2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊（配湘教版）教學(xué)課件 5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

第5章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課標要求1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1,=tanα.2.會用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系(1)公式:sin2α+cos2α=1;(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商數(shù)關(guān)系(1)公式:=tanα,cosα≠0;(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.名師點睛1.基本關(guān)系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函數(shù)關(guān)系,公式中的角可以是具體的數(shù)值,也可以是變量,可以是單項式表示的角,也可以是多項式表示的角.3.sin2α是(sin

α)2的簡寫,讀作“sin

α的平方”,不能將sin2α寫成sin

α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,兩者是不同的.過關(guān)自診1.sin22024°+cos22024°=(

)A.0 B.1

C.2024 D.2024°B解析

由平方關(guān)系知sin22

024°+cos22

024°=1.2.若sinθ+cosθ=0,則tanθ=

.

-1重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1.已知某個三角函數(shù)值,求其余三角函數(shù)值

規(guī)律方法

1.已知某個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值的步驟第一步:由已知三角函數(shù)的符號,確定其角終邊所在的象限;第二步:依據(jù)角的終邊所在象限分類討論;第三步:利用同角三角函數(shù)關(guān)系及其變形公式,求出其余三角函數(shù)值.2.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值時要注意常見“勾股數(shù)”的應(yīng)用,即(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13).2.已知tanα,求關(guān)于sin

α和cos

α齊次式的值【例2】

已知tanα=2,則-11規(guī)律方法

已知tan

α,求關(guān)于sin

α和cos

α齊次式的值的基本方法

3.利用sinα+cosα,sinα-cosα與sinαcosα

之間的關(guān)系求值【例3】

已知sinα+cosα=,α∈(0,π),求tanα的值.規(guī)律方法

1.由(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α,(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α可知如果已知sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三個式子中任何一個的值,那么就可以利用平方關(guān)系求出其余的兩個.2.sin

θ±cos

θ的符號的判定方法(1)sin

θ-cos

θ的符號的判定方法:由三角函數(shù)的定義知,當θ的終邊落在直線y=x上時,sin

θ=cos

θ,即sin

θ-cos

θ=0;當θ的終邊落在直線y=x的上半平面區(qū)域內(nèi)時,sin

θ>cos

θ,即sin

θ-cos

θ>0;當θ的終邊落在直線y=x的下半平面區(qū)域內(nèi)時,sin

θ<cos

θ,即sin

θ-cos

θ<0.如圖1所示.(2)sin

θ+cos

θ的符號的判定方法:由三角函數(shù)的定義知,當θ的終邊落在直線y=-x上時,sin

θ=-cos

θ,即sin

θ+cos

θ=0;當θ的終邊落在直線y=-x的上半平面區(qū)域內(nèi)時,sin

θ>-cos

θ,即sin

θ+cos

θ>0;當θ的終邊落在直線y=-x的下半平面區(qū)域內(nèi)時,sin

θ<-cos

θ,即sin

θ+cos

θ<0.如圖2所示.變式訓(xùn)練1CD探究點二應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡【例4】

化簡下列各式:規(guī)律方法

三角函數(shù)式的化簡過程中常用的方法(1)化切為弦,即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達到化簡的目的.(2)對于含有根號的,常把根號下式子化成完全平方式,去根號,達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達到化簡的目的.變式訓(xùn)練2探究點三應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明恒等式1.一般恒等式的證明

規(guī)律方法

三角恒等式的證明方法非常多,其主要方法有:(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo),一般由繁到簡;(2)左右歸一,即證明左右兩邊都等于同一個式子;(3)化異為同法,即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對性地變形,以消除差異;變式訓(xùn)練32.給出限制條件的恒等式證明問題【例6】

已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1.規(guī)律方法

含有條件的三角恒等式的證明的基本方法同前面,但應(yīng)注意條件的利用,常用方法有:①直推法:從條件直推到結(jié)論;②代入法:將條件代入到結(jié)論中,轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明;③換元法.變式訓(xùn)練4

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標123456D123456D1234563.下列結(jié)論能成立的是(

)C123456解析

A中,sin2α+cos2α≠1,故A選項不成立;D中,tan

α·cos

α≠sin

α,故D選項不成立.123456A123456sinα1234566.求證:2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.證明

(方法1)左邊=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α=1+sin2α+cos2α-2sin

αcos

α+2(cos

α-sin

α)=1+2(cos

α-sin

α)+(cos

α-sin

α)2=(1-sin

α+cos

α)2=右邊.所以原式成立.(方法2)左邊=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α,右邊=1+sin2α+cos2α-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α.故左邊=