黑龍江省七臺河市2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

黑龍江省七臺河市2025屆數(shù)學高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，若函數(shù)，有大于零的極值點，則A. B.C. D.2．已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．若，則（）A B.C. D.4．已知直線與平行，則系數(shù)（）A. B.C. D.5．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e6．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.7．從集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.8．設數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B.C. D.9．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.10．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.11．設函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.712．已知數(shù)列滿足，則（）A.32 B.C.1320 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分14．已知向量，，若，則實數(shù)=________.15．若數(shù)列滿足，，則__________16．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經(jīng)過原點，且與拋物線的準線相切，切點為，線段交拋物線于點，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.18．（12分）設數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集.19．（12分）△ABC的三個頂點分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設直線與圓M交于兩點，求|PQ|的值20．（12分）已知數(shù)列，若_________________（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和從下列三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，然后對題目進行求解①；②，，；③，點，在斜率是2的直線上21．（12分）證明：是無理數(shù)．（我們知道任意一個有理數(shù)都可以寫成形如（m，n互質(zhì)，）的形式）22．（10分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點即有正根，當有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值2、B【解析】先分析充分性：假設特殊等比數(shù)列即可判斷；再分析充分性，由條件得恒成立，再對和進行分類討論即可判斷.【詳解】先分析充分性：在等比數(shù)列中，，所以假設，，所以，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，故充分性不成立；分析必要性：若等比數(shù)列的公比為，且是遞增數(shù)列，所以恒成立，即恒成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，不成立，當，時，成立，當，時，不成立，當，時，不恒成立，當，時，不恒成立，所以能使恒成立的只有：，和，，易知此時成立，所以必要性成立.故選：B.3、D【解析】直接利用向量的坐標運算求解即可【詳解】因為，所以，故選：D4、B【解析】由直線的平行關系可得，解之可得【詳解】解：直線與直線平行，，解得故選：5、A【解析】對函數(shù)求導，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，故選：A6、C【解析】當平面時，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長與球半徑關系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當平面時，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問題，本題的關鍵是判斷當平面時，三棱錐體積最大.7、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.8、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當時，.當時，.故選：C.9、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質(zhì)可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.10、D【解析】直接求導，代入計算即可.【詳解】，故.故選：D.11、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.12、A【解析】先令，求出，再當時，由，可得，然后兩式相比，求出，從而可求出，進而可求得答案【詳解】當時，，當時，由，可得，兩式相除可得，所以，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、證明過程見解析【解析】選①②作條件證明③時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關系，對照系數(shù)，得到等量關系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結合的關系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數(shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因為，是等差數(shù)列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：因為，所以，，因為也為等差數(shù)列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結論.14、【解析】由可求得【詳解】因為，所以，故答案為：【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題15、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：716、【解析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點的坐標代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點的坐標，求出點的坐標，設點，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標表示求出的值，進而可求得結果.【詳解】由拋物線的定義結合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點、，因為以點為圓心，為半徑的圓與直線相切于點，則，設點，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件可以確定圓心坐標和半徑，寫出圓的方程；（2）先求圓心到直線的距離，結合勾股定理可求弦長.【詳解】(1)由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2.則圓的方程為；(2)圓心（2，0）到l的距離為d，=1，.【點睛】圓的方程求解方法：（1）直接法：確定圓心，求出半徑，寫出方程；（2）待定系數(shù)法：設出圓的方程，可以是標準方程也可以是一般式方程，根據(jù)條件列出方程，求解系數(shù)即可.18、（1）（2）【解析】（1）利用與的關系求解即可；（2）首先利用裂項求和得到，從而得到，再解不等式即可.【小問1詳解】令，則，當時，，當時，也符合上式，即數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，則，所以故可化為：，故，故不等式的解集為.19、（1）；（2）.【解析】（1）設出圓的一般方程，根據(jù)的坐標滿足圓方程，待定系數(shù)，即可求得圓方程；（2）根據(jù)（1）中所求圓方程，結合弦長公式，即可求得結果.【小問1詳解】設圓M的方程為，因為都在圓上，則，解得，故圓M的方程為，也即.【小問2詳解】由（1）可知，圓M的圓心坐標為，半徑為，點M到直線的距離故.20、答案見解析.【解析】（1）若選①，根據(jù)通項公式與前項和的關系求解通項公式即可；若選②，根據(jù)可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用基本量法求解通項公式即可；若選③，根據(jù)兩點間的斜率公式可得，可得數(shù)列為等差數(shù)列進而求得通項公式；（2）利用裂項相消求和即可【詳解】解：（1）若選①，由，所以當，，兩式相減可得：，而在中，令可得：，符合上式，故若選②，由（，）可得：數(shù)列為等差數(shù)列，又因為，，所以，即，所以若選③，由點，在斜率是2的直線上得：，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列且（2）由（1）知：，所以21、詳見解析【解析】利用反證法，即可推得矛盾.【詳解】假設有理數(shù)，則，則，為整數(shù)，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，的尾數(shù)只能是0,1,4,5,6,9，則的尾數(shù)是0,2,8，由得，尾數(shù)為0，則的尾數(shù)是0，而的尾數(shù)為0或5，這與為最簡分數(shù)，的最大公約數(shù)是1，相矛盾，所以假設不正確，是無理數(shù).22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因為，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的