3.2 勾股定理的逆定理 蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件

3.2勾股定理的逆定理回顧舊知勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c2我們知道直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

反過來，如果一個(gè)三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎?如圖3－7(1)，在△ABC中，a2＋b2＝c2，△ABC

是否為直角三角形?可以用如下方法證明△ABC

是直角三角形：畫Rt△A′B′C′，使∠C

＝90，BC′＝a，AC′＝b(如圖3－7(2)).根據(jù)勾股定理，可得AB2

＝a2＋b2因?yàn)锳B2＝a2＋b2，所以A′B′2

＝AB2，A′B′＝

AB.根據(jù)“SSS”，可證△ABC≌△A′B′C′.于是，∠C＝∠C′＝90°，

△ABC

是直角三角形.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足關(guān)系a2＋b2＝c2的3個(gè)正整數(shù)a、b、c

稱為勾股數(shù).練1判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC

中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c

滿足a∶b∶c＝3∶4∶5.判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形有兩種方法：1.如果已知條件與角度有關(guān)，那么可借助三角形的內(nèi)角和定理判斷是否有一個(gè)內(nèi)角是直角；2.如果已知條件與邊有關(guān)，一般利用勾股定理的逆定理，通過計(jì)算得出三邊的數(shù)量關(guān)系，判斷三角形的形狀.解法提醒:(1)在△ABC

中，∠A＝25°，∠C＝65°；解：在△ABC

中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∠A＝25°，∠C＝65°，∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，∴△ABC

是直角三角形.(2)在△ABC

中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；解：在△ABC

中，∵AC2＋BC2＝122＋162

＝202＝AB2，∴△ABC

是直角三角形.(3)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c

滿足a∶b∶c

＝3∶4∶5.解：設(shè)a＝3x，則b＝4x，c＝5x.∵(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC

是直角三角形.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟(1)“找”：找出三角形三邊中的最長(zhǎng)邊；(2)“算”：計(jì)算其他兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方；(3)

“判”：若兩者相等，則這個(gè)三角形是直角三角

形，否則不是.練2已知a、b、c

為△ABC

的三邊長(zhǎng)，且滿足：a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC

的形狀.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2+b2),即(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0.易錯(cuò)提醒：兩個(gè)因式的積為0，則有一個(gè)因式為0和兩個(gè)因式都為0兩種情況；判斷三角形形狀時(shí)，不僅要考慮是否為直角三角形，還要考慮是否為等腰三角形.本題易丟掉情況(2)，在化簡(jiǎn)過程中沒有考慮到a2－b2＝0的情況就直接在等式兩邊除以一個(gè)可能為0的數(shù)，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤.(1)當(dāng)a2－b2

≠0時(shí)，則有c2＝a2＋b2.∴△ABC是直角三角形.(2)當(dāng)a2－b2＝0，即a＝b

時(shí)，若a2＋b2－c2≠0，則△ABC

是等腰三角形；若a2＋b2－c2＝0，則△ABC是等腰直

角三角形.

綜上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”(plimpton322)的古巴比倫泥板.“普林頓322”泥板泥板摹真圖泥板上的一些神秘符號(hào)揭示了什么奧秘呢?經(jīng)過專家的潛心研究，發(fā)現(xiàn)這塊泥板文書實(shí)際是一張表格，表格里是些整數(shù)，計(jì)算考證表明，表格中的兩列數(shù)字恰好分別是直角三角形的斜邊和一條直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理算得另一條直角邊的長(zhǎng)(圖中左邊的一列)，竟然也是整數(shù)!圖中的數(shù)組都是勾股數(shù).現(xiàn)在，人們通過研究發(fā)現(xiàn)：勾股數(shù)有無(wú)數(shù)多組.勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：(1)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.判斷一組數(shù)是否為勾股數(shù)的一般步驟(1)“看”：看是不是三個(gè)正整數(shù)；(2)“找”：找最大數(shù)；(3)“算”：計(jì)算最大數(shù)的平方與兩個(gè)較小數(shù)的平方和；(4)

“判”：若兩者相等，則這三個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù)；

否則，不是一組勾股數(shù).1.勾股數(shù)有無(wú)數(shù)組；2.如果a，b，c是一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc(n

為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).特別提醒練3下列四組數(shù)據(jù)，不是勾股數(shù)的是(

)A.3，4，5

B.5，6，7

C.6，8，10

D.9，40，41B練習(xí)1.如圖，把12段同樣長(zhǎng)的繩子連成環(huán)狀，拉直點(diǎn)B到點(diǎn)C

之間的5段繩子，然后在點(diǎn)A

處將繩子拉緊，

則∠BAC

為直角.你能說明其中的道理嗎?解：∵AC2＋AB2＝32＋42

＝52＝BC2.∴△ABC

為直角三角形，且∠BAC＝90°.2.如果3條線段的長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足c2＝a2－b2，

那么由這3條線段組成的三角形是直角三角形嗎?

為什么?解：是直角三角形.由c2＝a2－b2，移項(xiàng)，得b2＋c2＝a2，所以這3條線段組成的三角形是以a為斜邊的直角三角形.3.下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎?為什么?(1)12，15，18；(2)11，60，61；解：不是勾股數(shù).因?yàn)?22＋152≠182，所以12，15，18不是勾股數(shù).解：是勾股數(shù).因?yàn)?12＋602＝612，所以11，60，61是勾股數(shù).(3)15，36，39；(4)12