3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)(第3課時拋物線的焦點弦的應(yīng)用)講義高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第3章圓錐曲線與方程3.3拋物線3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)(第3課時焦點弦的應(yīng)用)【研討·拓展】拋物線的焦點弦性質(zhì)拋物線的焦點弦有很多性質(zhì)，比如：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2；(2)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角，α≠0°)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值．運用這些性質(zhì)可以減少運算，使解決問題變得更加快捷．一、x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2的應(yīng)用【例1】已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－12，則拋物線C的方程為()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x【變式11】已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，準線l與y軸的交點為D，過點F的直線m與拋物線C交于A，B兩點，點O為坐標原點，則∠AOB是()A．直角B．銳角C．鈍角D．與點A，B位置有關(guān)二、|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)的應(yīng)用【例2】拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線的方程．【變式21】經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F，傾斜角為30°的直線l與C交于A，B兩點，若線段AB的中點M的橫坐標為7，那么p＝________．三、eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)的應(yīng)用【例3】過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于()A．4B．eq\f(9,2)C．5D．6【變式31】如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|＝4，則線段AB的長為()A．5B．6C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)四、以弦AB為直徑的圓與準線相切的應(yīng)用【例4】求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切．【變式41】過拋物線y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，以AB為直徑的圓與準線l的公共點為M，若∠AMF＝60°，則∠MFO的大小為()A．15°B．30°C．45°D．不確定【總結(jié)提煉】1．知識清單：拋物線焦點弦性質(zhì)的應(yīng)用．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：對焦點弦的性質(zhì)記憶混淆，導(dǎo)致出錯．【拓展強化】1．設(shè)AB為過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，則|AB|的最小值為()A．eq\f(p,2)B．pC．2pD．無法確定2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p23．已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(1,0)，過F的直線l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則下列直線與以AB為直徑的圓相切的是()A．y軸B．x＝－1C．x＝－2D．不存在4．已知AB是過拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點的弦．若|AB|＝4，則AB中點的縱坐標是()A．1B．2C．eq\f(5,8)D．eq\f(15,8)5．過拋物線C：y2＝8x的焦點F的直線交拋物線C于A，B兩點，若|AF|＝6，則|BF|等于()A．9或6B．6或3C．9D．36．已知拋物線y＝2x2的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，若直線MN過點F，則x1x2等于()A．－eq\f(1,8)B．－eq\f(1,16)C．－1D．－27．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F作斜率為1的直線l交拋物線C于P，Q兩點，則eq\f(1,|PF|)＋eq\f(1,|QF|)的值為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(7,8)C．1D．28．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝4，|BF|＝1，則p等于()A．eq\f(16,5)B．2C．eq\f(8,5)D．19．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，交其準線于點C，且A，C位于x軸同側(cè)．若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于()A．2B．3C．4D．510．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為()A．eq\f(3\r(3),4)B．eq\f(9\r(3),8)C．eq\f(63,32)D．eq\f(9,4)11．(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過拋物線的焦點F作直線與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且拋物線的準線與x軸的交點為M，則以下結(jié)論正確的是()A．x1x2＝eq\f(p2,4)B．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2C．∠AMB＝90°D．eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)12．(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，點P在l上的射影為P1，則下列說法正確的是()A．若x1＋x2＝6，則|PQ|＝8B．以PQ為直徑的圓與準線l相切C．設(shè)M(0,1)，則|PM|＋|PP1|≥eq\r(2)D．過點M(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條13．(多選)已知拋物線y2＝2px(p>0)上三點A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，則下列說法正確的是()A．拋物線的準線方程為x＝－1B．若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，則2|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|C．若A，F(xiàn)，C三點共線，則y1y2＝－1D．若|AC|＝6，則AC的中點到y(tǒng)軸距離的最小值為214．(多選)A．eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2B．四邊形ACBD面積的最小值為16p2C．eq\f(1,|AB|)＋eq\f(1,|CD|)＝eq\f(1,2p)D．若|AF|·|BF|＝4p2，則直線CD的斜率為－eq\r(3)15．已知直線l：y＝x－1經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝______．16．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則PQ的中點M到拋物線準線的距離為________．17．過拋物線y2＝2x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，則|AF|＝________．18．已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．19．已知點P(1，m)是拋物