河南省駐馬店市正陽縣中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

河南省駐馬店市正陽縣中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.2．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是A. B.C. D.3．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.44．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.6．下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.8．已知P是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)且，則的面積是（）A. B.2C. D.19．已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.710．一部影片在4個(gè)單位輪流放映，每個(gè)單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種11．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對(duì)軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.512．在等比數(shù)列中,，,則等于A. B.C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切14．?dāng)?shù)列滿足，則_______________.15．若，均為正數(shù)，且，（1）的最大值為；（2）的最小值為；（3）的最小值為；（4）的最小值為，則結(jié)論正確的是__________16．函數(shù)滿足，且，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線過線段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過定點(diǎn).20．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；21．（12分）已知圓C的圓心為，一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上（1）求圓C的方程；（2）直線l：與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，P（異于點(diǎn)M，N）為圓C上一點(diǎn)，求△PMN面積的最大值22．（10分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點(diǎn)在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對(duì)于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D2、D【解析】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的極限式進(jìn)行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式3、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B4、A【解析】由，結(jié)合基本不等式可得，由此可得，由此說明“”是“”的充分條件，再通過舉反例說明“”不是“”的必要條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），若，則，∴，所以“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴“”不是“”的必要條件，∴“”是“”的充分不必要條件，故選：A.5、B【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.6、C【解析】先舉例說明ABD不成立，再根據(jù)不等式性質(zhì)說明C成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，所以D錯(cuò)；因?yàn)樗?，又，因此同向不等式相加得，即C對(duì)；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A8、A【解析】設(shè)，先求出m、n，再利用面積公式即可求解.【詳解】在中，設(shè)，則,解得：.因?yàn)椋?，所以的面積是.故選：A9、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和以及二項(xiàng)式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程.【詳解】二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，二項(xiàng)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為，因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C11、C【解析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)?，，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.12、D【解析】∵為等比數(shù)列，∴，又∴為的兩個(gè)不等實(shí)根，∴∴或∴故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)【解析】首先設(shè)圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當(dāng)時(shí)，，，所以其中一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足，)14、【解析】利用來求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】，，是數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15、（1）（2）（4）.【解析】利用基本不等式求的最大值可判斷（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判斷（2）；將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)結(jié)合由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值判斷C、D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】對(duì)于（1）：因?yàn)?，均為正?shù)，且，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，故（1）正確；對(duì)于（2）：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故（2）正確；對(duì)于（3）：因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞減，無最小值，故（3）不正確；對(duì)于（4）：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故（4）正確.故答案為：（1）（2）（4）.16、6【解析】化簡得出，由化簡后根據(jù)均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為6.故答案為：6三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易知點(diǎn)，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得，，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和.【小問1詳解】解：（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，由，，可得，；即有，，則，則；【小問2詳解】解：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由已知可得：；【小問2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點(diǎn)F，利用等體積法求點(diǎn)A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點(diǎn)F，因?yàn)椋苑謩e為的中點(diǎn).記點(diǎn)到平面PCF為d，直線AB與平面PCE所成角為，則.易知，，，，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，所以因?yàn)椋杂傻茫杭?，得所?2.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)直徑兩端點(diǎn)分別為，，由中點(diǎn)公式求參數(shù)a、b，進(jìn)而求半徑，即可得圓C的方程；（2）利用弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求，再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值，即可得△PMN面