gòu)建?耀蓿陳紿
口說盤點(diǎn)?霍翡訃與
知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念
1、函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)定義
一般地,稱函數(shù)y=/(x)在x=xo處的瞬時(shí)變化率,-(xo)=Hm2為函數(shù)y=?r)在x=x0處
ZAAAx_0^^
的導(dǎo)數(shù),記作/(祀)或y'|x=xo,即/(xo)=2j%0=2jd(沏+八七/(祀).
2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)兀0在點(diǎn)必處的導(dǎo)數(shù)了(配)的幾何意義是在曲線>=燈)上點(diǎn)P(x0,yo)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是
位移函數(shù)s。)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y—yo=f(xo)(x-xo).
3、函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù):稱函數(shù)/(x)=linT;~:----T---------為犬尤)的導(dǎo)函數(shù).
Ax—>0ZAA
知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)
Kx)=C(C為常數(shù))/W=0
於KwGQ*)/(%)二6一1
f^x)=sinx/(x)=cos_x
j[x)=cosx/(x)=_sin_x
兀0=砥4>0且存1)f(x)=ax\n_a
?=ex/(x)=e*
fix)=logax(x>0,a>0且1)D_%lna
f(x)=Inx(x>0)f(x)=x
2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
⑴用)土g(x)y=/(x)土g,(辦
(2)[/0>g(x)]'=/(x)g(x)+/(x)g,(x).
Mgf(x")-If(x)g(x)—/(無(wú))g'(x)(g(M
3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)復(fù)合函數(shù)的概念:一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/Q)和a=g(x),如果通過中間變量M,y可以表示
成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為y=/Q)和”=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=/(g(%)).
(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:一般地,復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/3),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的
關(guān)系為%'=?":,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)設(shè)的導(dǎo)數(shù)與〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積?
規(guī)律:從內(nèi)到外層層求導(dǎo),乘法連接。
(3)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟
第一步分層:選擇中間變量,寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù);
第二步分別求導(dǎo):分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù);
第三步相乘:把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘;
第四步變量回代:把中間變量代回。
知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
在某個(gè)區(qū)間(。力)內(nèi),如果/'(x)之0,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
如果f(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
【注意】
⑴在某區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(fr(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件;
(2)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在(4力)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)Vxeg,b),都有/''(力2。(/''(力三。)且
/'(X)在(a力)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.
2、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)〃%)的定義域;
(2)求/,(%)(通分合并、因式分解);
(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;
(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.
知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
1、函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值:函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五。)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,/(a)=0;
而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)/(x)<0,右側(cè)了(x)>0,則點(diǎn)。叫做函數(shù)y=/(尤)的極小值點(diǎn),穴a)叫做函數(shù)y=/(x)
的極小值.
(2)函數(shù)的極大值:函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值五。)比它在點(diǎn)x=6附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,/(b)=0;
而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)了(無(wú))<0,則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=?r)的極大值點(diǎn),八3叫做函數(shù)y=#x)
的極大值.
2、函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[。,句上連續(xù)的函數(shù)段)在3,句上必有最大值與最小值.
(2)若函數(shù)於)在[0句上單調(diào)遞增,則犬a(chǎn))為函數(shù)的最小值,近6)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)1x)在[a,加上
單調(diào)遞減,則人a)為函數(shù)的最大值,八切為函數(shù)的最小值.
3、函數(shù)極值與最值的關(guān)系
(1)函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的,是一個(gè)整體的概念,與函數(shù)的極大
(?。┲挡煌?,函數(shù)的最大(小)值若有,則只有一個(gè)。
(2)開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),若有唯一的極值,則這個(gè)極值是函數(shù)的最值。
■點(diǎn)突破?看分?中將
重難點(diǎn)01根據(jù)切線情況求參數(shù)
已知了(無(wú)),過點(diǎn)(。力),可作曲線的“(”=1,2,3)條切線問題
第一步:設(shè)切點(diǎn)4(%,為)
第二步:計(jì)算切線斜率左=/'(%);
第三步:計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程:y-y0=f'(x0)(x-x0).
第四步:將(。力)代入切線方程,得:b-y0=f\x0)(a-x0),整理成關(guān)于與得分方程;
第五步:題意己知能作幾條切線,關(guān)于飛的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解;
【典例1](23-24高三上?廣東?月考)若曲線、=三+6在點(diǎn)(La+l)處的切線方程為y=7x+"2,則
m=.
【典例2】(22-23高三下?湖南長(zhǎng)沙?月考)設(shè)直線x+y+l=O是曲線y=的一條切線,則。=.
【典例3](23-24高三上.廣西南寧.月考)已知曲線y=lnx+2與y=ln(x+a)的公切線為y=kx+17n2,則
實(shí)數(shù)。=.
重難點(diǎn)02含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)
(1)導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論(或零點(diǎn)有無(wú)意義);
(2)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi);
(3)導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。
【典例1](23-24高三下?江西?月考)已知函數(shù)/(無(wú))=d一6?+尤(aeR).
(1)若。=1,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程;
⑵若a>百,討論/(x)的單調(diào)性.
【典例2】(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ax(lnx-l),aeR.
(1)當(dāng)。=1時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程;
(2)若函數(shù)g(無(wú))=/'(x)-2x+3(f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)),討論g(x)的單調(diào)性.
重難點(diǎn)03構(gòu)造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型
關(guān)系式為“加''型一構(gòu)造:
(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)構(gòu)造"(x)g(x)]'=/'(x)gO)+/(x)g'(x)
(2)V"(x)+/(x)>0構(gòu)造W(x)]'=談(x)+/(x)
(3)fXx)+f(x)>0構(gòu)造[e"(x)]‘=e'"'(x)+/(x)]
(4)班(x)+W(x)之0構(gòu)造=xnf(x)+nxnif(x)=xn^[xf(x)+nf(x)](注意》的符號(hào))
(5)r⑶+4⑶構(gòu)造"(x)*r=r(x)*+4(x)a=*u'(x)+"(x)]
關(guān)系式為“減”型構(gòu)造:
(6)fr(x)g(x)-f(x)g'(x)構(gòu)造["x)Y=/(x)g(x)-/(x)g(X)
g(無(wú))[g(尤)f
(7)xf(x)-f(x)>o構(gòu)造[以%'=—
XX
⑻r(x)-/U)>0構(gòu)造[駕i=⑴⑶1/(x)
e(e)e
(9)xf'(x)-nf(x)>0構(gòu)造[&]="⑴一式"⑴=、(x)-叭X)(注意x的符號(hào))
x"(x")2xn+1-
(10)/'(X)—"(x)構(gòu)造
【典例1】(2024?山東聊城?三模)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)數(shù)為尸(x),若當(dāng)xN。時(shí),f\x)>2x-1,
且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,〃r)=〃x)+2x,則不等式〃2》-1)-〃耳<3/-5》+2的解集為()
D.f-<?,-1ju(l,+co)
A.(-oo,l)B.9C.-3,+°°
【典例2](23-24高三上?河北?月考)已知函數(shù)/⑴及其導(dǎo)函數(shù)/'⑶的定義域均為(0,+8),且
4(x)>(x-D/(x)恒成立,f(3)=e,則不等式(x+4)/(x+4)<3eX+2的解集為()
A.?—1)B.(-1,1)C.(-1,2)D.
【典例3](23-24高三上.山東荷澤?月考)若定義在R上的函數(shù)〃力滿足/'(無(wú))+2/(x)>0,且"0)=1,
則不等式>上的解集為
重難點(diǎn)04單變量不等式恒成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立,可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:
1、VxeD,m</(x)?>m</(x)min
2、VxeD,m>/(x)<^>m>/(%)max
3、3XGD,=加
4、3XGD,m>/(%)<?m>
【典例l】(2024?河南?三模)若關(guān)于%的不等式e、+x+21n—2如2+山加恒成立,則實(shí)數(shù)加的最大值為()
A.C.1D.
2-B-7
【典例2】(2024?陜西?二模)Vxe[l,2],有l(wèi)nx+=-G0恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
A.[e,-H?)B.[1,+oo)D.[2e,+co)
重難點(diǎn)05雙變量不等式與等式
一般地,已知函數(shù)y=/(x),xe[a,0,y=g{x},x&\c,d\
⑴若%e[a,句,四式?!盷,總有/a)<g(w)成立,故[(x)1mx<g(x)1n
(2)若V與目a/],BX2G[C,<7],有/&)<g(%)成立,故"%)1mx<g(x)1Mx;
(3)若叫e[a,句,&[c,d],有〃可)<g(N)成立,故〃力-<g(x)1nto;
(4)若叫?0,可,HX2&[c,d],有/(占卜8仁)成立,故/⑺*<g(x)max.
【典例1](23-24高三上?江蘇常州?期中)已知函數(shù)=+(2。-1)尤-21nx,aeR.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)對(duì)于Vxw[l,e],皿w[2,y),使得9,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
【典例2】(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y(x)=e(f-:無(wú)+』),(aeR).
(1)若曲線>=/(尤)在》=1處的切線過點(diǎn)“(2,3),求。的值;
(2)設(shè)8(”=尤+£工-3若對(duì)V〃e[0,2],3me[0,2],使得“⑹2g(〃)成立,求。的取值范圍.
重難點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題
利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法
1、圖象法:根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象,標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置,借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題(畫
草圖時(shí)注意有時(shí)候需要使用極限);
2、利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理:先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極
值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
【典例1】(2024高三下?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=Hnx-x+|x-a|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),貝心的取值
范圍是()
A.1—,0).(0,e)B.1—,0)u(0,e)
C.^-1,0^(0,3)D.(一:,oju(O,3)
【典例2](23-24高三下?河北?月考)已知函數(shù)/(x)=-ae“-sinx-1在區(qū)間(0,鼻內(nèi)有唯一極值點(diǎn)4,其中
aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍;
(2)證明:在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).
重難點(diǎn)07隱零點(diǎn)問題的應(yīng)用
導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí)的應(yīng)對(duì)策略:
1、“特值試探”法:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不可求時(shí),可嘗試?yán)锰厥庵翟囂?,此時(shí)特殊值的選取應(yīng)遵循以下原
則:①在含有Inx的函數(shù)中,通常選?。?/,特別地,選當(dāng)k=0時(shí),x=l來(lái)試探;②在含有e*的函數(shù)
中,通常選取x=lnB特別地,選取當(dāng)左=1時(shí),%=0來(lái)試探,在探得導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)后,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)
的單調(diào)性,確定導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)左右的符號(hào),進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性和極值,使問題得到解決.
2、“虛設(shè)和代換”法:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)尸(x)的零點(diǎn)無(wú)法求出顯性的表達(dá)式時(shí),我們可以先證明零點(diǎn)存在,再虛設(shè)
為飛,接下來(lái)通常有兩個(gè)方向:①由尸(%)=0得到一個(gè)關(guān)于飛的方程,再將這個(gè)關(guān)于公的方程的整體或
局部代入/(%),從而求得了(%),然后解決相關(guān)的問題;②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)尸(x)的單調(diào)性,得出與兩側(cè)導(dǎo)
函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值,使問題得解。
【典例1](23-24高三上?湖南?月考)已知函數(shù)/(x)=ox—2e*+3(aeR),g(x)=(x-2)e%-lnx-x+2.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記函數(shù)八%)的導(dǎo)函數(shù)為尸(天),若不等式ra)vg(x)恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
3
【典例2](23-24高三下?四川巴中?月考)函數(shù)〃力=尤3+5(1-以;
(1)當(dāng)。=2時(shí),討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性;
(2)"1)=9,mln元-冬4-根在xe(l,+刈恒成立,求整數(shù)加的最大值.
2x
重難點(diǎn)08極值點(diǎn)偏移問題
證明極值點(diǎn)偏移問題常用思路:利用分析法,將所證不等式中的變量分到不等式的兩邊,構(gòu)造對(duì)稱函數(shù),
注意將占和2%一々化到同一區(qū)間,再利用導(dǎo)數(shù)據(jù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求極致、最值等手段證得不等式。
Z7—1—Y1
【典例1](2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=------+Hn—+羽%(%)=--+2辦-。2+2〃,〃為實(shí)
數(shù).
(1)討論函數(shù)"%)的極值;
(2)若存在%,馬滿足玉石)=/(%2),求證:%+%2>九(%).
【典例2】(2024云南?二模)已知常數(shù)。>0,函數(shù)f(x)=;x2-a尤-2/lnx.
(1)若Vx>0,/(x)>—4〃2,求〃的取值范圍;
(2)若為、演是/⑴的零點(diǎn),且%1。冗2,證明:%+%2>4Q.
法技巧?逆親學(xué)霸
一、導(dǎo)數(shù)定義中極限的計(jì)算
瞬時(shí)變化率的變形形式
Umf(xo+A*)-+(%o)_]jmfg-A()-+g)_同/Oo+MQ_fOo)_同/g+AxA+Oo-Ax)=)
A%T0AXAX^O-AXAX->0nA%Ax^O2Ax'I0,
【典例1】(2023?吉林長(zhǎng)春.模擬預(yù)測(cè))利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算lim,(e+2:t)-Ine值為()
—Ax
A.1B.-C.0D.2
e
【典例2】(2024?江蘇南通?二模)已知當(dāng)一0時(shí),“1+')-/⑴->_________.
h
二、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線
1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步(求斜率):求出曲線在點(diǎn)(%,/(/))處切線的斜率/'(/)
第二步(寫方程):用點(diǎn)斜式y(tǒng)—/(xo)=r(xo)(x—xo)
第三步(變形式):將點(diǎn)斜式變成一般式。
2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步:設(shè)切點(diǎn)為。(尤0,/(%0));
第二步:求出函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)r(Xo);
第三步:利用。在曲線上和/'(%)=原°,解出/及/'(%);
第四步:根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,得切線方程為丁-/'(/)=r(/)a-玉)).
【典例1](23-24高三上?河南?月考)曲線y=(x2-2x)lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為.
【典例2](23-24高三上.山東青島?期中)曲線〃x)=e2T過原點(diǎn)的切線方程為.
三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
(1)函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增(單減)=/'。)20(?0)在區(qū)間口上恒成立;
(2)函數(shù)了(%)在區(qū)間D上存在單調(diào)增(單減)區(qū)間=/'。)>0(<0)在區(qū)間口上能成立;
(3)已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)=/'(x)不存在變號(hào)零點(diǎn)
(4)己知函數(shù)/(%)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)=/'(x)存在變號(hào)零點(diǎn)
【典例1】(2023?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(》)=--"在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增,貝/的可能取值為()
A.2B.3C.4D.5
f1
【典例2】(2023?寧夏銀川?三模)若函數(shù)/(xX'Tnx在區(qū)間(九根+§)上不單調(diào),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為
()
222
A.0<m<—B.—<m<1C.—<m<\D.m>l
333
四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)
1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟
(1)求導(dǎo)數(shù)/'(X);
(2)求方程r(x)=o的所有實(shí)數(shù)根;
(3)觀察在每個(gè)根沏附近,從左到右導(dǎo)函數(shù)/'(x)的符號(hào)如何變化.
①如果/'(%)的符號(hào)由正變負(fù),則/'(%)是極大值;
②如果由負(fù)變正,則/'(不)是極小值.
③如果在r(x)=0的根x=xo的左右側(cè)f'(x)的符號(hào)不變,則不是極值點(diǎn).
【典例1](23-24高三下?山東荷澤?月考)函數(shù)/(》)=6+12》-尤3的極小值點(diǎn)為()
A.(4,-10)B.(-2,-10)C.4D.-2
【典例2](23-24高三下?海南.月考)已知函數(shù)〃x)=(x2-or-a)e*在(0,〃0))處的切線平行于直線
2犬+y+3=0.
(1)求。的值;
(2)求"》)的極值.
五、根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)
根據(jù)函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路:
根據(jù)函數(shù)/(龍)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題的一般思路先求解出/‘(X),然后分析的根的個(gè)數(shù):①分類
討論法分析r(x)二°的根的個(gè)數(shù)并求解參數(shù)范圍;②參變分離法分析r(x)二°的根的個(gè)數(shù)并求解參數(shù)范圍;
③轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題并求解參數(shù)范圍.
【典例1](23-24高三上.山西臨汾?月考)已知曲線〃司=丁+62+陵+1在點(diǎn)(1,〃1))處的切線斜率為3,
且X是y=/(x)的極值點(diǎn),則函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)為.
【典例2】(2024遼寧葫蘆島.一模)已知函數(shù)〃x)=e'_加在R上無(wú)極值,貝"的取值范圍是()
A.1-00,;B.1一00,'|)C.[0,e)D.0,|
【典例31(23-24高三上?河北衡水?月考)(多選)若函數(shù)〃尤)=aliu+|+^,(a^0)既有極大值也有極小值,
貝IJ()
A.bc<0B.ab<0C.b2+Sac>0D.ac<0
六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
函數(shù)/(%)在區(qū)間川上連續(xù),在(a,3內(nèi)可導(dǎo),則求函數(shù)/(x)最值的步驟為:
(1)求函數(shù)/(x)在區(qū)間(。力)上的極值;
(2)將函數(shù)/(光)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),/(。)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)
是最小值;
(3)實(shí)際問題中,“駐點(diǎn)”如果只有一個(gè),這便是“最值”點(diǎn)。
【典例1](23-24高三下?河南?月考)函數(shù)/(無(wú))=e'+|lnx+l|的最小值為()
11
e
A.eB.e7C.e元+ln2D,e,+2
【典例2](23-24高三下.湖南長(zhǎng)沙.月考)已知函數(shù)〃x)=(x-左-l)e*WeR).
(1)當(dāng)%=1時(shí),求“X)在(0,-2)處的切線方程;
(2)討論在區(qū)間[0,3]上的最小值.
參考答案與試題解析
專題05一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
(思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧)
思維構(gòu)建?耀精聯(lián)紿
口票盤點(diǎn)?置翡訃領(lǐng)
知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念
1、函數(shù)>=於)在%=xo處的導(dǎo)數(shù)定義
一般地,稱函數(shù)尸危)在x=xo處的瞬時(shí)變化率'/(X。)=為函數(shù)y=ya)在X=XQ處
ZAAAx_0^^
的導(dǎo)數(shù),記作了(xo)或y'|x=xo,即/(Xo)=lim%=lim/(猶+八?
Ax—>04
2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)八x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)八項(xiàng))的幾何意義是在曲線y=/(x)上點(diǎn)P(x0,州)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是
位移函數(shù)s(0對(duì)時(shí)間/"的導(dǎo)數(shù)).相應(yīng)地,切線方程為y—州=/(尤o)(x—xo).
3、函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù):稱函數(shù)/(x)=lin/J/(X)為八無(wú))的導(dǎo)函數(shù).
Ax—>0ZAA
知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)
負(fù)x)=c(c為常數(shù))/W=o
於K〃CQ*)f(x)=nxn~i
?x)=sinx/(x)=cos_x
f(x)=cosXf(x)=—sin_x
j(x)=cf(a>0且〃?1)f(x)=ax\n_a
7U)=e£/W=ex
/(X)=logaX(X>0,。>0且"1)/(X)=^-^
/(x)=lnx(x>0)f(x)=:
2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
⑴g)土g(x)1=/(x)土g,(x)?
(2)[fix)-g(x)]'=f(x)g(x)+fix)g'(x).
f
⑶f(x)-If~(x~)g(x[)g—Vf]2(%)g(x)(g(X)邦).
3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)復(fù)合函數(shù)的概念:一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/Q)和a=g(x),如果通過中間變量M,y可以表示
成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為y=/Q)和M=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=/(g(x)).
(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:一般地,復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/Q),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的
關(guān)系為"'=yu'-Ux',即y對(duì)X的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
規(guī)律:從內(nèi)到外層層求導(dǎo),乘法連接。
(3)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟
第一步分層:選擇中間變量,寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù);
第二步分別求導(dǎo):分別求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù);
第三步相乘:把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘;
第四步變量回代:把中間變量代回。
知識(shí)點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
在某個(gè)區(qū)間(“力)內(nèi),如果/'(x)NO,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;
如果/(%)<0,那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
【注意】
(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(/(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件;
(2)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在(口力)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)Vxe(a,b),都有/''(力之。(/''(x)WO)且
7?'(1)在(a/)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.
2、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定函數(shù)/(%)的定義域;
(2)求了'(%)(通分合并、因式分解);
(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;
(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.
知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
1、函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值:函數(shù)y=/(元)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五。)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,了(。)=0;
而且在點(diǎn)尤=。附近的左側(cè)了(x)<0,右側(cè)了(x)>0,則點(diǎn)。叫做函數(shù)y=A尤)的極小值點(diǎn),犬”)叫做函數(shù)y=/(x)
的極小值.
(2)函數(shù)的極大值:函數(shù)y=/a)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值八b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,〃b)=0;
而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/(x)<0,則點(diǎn)b叫做函數(shù)y=/U)的極大值點(diǎn),大b)叫做函數(shù)y=/(x)
的極大值.
2、函數(shù)的最值
(1)在閉區(qū)間[。,切上連續(xù)的函數(shù)五龍)在團(tuán),6]上必有最大值與最小值.
(2)若函數(shù)黃x)在出,切上單調(diào)遞增,則八0為函數(shù)的最小值,八。)為函數(shù)的最大值;若函數(shù)人功在出,切上
單調(diào)遞減,則八幻為函數(shù)的最大值,八切為函數(shù)的最小值.
3、函數(shù)極值與最值的關(guān)系
(1)函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域區(qū)間上的函數(shù)值得到的,是一個(gè)整體的概念,與函數(shù)的極大
(?。┲挡煌?,函數(shù)的最大(?。┲等粲?,則只有一個(gè)。
(2)開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù),若有唯一的極值,則這個(gè)極值是函數(shù)的最值。
■點(diǎn)突破?看分?中將
重難點(diǎn)01根據(jù)切線情況求參數(shù)
已知了(無(wú)),過點(diǎn)(。力),可作曲線的“(”=1,2,3)條切線問題
第一步:設(shè)切點(diǎn)4(后,治)
第二步:計(jì)算切線斜率上=/'(%);
第三步:計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程:y-y0=f\x0)(x-x0).
第四步:將(。,加代入切線方程,得:。-%=/'(/)(?!?),整理成關(guān)于「得分方程;
第五步:題意己知能作幾條切線,關(guān)于飛的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解;
【典例1](23-24高三上?廣東?月考)若曲線y=d+G在點(diǎn)(La+l)處的切線方程為y=7x+〃z,則
m=
【答案】-2
【解析】y'=3/+a,依題意得3+a=7,即a=4,
又因?yàn)椤?1=7+7",所以m=一2.
【典例2](22-23高三下?湖南長(zhǎng)沙?月考)設(shè)直線x+y+l=O是曲線y=o-lnx的一條切線,則。=.
【答案】-2
【解析】設(shè)切點(diǎn)為(毛,%),
y,則-■-=-1,所以%=1,所以切點(diǎn)為
%xo
又切線為尤+y+l=°,所以l+a+l=。,解得。=—2.
【典例3](23-24高三上?廣西南寧?月考)已知曲線y=lnr+2與y=ln(x+a)的公切線為y=kx+l-ln2,則
實(shí)數(shù)。.
【答案】1
【解析】由函數(shù)y=lnx+2,可得y'=!,
X
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(/,ln/+2),可得VI”;,則切線方程為y_(hn+2)=;d),
即y=L+ln%+l,與公切線y=H+l-ln2重合,可得ln/+l=l-ln2,
t
可得t=所以切線方程為,=2x+l-ln2,
2
對(duì)于函數(shù)y=ln(x+a),可得y'=」一,設(shè)切點(diǎn)為O,ln(%+“)),則/1=皿=」—
x+am+a
ln(m+a)=2m+1-In2
貝1ble,解得加=-g,a=L
-------=22
重難點(diǎn)02含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)
(1)導(dǎo)函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)討論(或零點(diǎn)有無(wú)意義);
(2)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi);
(3)導(dǎo)函數(shù)多個(gè)零點(diǎn)時(shí)大小的討論。
【典例1](23-24高三下?江西?月考)已知函數(shù)/(x)=x3-ar2+x(aeR).
(1)若。=1,求曲線了=/(%)在尤=1處的切線方程;
⑵若a>5討論/(x)的單調(diào)性.
a+yja~-3?__.,,
【答案】(1)2元一y-l=O;(2)增區(qū)間為-8,---------,+°°,臧區(qū)間為
7
a+一3、
31
【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí),/(x)=一X?+工,所以/'(%)=3%2-2x+l,
當(dāng)X=1時(shí),/,(1)=3-2+1=2,又/'(1)=1-1+1=1,
所以曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y-l=2(x-l),即2x-y-l=0.
(2)因?yàn)?(x)=丁_潑+了,所以/'(X)=3--2av+l,
令f'(x)=0,得至I]3/—2分+1=0,
因?yàn)锳=4l-12,又a>6,所以△=4/一12>0,即3/—2依+1=0有兩根,
由求根公式知兩根為王=佇正3,,且不<々,
勺323
所以,當(dāng)三1或彳>"1三時(shí),/(乃>0,
33
a+
<x<——
"零三,+/],減區(qū)間為(HM1,”正3).
故/(%)的增區(qū)間為一。,
【典例2】(2024?海南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ox(lnx-l),aeR.
(1)當(dāng)。=1時(shí),求曲線y=/(x)在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程;
(2)若函數(shù)g(x)=7'(x)-2x+3(/(乃為/⑴的導(dǎo)函數(shù)),討論g(x)的單調(diào)性.
【答案】(1)產(chǎn)x-e;⑵答案見解析.
【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí),/(x)=xlnx—x,求導(dǎo)得/'(%)=lnx+l-l=lnx,
則/r(e)=lne=l,/(e)=ex(lne-l)=0,
所以曲線)在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程為y—0=1x(%—e),即丁=%-e.
(2)函數(shù)〃=求導(dǎo)得/'(x)=a(lnx—l)+or」=Qlnx,
貝i]g(x)=al!LY—2x+3,其定義域?yàn)?0,+⑹,求導(dǎo)得g1x)=g—2=佇生,
XX
①若aWO,則g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;
②若a〉0,則當(dāng)xe(O,g)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,9上單調(diào)遞增,
當(dāng)尤eg,+oo)時(shí),g'(x)<0,函數(shù)g(x)在0|,+8)上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)aWO時(shí),8(力在(。,+巧上單調(diào)遞減;
當(dāng)。>0時(shí),g(x)在嗚)上單調(diào)遞增,在吟,+g)上單調(diào)遞減.
重難點(diǎn)03構(gòu)造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型
關(guān)系式為“加”型一構(gòu)造:
(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)構(gòu)造"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)
(2)xf'(x)+f(x)>0構(gòu)造W(x)[=#'(x)+/(x)
(3)/'(x)+/(x)>0構(gòu)造[e"(x)]'=e、"'(x)+/(x)]
(4)談(x)+4(x)N0構(gòu)造++(注意x的符號(hào))
(5)/⑴+"⑶構(gòu)造"(x)/r=r(x)/+4(x)a=*ir(x)+"(x)]
關(guān)系式為“減”型構(gòu)造:
(6)/'(x)g(x)-/(x)g'(x)構(gòu)造["%=7(x)g(x)-/(x)g(x)
g(無(wú))[g(尤)『
(7)xf\x)-f(x)>0構(gòu)造
XX
⑻r(x)-/(x)>o構(gòu)造[華]'=/(”)::,⑴優(yōu)=,⑴1/⑴
ex(ex)ex
(9)#'(%)-nf{x}>0構(gòu)造[駕I="⑴='⑴二歹'(注意》的符號(hào))
X(XJX
(10)r(x)-W)構(gòu)造[0],=生貯二空Q=g2Hl
[e^]2
【典例0(2024.山東聊城.三模)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)數(shù)為/(%),若當(dāng)%之。時(shí),f\x)>2x-\,
且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)蒼〃-x)=/(x)+2x,則不等式〃2xT)-〃x)<3f-5x+2的解集為()
A.(-?,1)B.C.D.卜叫一彳)。(1,+8)
【答案】B
【解析】因?yàn)?(-x)=/(x)+2x,
設(shè)g(%)=/(x)-Y+%,
則g(-x)=f(-x)-x2-x=/(x)+2x-x2-x=g(x),即g(x)為R上的偶函數(shù),
又當(dāng)兀之。時(shí),/'(%)>2x-l,
則g'(%)=m)-2%+1>。,所以g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,在(-8,0)上單調(diào)遞減,
因?yàn)榱?2x—1)—/(%)<3x2—5x+2,
所以/(2x—1)—(2x—l)2+(2x—1)</(x)—x2+x,
即g(2x—l)<g(x),所以即(2無(wú)一I?解得夫x<l.故選:B
【典例2](23-24高三上.河北?月考)己知函數(shù)/⑴及其導(dǎo)函數(shù)/■'(》)的定義域均為(0,+⑹,且
#'(x)>(x-l)f(x)恒成立,f(3)=e,則不等式。+4)/口+4)<3/2的解集為()
A.(-4,—1)B.(TDC.(―1,2)D.(—l,+oo)
【答案】A
【解析】由礦(x)>(x-D/(x),<+f(x)-xf(x)>0,
令g(x)=b,尤>0,則g'(x)=^d2學(xué)二型。>0,所以g(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增.
ee
又(x+4)/(x+4)<3e"2,得(x+4)?x+4)<2£gl,所以g(x+4)<g(3),
ee
所以0<x+4<3,解得一4<x〈一l.故選:A
【典例3](23-24高三上.山東荷澤?月考)若定義在R上的函數(shù)/⑺滿足/'(%)+2〃力>0,且“0)=1,
則不等式/(X)>上的解集為
【答案】(。,+8)
【解析】構(gòu)造尸(x)=〃x)j,
所以—(x)=r(x)-e2jc+/(%).2e2^=e2j:[/,(x)+2/(x)>0]>0,
所以一(x)在R上單調(diào)遞增,且尸(0)=/(0)0°=在
不等式可化為〃X產(chǎn)工>1,即產(chǎn)(x)>尸⑼,所以x>0,
所以原不等式的解集為(0,+8).
重難點(diǎn)04單變量不等式恒成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立,可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:
1、VXGD,m</(x)<^>m<
2、VXGD,m>
3、3xeD,相相</(%)力
4、3xeD,m>
【典例1](2024?河南.三模)若關(guān)于x的不等式尤+21nLz〃ix2+in〃/恒成立,則實(shí)數(shù)加的最大值為(
X
1P2
A.:B.—C.1D./
24
【答案】B
【解析】顯然首先加>0,x>0,
12ix、2ici】Infz/ix2)/9\
ex+x+2ln—>rwc+Inm<^>e+x>mx+lnm-21n—=e'7+InIznxI,
xxv7
令〃x)=e'+x,(x>0),貝U/'(x)=e,+l>0,(x>0),所以在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增,
所以若有/(x)N/(ln(〃£))成立,則必有x>ln(/?zx2)=lnffl+21nx,
即Inm〈尤一21nx對(duì)于任意的光>0恒成立,
9v-2
令g(x)=x—21nx,(x>0),貝1Jg'(x)=l――=------,
xx
當(dāng)0v犬<2時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x〉2時(shí),g'a)>0,g(%)單調(diào)遞增,
2
所以當(dāng)x=2時(shí),g(x)取得最小值g⑵=2-21n2=出],
222
從而InmVinJ,所以加的取值范圍是mW、,即實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為J.故選:B.
444
【典例2】(2024.陜西.二模)Vxe[l,2],有足工+二一啟。恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()
A.[e,+oo)B.[1,+co)C.1-,+^D.[2e,-koo)
【答案】C
【解析】因?yàn)閂X£[1,2],有1口工+/—1?0恒成立,
所以a2-fIn%+/在xE[1,2]上恒成立,
令//(x)=-x2Inx+x2,xG[1,2],
貝lj=—2xlnx—x+2x=—2xlnx+x=x(—21nx+l),
令〃(%)=0,得%=五,當(dāng)%w(l,⑹時(shí),"(x)>0,故4(x)在(1,五)上單調(diào)遞增,
當(dāng)xe(忘2)時(shí),〃(%)<0,故〃(%)在(捉,2)上單調(diào)遞減,
則五)=|",
所以。23,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍為9,+s].故選:C.
2L幺1
重難點(diǎn)05雙變量不等式與等式
一般地,已知函數(shù)y=/(x),xc[a,0,y=g[x},x&\c,d\
(1)若%e[a,可,Vx24Gd],總有/(石)<8(%2)成立,故/(%)1mx<8⑺皿;
(2)若%e[a,6],3x2e[c,J],有/(石)<g(%)成立,故〃X)1mx<g(%)1n;
(3)若上i?a,0,V%e[c,d],有〃菁)<g(%)成立,故)(同二可⑺皿;
(4)若玉1cLz?],Hr2&[c,d],有/a)<g(w)成立,故〃x)1nin<g(x)1mx?
【典例1](23-24高三上?江蘇常州.期中)已知函數(shù)〃x)=f+(2。-l)x-21nx,aeR.
(1)討論〃x)的單調(diào)性;
(2)對(duì)于Vxe[l,eQbe[2,4w),使得〃x)2b,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴答案見解析;⑵
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