巧用旋轉(zhuǎn)化歸元素-國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

解題思路常需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)化歸元素，即將元素集中或分散，從而巧妙解決較難的幾何問(wèn)題，考驗(yàn)學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力。應(yīng)用“圖形的旋轉(zhuǎn)”對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題展開(kāi)研究，把靜止的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)，掘?qū)W生的動(dòng)態(tài)思維過(guò)程。幾何問(wèn)題變換雖然難度較大，若能針對(duì)題目的本質(zhì)特征，合理的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)[2]。【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)；集中；分散；元素【收稿日期】2023年11月8日【出刊日期】2023年12月15日【DOI】10.12208/j.aam.20230021【Abstract】Inrecentyears,thmiddleschoolexam.Althoughthereisnoword“rotation”inthegeometryproblem,thesdifficultgeometricproblemsskillfully,andtesapplicationof“rotationofgraphics”tothestudyofthemotionofgeometricfigures,thetransformationofstaticproblemsintodynamicproblems,caknowledge,andconstructnewgraphics.theteachingofthisunit.Althoughthetransformationofgeometricproblemsisdifficult,ifwecrotationaccordingtotheessentialcharacteristicsoftheproblem,wecanoftentransformthedifficultintoe【Keywords】Rotation;且等腰三角形ABC具備“共端點(diǎn)，等線段”的條件，則可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ADP使AC和AB重合，將PC這一分散的線段轉(zhuǎn)化為BD，基于等邊三角形性質(zhì)可將PA、PB、PC集中在直角三角形DBP中，問(wèn)題得解。解：將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ADP，連接DP（如圖2）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得:評(píng)析：當(dāng)題目背景為特殊的等腰三角形時(shí)，則具備構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件—“共端點(diǎn)，等線段”。對(duì)于如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，考慮旋轉(zhuǎn)三要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向）。該題也可以以A為旋轉(zhuǎn)中心將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，或以B為旋轉(zhuǎn)中心將△BPA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60方式。但將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到結(jié)果最直接，因?yàn)榇藭r(shí)保持問(wèn)題中目標(biāo)元素上APB所在△APB不動(dòng)，集中分散元素PC于BD上。因此，考慮如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)應(yīng)根據(jù)題目條件和問(wèn)題恰當(dāng)選擇，集中條件元素，保持求解元素不動(dòng)。本題也可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。同意可易解題。例2如圖3，在等腰直角三角形ABC中，上A=90。,AB=AC，D在斜邊BC上任一點(diǎn)。求證:BD2分析：若將AD、DC視作△ADC的兩邊，線段BD為該題的分散元素，要與BD建立聯(lián)系，在等腰直角三角形ABC背景下滿足構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的條件，則將分散元素線段BD通過(guò)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)△ABP轉(zhuǎn)化到線段CE中問(wèn)題解決。該題同樣可以視線段DC為分散元素，此時(shí)則旋轉(zhuǎn)△ADC使得三個(gè)線段集中。解：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACE，連接DE（如圖4）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得:。，于是。+45。=90。，在直角三角形DCE中，DC2+CE2=DE2。在等腰直角三角形ADE中，易知2AD=DE，即2AD222。評(píng)析：本題以線段為突破點(diǎn)，通過(guò)集中的化歸思想，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)使線段集中于一個(gè)三角形中，問(wèn)題輕松解決。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把題目中的條件集中起來(lái)，為證明題目的結(jié)論創(chuàng)造必要的條件[1]。例3如圖5，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，AF平分上EAD與CD相交于點(diǎn)F，分析：?jiǎn)栴}三條線段分散在不同三角形，該題視AE、BE為分散元素，則以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)后使等線段AB與AD重合，線段AE、BE轉(zhuǎn)化到AE'、DE'上，只需求AE'、FE'的關(guān)系。AE'=FE'=DF+DE'=DF+BE，又AE'=AE可得AE=BE+DF。評(píng)析：該題也可視DF為分散元素一樣解題。以構(gòu)造旋轉(zhuǎn)法為關(guān)鍵，將分散元素集中，使不共線的線點(diǎn)作一個(gè)60。角，使其兩邊交于AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)。滿足旋轉(zhuǎn)條件，故構(gòu)造旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)和為大角二分之一的角合并，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)即可解DF=DN,BF=NC,上FDN=120。，于是有上FDM=120。?60。=60。=上NDM，所以△FDM?△NDM(SAS)，可得MF=MN，則L△AMN=AM+MN+AN=AM+MF+AN=AF+AN=AB+BF+AN=AB+NC+AN=AB+AC=6。評(píng)析：當(dāng)“共頂點(diǎn)，等線段”的兩條邊形成的夾角中有一個(gè)半角時(shí)，即角度為夾角的二分之一，可以通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)將被半角分割的兩個(gè)和為夾角二分之一的角合并，構(gòu)造全等三角形來(lái)解決例5如圖9，在等腰直角三角形ABC中，上BAC=90。，AB=AC，M,N為斜邊BC上兩點(diǎn)且上MAN=45。，求證:BM2+CN2=MN2。分析：由需證明的問(wèn)題為勾股定理形式，自然聯(lián)想到將三邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)直角三角形中，題目中存在半角模型，上MAN=上BAC，在等腰直角三角形背景下滿足旋轉(zhuǎn)條件，則以A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△ABM，解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACD，連接ND（如圖10）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得:CD2+CN2=ND2，即BM2+CN2=MN2。以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABE解題。解：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABF'（如圖12）?；谛D(zhuǎn)性質(zhì)有：上DBE=上ABE+上DBC=上CBE+上DBC=上DBE'，易證△DBE?△DBE'，所以有DE=DE'，又因?yàn)樵u(píng)析：無(wú)論題目背景是三角形、四邊形，甚至多邊形，若出現(xiàn)半角模型且滿足旋轉(zhuǎn)條件，基本思路都是利用旋轉(zhuǎn)變化集中兩個(gè)和為半角的角，形成全等三角形分析：題目已知條件和問(wèn)題分散不同三角形中，基于上述例題認(rèn)識(shí)，保持PA不動(dòng)，將條件元素邊PB、PC和角上BPC通過(guò)旋轉(zhuǎn)與邊PA集中，則選擇以B為旋轉(zhuǎn)中心，將△BPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，問(wèn)題解：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BDA，連接DP（如圖16）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得:。?60。=90。+22=。評(píng)析：以題目條件邊和角作為突破點(diǎn)，恰當(dāng)選擇旋轉(zhuǎn)變化三要素，目的是讓分散元素邊和角與所求元素集中，通過(guò)旋轉(zhuǎn)這一橋梁將看似無(wú)法下手的幾何例9如圖17，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是三角形ABC借助旋轉(zhuǎn)分散兩條線段，PB轉(zhuǎn)化到DC上，基于旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和已知條件可以解決問(wèn)題。解：將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ADC，旋轉(zhuǎn)角度為上BAC，連接DP（如圖18）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)M是CE的中點(diǎn)，連接AM、DM。求證AM丄DM。分析：M是CE的中點(diǎn)滿足“共端點(diǎn)，等DB=DE分散到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，即把DE轉(zhuǎn)化到CF上，再構(gòu)造全等三角形即可解題。解：將△DEM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。到△FCM，連接AD、AF（如圖20）。由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得:。AB=AC,BD=CF，易證明△ACF?△ABD(SAS)，故AD=AF評(píng)析：遇線段中點(diǎn)也滿足構(gòu)造旋轉(zhuǎn)條件，利用旋轉(zhuǎn)將集中元素合理分散，也是一種解題思路，體現(xiàn)了本文僅基于?？紙D形三角形、四邊形和五邊形進(jìn)行討論，但值得強(qiáng)調(diào)的是，無(wú)論以什么圖形為背景，只要蘊(yùn)含“共端點(diǎn)，等線段”條件，常以等腰三角形，等腰直角三角形，等邊三角形或正方形為載體或以中點(diǎn)形式出現(xiàn)，可能需要借助以這個(gè)公共點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造圖形旋轉(zhuǎn)來(lái)求解問(wèn)題[2];如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)主要遵循以下幾個(gè)思路：一是如果題目條件和結(jié)論的元素較分散，應(yīng)保持結(jié)論的邊或角位置不變，旋轉(zhuǎn)題目條件中的元素所在三角形至等線段的另一邊，從而是分散元素轉(zhuǎn)化到同一個(gè)圖形中，可以輕松解決問(wèn)題;二是如總之，旋轉(zhuǎn)變換建立起了條件和結(jié)論之間的“橋梁”旋轉(zhuǎn)后的圖形直觀以及旋轉(zhuǎn)方式多樣，便于問(wèn)題的順其規(guī)律，熟練掌握、靈活應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)就可以讓平面幾何中的某些問(wèn)題迎刃而解，起到事半功倍的過(guò)程。幾何問(wèn)題變換雖然難度較大，若能針對(duì)題目的本質(zhì)特征，合理的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)，往往可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)[7]。[1]張東芳,濮安山.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換巧解中考數(shù)學(xué)題例析[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2022(22):39-41.[2]趙生初,許正川,盧秀敏.圖形的旋轉(zhuǎn)在解題實(shí)踐中的探索與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2012,51(07):33-38.[3