第3章圓（壓軸題專練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊單元速記巧練（北師大版）

第3章圓（壓軸題專練）目錄：題型1：圓與三角形、四邊形綜合題型2：圓與相似三角形、解直角三角形題型3：圓與二次函數(shù)題型4：圓在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用題型5：與圓有關(guān)的動態(tài)問題題型6：切線問題題型7：正多邊形與圓、弧長問題題型1：圓與三角形、四邊形綜合1．是上的一條不經(jīng)過圓心的弦，，在劣弧和優(yōu)弧上分別有點A，B（不與M，N重合），且，連接，．(1)如圖1，是直徑，交于點C，，求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，，過點O作交于點D，求證：；(3)如圖3，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在，16【分析】（1）如圖1，根據(jù)圓周角定理得到；由圓周角、弧、弦的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)推知，，易得的度數(shù)；（2）如圖2，連接，，，利用圓周角、弧、弦的關(guān)系和平行線的性質(zhì)推知：；根據(jù)等腰的性質(zhì)知：；結(jié)合的內(nèi)角和定理得到：，即；（3）設(shè)，．如圖3，延長至點，使，連接，作于點E．構(gòu)造全等三角形：，則該全等三角形的對應(yīng)邊相等，，由勾股定理知，，代入化簡即可得到該結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，∵是的直徑，∴．∵，∴．∵，∴，∴；（2）解：如圖2，連接，，．∵，∴．又∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴；（3）解：如圖3，延長至點，使，連接，作于點E．設(shè)，．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，．∵于點E．∴．∵，∴．化簡得，∴．【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查圓周角定理、圓周角、弧、弦間的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性較強，解答本題需要熟練以上各部分內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．2．【特例感知】

（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點D，連接．已知，，則的度數(shù)為，點D到直線的距離為；【類比遷移】（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點D，過點D作，垂足為M，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）圖③，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，平分，，求線段的長．【答案】（1）；；（2），詳見解析；（3）．【分析】（1）利用角平分線的定義得出，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求得，利用直徑所對的圓周角是90°，繼而求出，，再證明，利用相等的圓周角所對的弦相等得出，過點D作于點E，利用含的直角三角形的性質(zhì)即可得解；（2）連接，作交的延長線于點N，證明得到，再證明得到，從而得到；（3）作于點G，交的延長線于點H，證明得到，設(shè)，再證明四邊形是正方形，從而得到，從而得到，，，再利用建立方程，求出x，從而得解．【解析】（1）∵平分，∴，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∴，過點D作于點E，則，，則有，∴，即點D到直線的距離為，

故答案為：；；（2），理由如下：如圖②，連接，作交的延長線于點N，

∵平分，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，（3）如圖③，作于點G，交的延長線于點H，

∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，解得，(不符合題意，舍去)，∴，∴線段的長為．【點睛】本題考查圓的綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，一元二次方程的解法等知識，靈活運用圓的性質(zhì)和利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，點是直徑上一點，，，過點作弦，點在上運動，連接．

(1)求的長．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點，在點運動的過程中，的長度是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不會發(fā)生變化，請求出其值．(3)如圖，過點作于，連接，求的最小值．【答案】(1)8(2)的長度不發(fā)生變化；(3)【分析】（1）連接，根據(jù)，，確定圓的半徑為5，結(jié)合，根據(jù)垂徑定理，得到，得．（2）連接，根據(jù)垂徑定理，得到，利用三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，證明即可．（3）根據(jù)題意，點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當(dāng)D、H、N三點共線時，取得最小值，計算即可．【解析】（1）如圖，連接，∵，，∴，∴圓的半徑為5，

∵，∴，∴．（2）的長度不發(fā)生變化；．理由如下：如圖，連接，

∵直徑，，，弦，，∴，∴，∵的角平分線交于點，∴，∵，，∴，∴，∴，故的長度不發(fā)生變化；．（3）如圖，連接，∵，

∴點H的運動軌跡是以為直徑的上的，當(dāng)D、H、N三點共線時，取得最小值，連接，交于點M，故當(dāng)H與M重合時，取得最小值，∵，，，∴，∴，過點N作于點F，則，∴，∵，∴，，，∴，∴，故最小值為．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，直角所對的弦是直徑，點圓最值，中位線定理，熟練掌握垂徑定理，圓的最值性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型2：圓與相似三角形、解直角三角形4．已知的直徑與弦交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，弦交直徑于點，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，連接交直徑于點，，過點的直線交的延長線于點，求的長．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)．【分析】（1）利用弧、弦之間的關(guān)系及線段垂直平分線的判定定理即可證明；（2）利用已知條件證明，得圓心角相等即可證明；（3）根據(jù)角平分線、三角函數(shù)及已知條件作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理及三角函數(shù)使問題得以解決．【解析】（1）證明：連接，，，，點在線段的垂直平分線上，即．（2）證明：作的平分線，交于點G，連接，，是的直徑，，即，，，，，．（3）作于M，設(shè)，，即，，，，，，，，連接，，，同理，，，，，，設(shè)，，，中，，，中，，，，作于N，，平分，，，，即，，，，連接，，，，即，，，，，．【點睛】本題是圓的綜合題，有難度，考查了線段垂直平分線的判定、圓周角、弧、弦及圓心角的關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)、角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線性質(zhì)及判定是本題的關(guān)鍵．5．如圖1，內(nèi)接于，于點D．(1)連接，，求證：；(2)如圖2，若點E為弧上一點，連接交于點F，若，，連接，求證：平分；(3)在（2）的條件下，如圖3，點G為上一點，連接，，若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，且結(jié)合，即可作答；（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得，等角對等邊，得，即可證明，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)角相等，即可作答；（3）根據(jù)同弧所對的圓周角是相等，得，由三角形的內(nèi)角和，得，等角對等邊，得，進(jìn)而證明，得，等角對等邊，得，故，因為，，證明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答．【解析】（1）證明：∵∴∴∵∴∴（2）證明：設(shè)∵，∴，∴∴∴∵，∴．∴∴OF平分．（3）解：連接，過點E作于點M交的延長線于點N由（2）得，，∴∵∴，∵，且∴，∴，∴．∴∵，∴∴，，∵∴∴∴∵∴∵∵，∴∴∴∴∴∵∴∴【點睛】本題考查了圓綜合，涉及圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等綜合內(nèi)容，難度較大，綜合性較強，學(xué)會靈活運用等角對等邊以及作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為___________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連結(jié)，通過證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結(jié)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴請你補全余下的證明過程．【延申】如圖③，是的外接圓，，，點P在上，且點P與點B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．則、、之間滿足什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【應(yīng)用】如圖④，是的外接圓，，，點P在上，且點P是上一點，連結(jié)、、．若，則的值為___________．【答案】【感知】，【探究】見解析，【延申】，見解析，【應(yīng)用】【分析】感知：根據(jù)圓周角定理：同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可得出答案；探究：延長至點E，使，連接，先通過“”證明，得出，，進(jìn)而得出是等邊三角形，即可得出結(jié)論；延申：延長至點G，使，連接，先結(jié)合圓內(nèi)接四邊形對角互補，則通過通過“”證明出，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而得出是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；應(yīng)用：過點作，記與的交點為點，根據(jù)圓周角定理得，結(jié)合，得是等腰直角三角形，通過兩個角對應(yīng)相等證明，得，同理證明，得，即，即可作答．【解析】解：感知∵，∴；探究：延長至點E，使，連結(jié)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴∴，，∵△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴；延伸：如圖③，延長至點G，使，連接．

∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，即；應(yīng)用：如圖：過點作，記與的交點為點，設(shè)，

因為，所以，因為，，所以，因為，所以是等腰直角三角形，則即，因為，，所以，則，即，故，因為，所以，因為，所以，則，即，故，所以，那么．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大，綜合性較強，正確作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．題型3：圓與二次函數(shù)7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸負(fù)半軸于點

(1)如圖1，①直接寫出，，三點的坐標(biāo)；②拋物線上存在點，使得，直接寫出點的坐標(biāo)；(2)如圖2，設(shè)經(jīng)過，，三點的交軸于另外一點，，經(jīng)過點的直線交拋物線于，兩點，若的長等于的直徑長，求的值．【答案】(1)①，，②，(2)【分析】（1）①當(dāng)時，該拋物線表達(dá)式為，把和代入，求出對應(yīng)的x和y的值，即可得出點A、B、C的坐標(biāo)；②易得，則，連接，令交x軸于點F，設(shè)，直線的函數(shù)表達(dá)式為，用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則，根據(jù)，列出方程求解即可；（2）連接，易得，根據(jù)圓周角定理推出，則，得出，進(jìn)而得出該拋物線表達(dá)式為，求出．過點作軸于點，連接，根據(jù)兩點之間距離公式求出，則，推出直線表達(dá)式為，聯(lián)立得出，則，，，，進(jìn)而的胡扯，列出方程求解即可．【解析】（1）解：①當(dāng)時，該拋物線表達(dá)式為，把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴；②∵，，∴，∴，∴，連接，令交x軸于點F，設(shè)，直線的函數(shù)表達(dá)式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，∴，∴，∴，∴或，當(dāng)時，，解得：或，∴或，當(dāng)時，整理得：，∵，∴該方程無解，綜上：，；

（2），解：連接，由可得，，，∴，，∴，∵點A、C、B、E四點共圓，∴，∴，∴，∴，∴，∴該拋物線表達(dá)式為，∴，，，，∵點M為圓形，∴點M橫坐標(biāo)與中點橫坐標(biāo)相等，點M縱坐標(biāo)與中點縱坐標(biāo)相等，∴，即．過點作軸于點，連接，

∴，∴，∵把代入得：，整理得：，∴直線表達(dá)式為∴聯(lián)立，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法步驟，圓周角定理，垂徑定理，兩點之間的距離公式啊，一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系．8．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個頂點為，，，以及其內(nèi)部區(qū)域記為W．若點P落在圖形W上，則稱點P為“好點”．

(1)下列各點，，中是“好點”的有(2)如圖，點Q坐標(biāo)為，若以Q為圓心r為半徑的圓上存在唯一點P是“好點”，求r的值：(3)如圖，點M、N是拋物線（）的兩個端點，（點M在點N左邊），連接，由拋物線（）和線段圍城的封閉圖形及其內(nèi)部區(qū)域記為U．若圖形U上存在“好點”，求c的取值范圍．【答案】(1)E、F(2)或；(3)【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出點D、E、F，根據(jù)題意，結(jié)合圖象可得答案；（2）根據(jù)題意得到以Q為圓心r為半徑的圓與相切或經(jīng)過點B時，圓上存在唯一點P是“好點”，利用切線性質(zhì)和兩點間坐標(biāo)距離公式、結(jié)合坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求解即可；（3）先得到拋物線的對稱軸為直線，進(jìn)而得到線段關(guān)于直線對稱，分別求得拋物線與直線相切時；拋物線經(jīng)過點B時；線段經(jīng)過點B時的c值，結(jié)合圖象可求解．【解析】（1）解：在平面直角坐標(biāo)系中描出點D、E、F，如圖，

由圖可知，是“好點”的有點E、F，故答案為：E、F；（2）解：如圖，以Q為圓心r為半徑的圓與相切或經(jīng)過點B時，圓上存在唯一點P是“好點”，設(shè)切點為P，則，

∵，，，，∴，，，∴，解得，綜上，r的值為或；（3）解：由拋物線（）得對稱軸為直線，∴線段關(guān)于直線對稱，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)拋物線（）與直線相切時，聯(lián)立方程組得，∴，則，此時由解得，則切點坐標(biāo)為，在線段上；當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，由得；當(dāng)時，，當(dāng)，，∴，，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，則，當(dāng)線段經(jīng)過點B時，由得，根據(jù)圖象，當(dāng)時，圖形U上存在“好點”．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圓的切線性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、一元二次方程根的判別式等知識，理解題中定義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解臨界值是解答的關(guān)鍵．9．已知拋物線經(jīng)過點．

(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點是第四象限拋物線上的一點，若，求點的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，點是線段上的一個動點（不與重合），經(jīng)過三點的圓與過且垂直于的直線交于點，求當(dāng)最小時點的坐標(biāo)及最小值．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）將、、的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式，將，兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式即可求出直線的解析式．（2）可設(shè)點的橫坐標(biāo)為，用含的代數(shù)式表示出點的縱坐標(biāo)．過點作軸，過點作軸，過點作軸平行線，分別交、于點、，構(gòu)造梯形，得到面積等于梯形減去和的面積和，列方程即可求出值，從而確定點的坐標(biāo)．（3）由即可得為圓的直徑，進(jìn)而得到圓周角，所以等于與的乘積．設(shè)的橫坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)可用表示，再設(shè)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)圓的性質(zhì)可求得的值．分別過、作軸的垂線，構(gòu)造三垂直模型，即得到、的關(guān)系式，進(jìn)而得到與的長度比值，故能用的二次函數(shù)關(guān)系式表示，即求得最小值．【解析】（1）解：拋物線與軸交于點、，，把點代入得：，，拋物線解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，解得：，直線的解析式為：；（2）過點作軸，過點作軸，過點作軸平行線，分別交、于點、，，，，設(shè)點，，，，，，，解得：（舍去），，點的橫坐標(biāo)坐標(biāo)為．

（3）連接、、，取中點，過點作軸于點，過點作軸于點，，，設(shè)，，的橫坐標(biāo)為，，，，，，為過、、三點的圓的直徑，為圓心，，，，，，圓心在的垂直平分線上，，為中點，，，，，，當(dāng)時，最小值，，點坐標(biāo)為時，最小值為．

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元二次方程，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值．題型4：圓在平面直角坐標(biāo)系中的應(yīng)用10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在x軸正半軸上，過點A、B的與y軸交于C、D兩點（點C在點D上方），連接，點E為中點．

(1)連接，求證：；(2)若的半徑為2，的平方和等于24，求的長度；(3)連接，若，點P在內(nèi)部，且，則B點坐標(biāo)為______．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接并延長，交于點F，利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連接，過點P作于點M，于點N，利用垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）連接，連接并延長交于點F，利用垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)得到的延長線經(jīng)過點O，利用（1）的結(jié)論，圓周角定理，對頂角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到為等腰直角三角形，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到的長度，則結(jié)論可得．【解析】（1）連接并延長，交于點F，如圖，

∵點E為中點，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）連接，過點P作于點M，于點N，如圖，

則，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴．∵，∴，，∴，∵的平方和等于24，∴，∴；（3）連接，連接并延長交于點F，如圖，

∵點E為中點，∴，∵，∴的延長線經(jīng)過點O，，∴，∴為等腰直角三角形，由（1）知：，∴為等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．11．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點（不在坐標(biāo)軸上）給出如下定義：以為圓心，為半徑的與y軸的另一個交點為，若在線段，上分別存在點，，使得為等腰直角三角形，其中，則稱點是完美點．如圖，若點的坐標(biāo)為點，則在線段，上分別存在點，，使得為等腰直角三角形，其中，所以點是完美點．

(1)下列點中是完美點的有___________（填序號）；①；②(2)已知為拋物線上一點，若為完美點，求的取值范圍：(3)已知直線l：，點為直線上一點，若以為圓心，半徑為的上無完美點，求的取值范圍．【答案】(1)②(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)新定義分析，設(shè)，則，得出當(dāng)時，是完美點，進(jìn)而分別判斷①，②；（2）依題意，，根據(jù)為完美點，得出，解不等式，即可求解．（3）依題意，當(dāng)時，半徑為的上有完美點，則當(dāng)時，半徑為的上無完美點，依題意，解不等式，即可求解．【解析】（1）解：依題意，是等腰直角三角形，∴，則在半徑為的上，設(shè)，則，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得，當(dāng)時，是完美點，∵①；②∴，而，則不是完美點∵,∴點是完美點；故答案為：②（2）解：∵為拋物線上一點∴∵為完美點，∴即即解得:∴或；（3）解：如圖所示，當(dāng)為圓心，半徑為的上有唯一完美點，

依題意，當(dāng)時，半徑為的上有完美點，∴當(dāng)時，半徑為的上無完美點∵在，∴，∴，∴，解得：．【點睛】本題考查了幾何新定義，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式,直線與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系中，線段，點M，N在線段上，且，P為的中點，如果任取一點Q，將點Q繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則稱點為點Q關(guān)于線段的“旋平點”

(1)如圖1，已知，，，如果為點Q關(guān)于線段的“旋平點”，①寫出一個點Q的“旋平點”的坐標(biāo)______；②畫出示意圖，寫出a的取值范圍：(2)如圖2，的半徑為3，點A，B在上，點，如果在直線上存在點Q關(guān)于線段的“旋平點”，求m的取值范圍．【答案】(1)①（不唯一），②圖形見詳解，(2)【分析】（1）①根據(jù)旋平點的定義，作答即可；②根據(jù)旋平點的定義，找到點，即可；（2）由點Q在x軸上，當(dāng)點P也在x軸上時，點的橫坐標(biāo)有最值，由長求出弦心距長，在求出長，分兩種情況求出點坐標(biāo)即可．【解析】（1）①點M，N在線段上，且，P為的中點，則設(shè)：，，即，如圖，點Q繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到點，，

∴此時點Q的“旋平點”的坐標(biāo)為，故答案為：（答案不唯一）；②設(shè)，，且，∵點、在線段上，且，，，∴，，，∴，∴，∵點與點關(guān)于點對稱，∴，，∴，∴的取值范圍為：；示意圖如下：

（2）解：∵點Q在x軸上，∴當(dāng)點P也在x軸上時，點的橫坐標(biāo)有最值，如圖，作弦心距，

，半徑3，，，，當(dāng)點P在x軸負(fù)半軸時，，，，；當(dāng)點P在x軸正半軸時，，，，，．【點睛】本題考查新定義圓和對稱的知識，解題的關(guān)鍵是理解旋平點的定義，根據(jù)定義，進(jìn)行解題．題型5：與圓有關(guān)的動態(tài)問題13．（1）如圖1，已知點，是軸上的動點，過點作交軸于點是中點，求證．

（2）在（1）的條件下，可知在線段的垂直平分線上，若點，則是否有最小值？最小值為多少？（3）如圖2，在中，為中點，圓過，兩點且分別交于點，連接，當(dāng)圓從過點變化到過時，點的運動軌跡為多長？

【答案】（1）見解析；（2）有最小值，最小值為；（3）當(dāng)圓從過點變化到過時，點的運動軌跡為．【分析】（1）連接，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：；（2）點在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸，軸于點，則當(dāng)時，最??；（3）利用圓和三角形的相關(guān)知識綜合分析即可求解．【解析】（1）證明：如圖，連接、,∵，∴為直角三角形，∵是中點，∴是斜邊上的中線，∴,同理，是斜邊上的中線，∴,∴．（2）解：如圖，過點作于點，連接,，∵,為中點，∴,∴點在線段的垂直平分線上，作線段的垂直平分線交軸，軸于點，，當(dāng),最小，連接，則,∵，∴，，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵,，∴，∵，∴,∴，即,∴，∵，∴，∵在中，當(dāng)時，最小，∴，，∴，∴，∴，∴有最小值，最小值為．（3）解：如圖1,連接,,延長至點,使,連接,，∵,，∴,∴,，∴AG//BF，∵,∴,∴，又∵是直徑,∴,∴,∴,設(shè)的半徑為,連接,,則，∵,,∴,∴，∵,∴,∴,當(dāng)點與點重合,點與點重合時,如圖2所示,連接交于點，由可知,∴,∴是的中點，∵是的中點,∴，設(shè),則，在中，由勾股定理，得,即,解得,易得點在線段的垂直平分線上運動,由圖易得,點到的距離為，同理可得,當(dāng)過點時,點與點重合,點與點重合,此時易求得的半徑為,點到的距離為，∴點經(jīng)過的路徑長為．【點睛】此題考查了勾股定理、全等三角形、圓的性質(zhì)、等腰三角形、三角形三邊關(guān)系、極端原理、最值求法、相似三角形等多個知識點，綜合性很強，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．14．在矩形中，，點P從點A出發(fā)，沿邊向點B以每秒的速度移動，同時點Q從點D出發(fā)沿邊向點A以每秒的速度移動，P、Q其中一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．解答下列問題：(1)如圖①，t為何值時，的面積等于；(2)如圖②，若以點P為圓心，為半徑作．在運動過程中，是否存在t值，使得經(jīng)過點C？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，若以Q為圓心，為半徑作，當(dāng)與相切時．①求t的值．②如圖④，若點E是此時上一動點，F(xiàn)是的中點，連接，則線段的最大值為．【答案】(1)4或5秒(2)存在，(3)①4；②【分析】（1）利用三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問題．（2）連接，根據(jù)切線長定理可得，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（3）①設(shè)與相切于點，連接，則，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．②由①得：，，連接，取的中點M，連接，作于N，則，，根據(jù)，可得，，再求出，根據(jù)，即可解決問題．【解析】（1）解：根據(jù)題意得：，∵的面積等于，∴，整理得：，解得，即或5秒時，的面積為20．（2）解：如圖，連接，經(jīng)過點，，∵，，，解得或（舍去），當(dāng)時，⊙P經(jīng)過點．（3）解：①如圖，設(shè)與相切于點，連接，則，，∵為半徑，且，∴，，，，，，，時，與相切．

②由①得：，，如圖，連接，取的中點M，連接，作于N，則，，∵F是的中點，∴，∵，∴，，∴，，∴,，,∴,∴，∴,∴，即線段的最大值為。故答案為：【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定與性質(zhì)，切線長定理，三角形中位線定理，以及三角形三條邊的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考壓軸題．15．在中，，，給出如下定義：作直線l分別交、邊于點M、N，點A關(guān)于直線l的對稱點為，則稱為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對稱點”．（點M可與點B重合，點N可與點C重合）(1)在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線，O'為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對稱點”．①當(dāng)時，寫出點的坐標(biāo)______；②連接，求長度的取值范圍；(2)⊙O的半徑為8，點M是上一點，以點M為直角頂點作等腰直角，其中，直線l與、分別交于E、F兩點，同時為等腰直角關(guān)于直線l的“直角對稱點”，連接；當(dāng)點M在上運動時，直接寫出長度的最大值與最小值．【答案】(1)①；②(2)的最大值為，的最小值為【分析】（1）①根據(jù)直角對稱點的定義求解即可；②如圖中，設(shè)直線交y軸于E，則，連接，如圖，由題意知，，點在以點E為圓心，以為半徑的一段圓弧上；當(dāng)直線經(jīng)過點B時，最長，即，當(dāng)點為與的交點時，最短，；（2）如圖，由對稱知，,可求，當(dāng)點三點共線，且在圓外時，最長，當(dāng)點三點共線，且在圓內(nèi)時，最短，的最大值為，OM′的最小值為．【解析】（1）解：（1）①如圖2中，當(dāng)時，設(shè)直線交y軸于點E，交x軸于點F．則，，是的中位線，，都是等腰直角三角形，點O關(guān)于的對稱點O′在線段上，，．故答案為：；②如圖中，設(shè)直線交y軸于E，則，連接，

在中，，，，如圖，由題意知，，點在以點E為圓心，以為半徑的一段圓弧上；設(shè)直線經(jīng)過點B時，點O關(guān)于的對稱點為點D，由對稱知，，此時，最長，即當(dāng)點為與的交點時，最短，此時，；∴，（2）如圖，連接，作點M關(guān)于的對稱點，連接，，．

如圖，是等腰直角三角形，，由對稱知，,,，由圖，，當(dāng)點三點共線，且在圓外時，最長，此時;當(dāng)點三點共線，且在圓內(nèi)時，最短，此時;，的最大值為，OM′的最小值為【點睛】本題屬于圓綜合題，軸對稱，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓外一點到圓上點的距離等知識，解題的關(guān)鍵是對于動態(tài)問題確定臨界狀態(tài)，從而確定極值．題型6：切線問題16．已知：四邊形內(nèi)接于，對角線交于點平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點，點為上一點，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點作的切線交的延長線于點，若，求線段的長．【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)線段的長為【分析】（1）利用圓周角定理證明即可；（2）如圖所示，連接，過點作于點，利用圓周角定理、平行線的判定和性質(zhì)可得，再運用等腰梯形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意可證，可求出，運用勾股定理可求出的長，由（2）可得，運用圓周角定理可得，設(shè)，根據(jù)勾股定理可求出的值，由此即可求解．【解析】（1）證明：∵平分，∴，∴，∴．（2）證明：如圖所示，連接，過點作于點，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為等腰梯形，∴，∵，∴，∵，∴，且，∴，∴，即．（3）解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵點在上，即四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則，，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，在中，，∴，解得，或（不符合題意），∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查圓的綜合知識，包括圓周角定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接圓的半徑，利用圓的相關(guān)知識，圖形結(jié)合分析．17．已知平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心，5為半徑的交y軸的正半軸于點P，小剛同學(xué)用手中的三角板（）進(jìn)行了如下的實驗操作：

(1)如圖1，將三角板的斜邊放置于x軸上，邊恰好與相切于點D，則切線長；(2)如圖2，將三角板的頂點A在上滑動，直角頂點B恰好落在x軸的正半軸上，若邊與相切于點M，求點B的坐標(biāo)；(3)請在備用圖上繼續(xù)操作：將三角板的頂點A繼續(xù)在上滑動，直角頂點B恰好落在上且在y軸右側(cè)，邊與y軸的正半軸交于點G，與的另一交點為H，若，求的長．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）連接，得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求得的長；（2）連接，設(shè)線段交于點，過點作于，得出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理以及矩形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，中，勾股定理求得，即可求得點的坐標(biāo)；（3）分類討論，①當(dāng)在點上方時，過點作于點，連接，根據(jù)90度角所對的弦是直徑，得出是的直徑，進(jìn)而勾股定理求得，垂徑定理求得，在中，得出，在中求得，繼而根據(jù)即可求解；②當(dāng)點在點下方時，過點作，同一法證明點重合，進(jìn)而垂徑定理即可求解．【解析】（1）如圖，連接，

∵邊恰好與相切于點，∴，∵，∴，∴，∴中，,，∴，∴,故答案為：；（2）如圖，連接，設(shè)線段交于點，過點作于，

∵邊與相切于點，∴，又，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴,∵，∴，∴，在中，，∴,∴，∴中，,∴，（3）解：①如圖，當(dāng)在點上方時，過點作于點，連接，

∵，∴是的直徑，∴，∵，在中，，∵，∴,在中，，∵，∴，在中，，，∴；②當(dāng)點在點下方時，如圖，∵，∴是的直徑，∴，∵，在中，，過點作，∴，在中，，∵，∴，∴，即點重合，∴，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．18．已知：對于平面直角坐標(biāo)系中的點P和的半徑為4，交x軸于點A，B，對于點P給出如下定義：過點C的直線與交于點M，N，點P為線段的中點，我們把這樣的點P叫做關(guān)于的“折弦點”．

(1)若．①點中是關(guān)于的“折弦點”的是；②若直線上只存在一個關(guān)于的“折弦點”，求k的值；(2)點C在線段上，直線上存在關(guān)于的“折弦點”，直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得到P為的中點，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)點到圓心的距離進(jìn)行判斷即可；②由①可知，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為，過點D作垂直直線于點F，求得，，，證明，根據(jù)相似性質(zhì)列式計算即可得到答案；（2）由（1）可知點P在以為直徑的圓上，直線上存在關(guān)于的“折弦點”，則直線與相交或相切，分兩種情況利用勾股定理求出b的最大值和最小值即可．【解析】（1）解：①如圖，∵P為的中點，∴，∴，

∴點P在以為直徑的圓上，∵，∴點P在以為圓心，1為半徑的圓上，∵，，，∴點，在該圓上，不在該圓上，∴點，是關(guān)于的“折弦點”故答案為：；②由①可知，點P（的折弦點）在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心為，∵直線上只存在一個關(guān)于的“折弦點”，∴直線與只有一個交點，∴直線與相切，即，過點D作垂直直線于點F，當(dāng)，，解得，當(dāng)，，∴直線與x軸交于點，與y軸交于點，∴，，，∵，∴，∴，∴，解得；（2）解：由（1）可知點P（的折弦點）在以為直徑的圓上，∵直線上存在關(guān)于的“折弦點”，∴直線與相交或相切，

當(dāng)直線與恰好相切時，設(shè)切點為F（在x軸上方），∵直線與y軸交于點，與x軸交于點，∴，∴，由切線的性質(zhì)可得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)最大時，b最大，又∵，∴當(dāng)點C與點A重合時，b有最大值，此時，∴，∴，同理，當(dāng)點C與點B重合時，b有最小值，此時，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，直線上存在關(guān)于的“折弦點”．【點睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握垂徑定理，圓的切線性質(zhì)定理，弄清定義，會畫圖分析是解題的關(guān)鍵．題型7：正多邊形與圓、弧長問題19．如圖1．扇形中，，，點P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點O的對稱點為點Q．①當(dāng)點Q剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點Q落在扇形外，與弧交于點C，過點Q作，垂足為H，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點B的對稱點為點E，弧與交于點F，若，求的長．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)【分析】（1）①連接，證明是等邊三角形，即可得，問題隨