浙江省杭州市蕭山中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月階段性測(cè)試試題含解析

PAGE13-浙江省杭州市蕭山中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月階段性測(cè)試試題（含解析）本卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘一.選擇題：（本題共10小題，每題4分，共40分）1.等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：原式．考點(diǎn)：三角恒等變換．2.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)，和向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-1 B.-2 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示干脆得到關(guān)于的方程，解之即可.詳解】，（3，3），∵，則，即，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.3.若A是的內(nèi)角，滿意，則A的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將已知變形為兩角和的正切公式形式，結(jié)合特別角的三角函數(shù)值，干脆計(jì)算.【詳解】由題意：，又A是內(nèi)角，所以A=故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.36 B.72 C.144 D.288【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，又，，故選B.5.已知向量，，是表示平面內(nèi)全部向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】推斷各組所給向量是否共線，即可得出答案?！驹斀狻拷猓簩?duì)于A，向量與是不共線的兩個(gè)向量，能作為基底。對(duì)于B，向量與是不共線的兩個(gè)向量，能作為基底。對(duì)于C，因?yàn)?，所以與共線，不能作為一組基底．對(duì)于D，向量與是不共線的兩個(gè)向量，能作為基底。故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的基本定理與應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。6.已知的三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，且其中一角為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】C【解析】【分析】由已知可求最大角的值，設(shè)三邊長(zhǎng)為x，x+2，x+4，利用余弦定理即可解得邊長(zhǎng)，從而可求周長(zhǎng)．【詳解】∵最大角為，且三邊長(zhǎng)成公差為2的等差數(shù)列，不妨設(shè)三邊長(zhǎng)為x，x+2，x+4，則由余弦定理可得：（舍），故周長(zhǎng)為3+5+7＝15．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7.在中，，，若這樣的三角形有兩個(gè)解，則邊a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆利用三角形兩解的充要條件求出結(jié)果．【詳解】在△ABC中，，，若此三角形有兩解必需滿意的條件為：b＞a＞bsinA，即：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：三角形兩解的充要條件的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，取得最小值時(shí)n的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，若Sn取得最小值時(shí)則且，解得n即可.【詳解】∵，，可得，∴且單調(diào)遞增，若取得最小值，則且，∴n等于6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及單調(diào)性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．9.一船沿北偏西方向航行，正東有兩個(gè)燈塔A,B,海里，航行半小時(shí)后，望見一燈塔在船的南偏東，另一燈塔在船的南偏東，則這艘船的速度是每小時(shí)（）A.5海里 B.海里 C.10海里 D.海里【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意作出對(duì)應(yīng)的三角形，結(jié)合正弦定理及三角形的邊角關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.△AOC中,由正弦定理可得，∴，∴，∴這艘船速度是每小時(shí)海里，故選D.【點(diǎn)睛】正弦定理是解三角形有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（肯定要留意探討鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.10.已知向量，滿意，與的夾角是，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由|x2|≥||，可得，即0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，可得△≤0，解出即可．【詳解】∵||＝1，與的夾角為，∴|x2|≥||，化為，即0，∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|x2|≥||恒成立，∴40，化為，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、一元二次不等式的解法與判別式的關(guān)系，考查了推理實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．二.填空題：（本題共7小題，前4題每空3分，后3題每空4分，共36分）11.________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】干脆利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式，特別角的三角函數(shù)值，求出即可．【詳解】，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及誘導(dǎo)公式，考查計(jì)算實(shí)力．12.已知，，且，則實(shí)數(shù)________，向量在向量上的投影為________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】求出及的坐標(biāo)，依據(jù)向量平行列方程解出；利用投影公式計(jì)算向量在向量上的投影即可．【詳解】∵（﹣3，﹣1），又，∴﹣（+2）＝3(3+1)，解得．又在上的投影為||?cos．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．13.若A是的內(nèi)角，函數(shù)，則當(dāng)________時(shí)，函數(shù)的最小值為________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得cosA的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最小值．【詳解】∵函數(shù)f（A）＝2cos2A﹣2cosA﹣1，∵0＜A＜π，∴cosA∈(，故當(dāng)cosA時(shí)，即當(dāng)時(shí)，f（A）取得最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．14.如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則x=_____，y=____．【答案】；【解析】作，設(shè)，，由解得故15.已知，為銳角，，，則的值為________.【答案】【解析】試題分析：依題意，所以，所以.考點(diǎn)：三角恒等變換．16.在中，若，則的值是________.【答案】1【解析】【分析】由正弦定理可知，sin2B＝sinAsinC，利用三角形的內(nèi)角和，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)cos（A﹣C）+cosB+cos2B，然后利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可．【詳解】∵b2＝ac，利用正弦定理可得sin2B＝sinAsinC．∴cos（A﹣C）+cosB+cos2B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）+cos2B＝2sinAsinC+cos2B＝2sin2B+（1﹣2sin2B）＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和正弦定理的運(yùn)用，解題時(shí)要留意公式的合理選用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．17.如圖，在中，，是邊上一點(diǎn)，，則．【答案】【解析】【詳解】由圖及題意得

，

=

∴

=(

)(

)=

+

=

=

.三.解答題：（本題共4小題，18、19每題10分，20、21每題12分，共44分）18.在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若，（1）求角A的大??；（2）若，且，求邊長(zhǎng)c.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)余弦定理公式即可求出；（2）依據(jù)正弦定理和二倍角公式即可求出a＝b，再依據(jù)三角形的面積公式求出a，再依據(jù)余弦定理即可求出邊長(zhǎng)c．【詳解】（1）由，∴a2＝b2+c2bc，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A（2）依據(jù)正弦定理可知：，利用二倍角公式可知：由此可知sinA＝sinB，∴a＝b，∴C＝π，∴S△ABCabsinCa2解得a＝2，由余弦定理可得c2＝b2+a2﹣2abcosC＝4+4﹣2×2×2×（）＝12，∴c＝2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理余弦定理三角形的面積公式和二倍角公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題19.已知，是兩個(gè)不共線的非零向量，，，且與的夾角是120o，（1）求的大??；（2）記，，，若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）且【解析】【分析】（1）由，綻開后代入數(shù)量積公式求得答案．（2）向量與的夾角為銳角可得，解得λ的范圍，再依據(jù)與共線且方向相同時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的λ的值，進(jìn)而得到λ的取值范圍．【詳解】（1）（2）；；若向量與的夾角為銳角，∴，∴當(dāng)向量與同向共線時(shí)：不妨令，得又與不共線，∴有符合.綜上所述當(dāng)實(shí)數(shù)且時(shí)，向量與的夾角為銳角.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的求法，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．20.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，對(duì)于隨意，恒成立，（1）求a的值；（2）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若方程（m是常數(shù)），在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)根的和.【答案】（1）（2）當(dāng)，，當(dāng)，【解析】【分析】（1）由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，依據(jù)可求a；（2）求出函數(shù)y＝g（x）的解析式，再將化簡(jiǎn)得到，作出函數(shù)y＝sin（2x）的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】（1）對(duì)于隨意，∴，得（2），令，可得對(duì)稱軸為，作出的圖像如圖：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則由圖可得：當(dāng)，，當(dāng)，【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象變換，函數(shù)圖像的應(yīng)用與性質(zhì)，是中檔題．21.設(shè)等差數(shù)列滿意，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大項(xiàng)的值；（3）數(shù)列滿意，問(wèn)是否存在正整數(shù)k，使得成等差數(shù)列？若存在，求出k和m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）最大項(xiàng)的值為1（3）不存在，詳見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1，由條件列得方程組，解可得d與a1，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得答案；（2）干脆利用的單調(diào)性，即可得出．（3）結(jié)合（1）知．要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，可得2b2＝b1+bm，代入化簡(jiǎn)運(yùn)算即可得出．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為