專(zhuān)題03 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 9個(gè)考點(diǎn)清單題型解讀）2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第第頁(yè)清單03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（9個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號(hào)，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號(hào)；（當(dāng)差的符號(hào)不確定時(shí)，一般需要分類(lèi)討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負(fù)與實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)下結(jié)論）【清單02】不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱(chēng)性（等價(jià)于）傳遞性（推出）可加性（等價(jià)于可乘性注意的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)【清單03】重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【清單04】基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”號(hào)）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類(lèi)陷阱）【考點(diǎn)題型一】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小【解題方法】作差法，作商法【例1-1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法得到，進(jìn)而即可比較.【詳解】由，又a、b為實(shí)數(shù)，，，則，所以.【變式1-1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）設(shè)x是實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】通過(guò)差比較法證得兩者的大小關(guān)系.【詳解】，，因?yàn)?，所以，?【例1-2】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則（填入“＞”或“＜”）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作商法比較代數(shù)式的大小【分析】由均大于0，可用作商法，再化簡(jiǎn)后與1作大小比較，即可得出答案.【詳解】∵，即.又，.故答案為：>.【變式1-2】（23-24高一下·黑龍江鶴崗）設(shè)，比較與的大小【答案】【知識(shí)點(diǎn)】作商法比較代數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】，，，.【考點(diǎn)題型二】基本不等式（和為定值求積的最值）【解題方法】基本不等式【例2-1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】根據(jù)基本不等式求乘積的最大值，再檢驗(yàn)最小值的情況即可得解.【詳解】由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故有最大值，故C正確，BD錯(cuò)誤；令，解得或，又，所以取不到函數(shù)值0，故A錯(cuò)誤.故選：C.【變式2-1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式可求函數(shù)的最大值或?qū)⒃瘮?shù)變形為二次函數(shù)求最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出最大值.【詳解】法1：因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為4.法2：根據(jù)題意知，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象開(kāi)口向下，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，即.【例2-2】（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)已知結(jié)合應(yīng)用基本不等式得出乘積的最大值.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故ab的最大值為．故答案為：．【變式2-2】（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知，且滿足，則的最大值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式求積的最大值即可【詳解】因，由基本不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：【考點(diǎn)題型三】基本不等式（積為定值求和的最值）【解題方法】基本不等式【例3-1】（23-24高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知，的最小值為.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由均值不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：1【變式3-1】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故選：C【例3-2】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.【詳解】由，得，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.故選：A【變式3-2】（23-24高一下·河北·期末）已知，且，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)榍遥?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為.故答案為：．【考點(diǎn)題型四】基本不等式（湊項(xiàng)（系數(shù)））【解題方法】拼湊項(xiàng)，化整體，利用基本不等式【例4-1】（24-25高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最小值為，此時(shí)等于.【答案】2111【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：；【變式4-1】（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解，注意基本不等式的成立的條件.【詳解】因?yàn)?，則，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為4.故選：A.【例4-2】（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意，得出，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．故答案為：.【變式4-2】（24-25高三上·河北邯鄲·開(kāi)學(xué)考試）已知，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值【分析】根據(jù)用1的活用，結(jié)合常值代換應(yīng)用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【考點(diǎn)題型五】基本不等式（常數(shù)代換法）【解題方法】將已知條件中的等式與目標(biāo)式相乘【例5-1】（23-24高一上·河北保定）已知為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)條件對(duì)變形，利用均值不等式求解即得.【詳解】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.【變式5-1】（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由題可得，化簡(jiǎn)利用基本不等式即可得出結(jié)論．【詳解】正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故答案為：．【例5-2】（23-24高一下·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由題設(shè)條件得，，利用基本不等式求出最值．【詳解】由已知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以時(shí)取最小值．故答案為：【變式5-2】（24-25高一上·廣東梅州·開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則的最小值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)閤>0，，且，可得，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)；所以的最小值為；故答案為：【考點(diǎn)題型六】基本不等式（消元法）【解題方法】帶入消元【例6-1】（23-24高二下·天津紅橋·期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】由得，得到，進(jìn)而，所以，由均值不等式求得最小值.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A.【變式6-1】（23-24高二下·天津河?xùn)|·期末）已知正數(shù)x，實(shí)數(shù)y滿足，則的最小值為.【答案】/0.75【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】由已知條件可得，代入并利用基本不等式求解即得.【詳解】由正數(shù)x，實(shí)數(shù)y滿足，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：【例6-2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，且，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】由已知可得，代入變形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，因?yàn)?，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【變式6-2】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由為正實(shí)數(shù)，且，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值9.故選：C.【考點(diǎn)題型七】基本不等式（二次與二次（或一次）商式）【解題方法】分離常數(shù)法【例7-1】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）（1）若，且，求的最小值；（2）若，求x2?2x+2【答案】（1）18；（2）-1.【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、二次與二次（或一次）的商式的最值【解析】（1）可將已知條件作適當(dāng)變形，利用“1”的活用，將變形，用基本不等式求最小值（2）將式子變形成，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故當(dāng)，取最小值18.（2）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即若，x2?2x+22x?2的最大值為【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【變式7-1】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.【答案】（1）函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，將代入整理得，利用基本不等式求解即可；【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）令，將代入得：，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值的問(wèn)題.屬于中檔題.【例7-2】（23-24高一上·天津和平·階段練習(xí)）設(shè).（1）若對(duì)于一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若且，求的最大值及對(duì)應(yīng)的的值.【答案】（1）；（2）最大值為，對(duì)應(yīng)的的值為.【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題【解析】（1）先討論當(dāng)?shù)那闆r，當(dāng)時(shí)，結(jié)合開(kāi)口方向及根的判別式，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將代入先化簡(jiǎn)，借助基本不等式即可求出最大值及對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】解：（1）由已知，對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，只需，解得.故的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為，對(duì)應(yīng)的的值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式恒成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，考查基本不等式在求解最值問(wèn)題中的應(yīng)用，難度一般.【變式7-2】（23-24高一下·四川成都）已知.（1）解不等式；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】（1）由得出，將不等式變形為，解此不等式，結(jié)合可得出原不等式的解集；（2）將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值.【詳解】（1）由可得，由可得，即，解得或，由于，因此，不等式的解集為；（2）由可得，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解，同時(shí)也考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.【例7-3】（23-24高三上·江蘇常州）求函數(shù)的最小值.【答案】最小值為2.【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【解析】先求出函數(shù)的定義域，再將函數(shù)化簡(jiǎn)到，然后利用基本不等式即可求出最小值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到“”.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.【變式7-3】（23-24高一上·上海寶山·階段練習(xí)）已知，則的最大值為;【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】當(dāng)時(shí)，，，然后利用基本不等式求最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【考點(diǎn)題型八】在實(shí)際問(wèn)題中判斷使用基本不等式求最值【解題方法】基本不等式【例8-1】（24-25高二上·湖南郴州·開(kāi)學(xué)考試）由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買(mǎi)肉方案.第一種方案：每次買(mǎi)3斤豬肉；第二種方案：每次買(mǎi)50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是（

）A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無(wú)法確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】設(shè)兩次購(gòu)買(mǎi)豬肉的價(jià)格分別為，，表達(dá)出兩種方案購(gòu)買(mǎi)的均價(jià)，結(jié)合基本不等式比較出大小，得到答案.【詳解】不妨設(shè)兩次購(gòu)買(mǎi)豬肉的價(jià)格分別為，，第一種方案，均價(jià)為，第二種方案，均價(jià)為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以采用第二種方案劃算.故選：B【變式8-1】（23-24高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)s（單位：萬(wàn)元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤(rùn)最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間t為年．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】求出年平均利潤(rùn)函數(shù)，利用均值不等式求解即可.【詳解】依題意，年平均利潤(rùn)為,由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間時(shí)，年平均利潤(rùn)最大.故答案為：7.【例8-2】（23-24高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價(jià)為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，花費(fèi)記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為b個(gè)，朱古力蜂果蛋糕購(gòu)買(mǎi)數(shù)量為a個(gè)，花費(fèi)記為．（其中）(1)試問(wèn)哪種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)更少？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若a，b，x，y同時(shí)滿足關(guān)系，求這兩種購(gòu)買(mǎi)方案花費(fèi)的差值S最小值（注：差值花費(fèi)較大值-花費(fèi)較小值）．【答案】(1)采用方案二；理由見(jiàn)解析(2)24【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）列出兩種方案的總費(fèi)用的表達(dá)式，作差比較，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，利用換元法和基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：方案一的總費(fèi)用為（元）；方案二的總費(fèi)用為（元），由，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花費(fèi)更少.（2）解：由（1）可知，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以差的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以?xún)煞N方案花費(fèi)的差值最小為24元.【變式8-2】（23-24高二上·湖南永州·階段練習(xí)）某種汽車(chē)，購(gòu)車(chē)費(fèi)用是12萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.88萬(wàn)元，年維修費(fèi)用第一年是0.24萬(wàn)元，以后每年遞增0.24萬(wàn)元，問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年時(shí)，它的年平均費(fèi)用最少？（提示：年平均費(fèi)用=）【答案】10年【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】設(shè)出未知數(shù)，得到關(guān)系式，利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)使用年時(shí)，汽車(chē)的年平均費(fèi)用（萬(wàn)元）最少，依題意有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最少值3.4，故汽車(chē)使用10年時(shí)平均費(fèi)用最省.【考點(diǎn)題型八】不等式中的新定義題【例9-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）設(shè)是不小于1的實(shí)數(shù).若對(duì)任意，總存在，使得，則稱(chēng)這樣的滿足“性質(zhì)1”(1)分別判斷和時(shí)是否滿足“性質(zhì)1”;(2)先證明:若，且，則;并由此證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.(3)求出所有滿足“性質(zhì)1”的實(shí)數(shù)t【答案】(1)不滿足性質(zhì)1，不滿足性質(zhì)1.(2)證明見(jiàn)詳解(3)【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)證明不等式【分析】（1）分別舉反例證明和時(shí)性質(zhì)1不成立；（2）先分別就，討論證明若，且，則，再利用這個(gè)結(jié)論可得證；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論可得解.【詳解】（1）記，，假如，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，均有，不滿足要求；假如，則當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，均有，，若，同正或同負(fù)，則，其余情況下總有，不滿足要求.（2）先來(lái)證明：若，且，則，同時(shí)該結(jié)論記為引理.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，又，所以.所以若，且，則.下面證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得，若，則取，此時(shí)，其中，，且，由引理可得，若，則取，此時(shí)，其中，，且，故由引理可得，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可取，使得，理由如下：當(dāng)時(shí)，取，則；當(dāng)時(shí)，取，則，則，故，同理，可取，使得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得.結(jié)合（2）的結(jié)論可得，對(duì)任意，總存在，使得.綜上，所有滿足性質(zhì)1的實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：此題考查等式和不等式的新定義問(wèn)題，屬于難題.（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，分別舉反例證明和時(shí)性質(zhì)1不成立；（3）分別就，分類(lèi)討論證明若，且，則，再利用這個(gè)結(jié)論證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得；再證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總存在，使得，注意完備性.【例9-2】（23-24高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）若存在常數(shù)，使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)都有，，則稱(chēng)是與的分隔直線函數(shù)．當(dāng)時(shí)，被稱(chēng)為雙飛燕函數(shù)，被稱(chēng)為海鷗函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，取．求的解集；(2)判斷：當(dāng)時(shí)，與是否存在著分隔直線函數(shù)．若存在，請(qǐng)求出分隔直線函數(shù)解析式；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)存在分隔直線函數(shù)，解析式為，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】解含有參數(shù)的一元二次不等式、函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）將不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)n分類(lèi)討論解不等式；（2）對(duì)m，n分類(lèi)討論找出介于兩個(gè)函數(shù)值之間的函數(shù)解析式.【詳解】（1），時(shí)，，可化為，即，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為或x>1.（2）若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；若，，當(dāng)時(shí)，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；綜上所述，與的分隔直線函數(shù)解析式為.提升訓(xùn)練一、單選題1．（22-23高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，均成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的恒成立問(wèn)題【分析】由恒成立，利用基本不等式，分別討論當(dāng)，，時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】若；若，，因?yàn)椋?；若，，因?yàn)椋裕?，?故選：B．2．（24-25高三上·山東·開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)一元二次不等式解集與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系可得，再由基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】由不等式的解集為，可知1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，由韋達(dá)定理可得，即可得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；即可得.故選：D3．（24-25高三上·江蘇徐州·開(kāi)學(xué)考試）已知且，則的最小值為（

）A．12 B． C．16 D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)乘1法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.4．（23-24高一上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，對(duì)均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)都恒成立，結(jié)合二次函數(shù)以及一次的性質(zhì)即可求解.【詳解】，對(duì)均有成立，在上單調(diào)遞增，，依題意有對(duì)均有成立，即在時(shí)恒成立，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．5．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．38【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：A6．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若不等式對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題【分析】分和兩種情況討論，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到的取值范圍.【詳解】時(shí)，原不等式化為，解得，不對(duì)所有的恒成立，不符合題意；時(shí)，原不等式為一元二次不等式，要對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，則二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下且與軸無(wú)交點(diǎn)，從而，解得，所以，的取值范圍為，故選：B.7．（25-26高一上·上?！ふn后作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的應(yīng)用、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】由，得，則化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.【詳解】由，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．8．（23-24高一下·天津薊州·階段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問(wèn)題【分析】分類(lèi)討論，利用判別式小于0，即可得到結(jié)論【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解之得，綜上可得故選：D二、多選題9．（24-25高二上·河南駐馬店·開(kāi)學(xué)考試）若正數(shù)a,b滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可得出A正確，將等式整理變形可得，即B正確，由不等式性質(zhì)計(jì)算可得C正確，利用基本不等式可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】由題可知：對(duì)于A，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；對(duì)于B，由可得，可得，同理可得，所以，所以；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即B正確；對(duì)于C，由可得，又，所以，即，，可得，即可得，即C正確；對(duì)于D，由可得，即；因此，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即D錯(cuò)誤；故選：ABC10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】由，得，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：CD三、填空題11．（24-25高三上·福建莆田·開(kāi)學(xué)考試）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用