專題2-3直線與圓的最值問題專練-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)?？碱}專練

專題23直線與圓的16類最值問題全歸納求解與圓有關(guān)的最值問題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化，今天我們一起來學(xué)習(xí)一下直線與圓相關(guān)最值問題的所有題型！總覽總覽題型解讀TOC\o"13"\h\z\u【題型1】點(diǎn)到含參直線距離最值 2【題型2】過定點(diǎn)的弦長最短 3【題型3】通過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍 5【題型4】點(diǎn)圓型最值問題 7【題型5】斜率型最值問題 9【題型6】圓上的點(diǎn)到直線的距離為定值的個數(shù)（教材原題改編） 12【題型7】與基本不等式結(jié)合求最值 19【題型8】隱圓型最值問題 24【題型9】阿氏圓 28【題型10】與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值問題 35【題型11】過定點(diǎn)的弦與圓心所圍成的三角形面積最值 41【題型12】半圓與直線交點(diǎn)問題 47【題型13】三角換元求最值 51【題型14】圓的軌跡類問題 52【題型15】點(diǎn)到直線距離公式為背景的最值問題 57【題型16】張角最大問題 64題型題型匯編知識梳理與?？碱}型【題型1】點(diǎn)到含參直線距離最值點(diǎn)P到含參直線l距離最大值即P點(diǎn)到定點(diǎn)A的距離如圖，直線l繞定點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，易知點(diǎn)到直線距離的最大值為A．1 B． C． D．2【解答】解：方法一：因?yàn)辄c(diǎn)到直線距離；要求距離的最大值，故需；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可得，當(dāng)時等號成立．方法二：由可知，直線過定點(diǎn)，記，則點(diǎn)到直線距離【鞏固練習(xí)】已知直線l方程為，那m為時，點(diǎn)到直線l的距離最大，最大值為【答案】【分析】求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)時，為所求點(diǎn)到直線距離的最大值，再由垂直求得值．【詳解】直線l：化為，由，得，直線l必過定點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)到直線l的距離最大時，垂直于已知的直線l，即點(diǎn)與定點(diǎn)的連線長就是所求最大值，此時直線與直線垂直，，解得，此時，點(diǎn)到直線的最大距離是．綜上所述，時，點(diǎn)到直線的距離最大，最大值為．故答案為：；．【題型2】過定點(diǎn)的弦長最短設(shè)點(diǎn)M是圓C內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點(diǎn)的直徑垂垂直的弦弦長為已知直線和圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】求出直線過定點(diǎn)，再利用弦長公式即可得到最小值.【詳解】，令，則，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)?shù)?，則在圓內(nèi)，則直線與圓必有兩交點(diǎn)，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．【鞏固練習(xí)1】過點(diǎn)的直線l與圓C：相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】利用垂徑定理很快就可以找到最小弦長的直線，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳AC：，圓心，半徑所以當(dāng)過點(diǎn)的直線l垂直于時，弦長取最小值，即.【鞏固練習(xí)2】（2425高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線（其中k為常數(shù)），圓，直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則AB長度最小值為.【答案】【分析】求出直線過的定點(diǎn)，求出圓的圓心和半徑，連接，當(dāng)直線與垂直時弦長最小，求出AB長度最小值.【詳解】由題意得直線過定點(diǎn)，圓圓心為，半徑為，連接，當(dāng)直線與垂直時弦長最小，此時，所以AB長度最小值為.【鞏固練習(xí)3】（2324高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出直線所過的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時，直線被圓截得的弦長最小，再由垂徑定理得到最小值.【詳解】直線，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內(nèi)，當(dāng)時，圓心到直線的距離最大為，此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.【題型3】通過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)注意：做題時不要漏掉這個不等式若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，半徑，所以，把點(diǎn)代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】若點(diǎn)在圓（為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】由題意知，故，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實(shí)數(shù)的范圍為.【鞏固練習(xí)2】若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)圓心到點(diǎn)的距離大于半徑即可列不等式求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于點(diǎn)0,1在圓外，所以，解得【鞏固練習(xí)3】過點(diǎn)可以向圓引兩條切線，則的范圍.【答案】【分析】根據(jù)方程表示圓和點(diǎn)在圓外可得不等式，由此可解得的范圍.【詳解】由表示圓可得：，解得：；過可作圓的兩條切線，在圓外，，解得：；綜上所述：的范圍為.【題型4】點(diǎn)圓型最值問題圓C上的動點(diǎn)P到直線l距離的最大值等于點(diǎn)C到直線l距離的最大值加上半徑，最小值等于點(diǎn)C到直線距離的最小值減去半徑若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是．【答案】/【分析】利用兩點(diǎn)間距離幾何意義求解最值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由實(shí)數(shù)滿足可得：點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，設(shè)點(diǎn)，則的幾何意義為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，由，則點(diǎn)在圓外，結(jié)合圖形可知，.的最大值是.故答案為：.

【鞏固練習(xí)1】若點(diǎn)在圓上，則的最小值為.【答案】【分析】利用表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，求出圓心與點(diǎn)的距離為，可求得最小距離，繼而可求得所求.【詳解】因?yàn)椋癁?，圓心為，半徑為，又表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，圓心與點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值為，故的最小值為【鞏固練習(xí)2】若點(diǎn)是圓:上一點(diǎn),則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓外一定點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的平方的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】圓:可化為表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方,因?yàn)?，所以的最小值?【鞏固練習(xí)3】已知圓，點(diǎn)與，為圓上動點(diǎn)，當(dāng)取最大值時點(diǎn)坐標(biāo)是．【解答】解：設(shè)，則，的幾何意義是到原點(diǎn)的距離，由已知，圓心，半徑為1，到的距離，的最大值是，的最大值為，由直線與圓，可得，或，當(dāng)取最大值時點(diǎn)坐標(biāo)是，．【題型5】斜率型最值問題形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與定點(diǎn)的動直線斜率的最值問題已知實(shí)數(shù)，滿足方程，求的最大值和最小值【解答】解：（1）圓，圓心，半徑為，令，即，的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時的的值，，解得，的最大值為，最小值為．（2425高二上·江西上饒·開學(xué)考試）已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為若點(diǎn)在曲線：上運(yùn)動，則的最大值為.【答案】【分析】先根據(jù)已知求出圓心，半徑，再把分式轉(zhuǎn)化為斜率，最后化簡為直線結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】曲線方程化為，是以為圓心，3為半徑的圓，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，不妨設(shè)即直線：，又在圓上運(yùn)動，故直線與圓有公共點(diǎn)，則，化簡得解得，故的最大值為.【鞏固練習(xí)1】（2223高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】在上的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)時，傾斜角的取值范圍為.故選：C.【鞏固練習(xí)2】如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求的范圍救等價于求同時經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的范圍，結(jié)合圖象，易得取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，為直線的斜率.如果實(shí)數(shù)，滿足和，即直線同時經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn).其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時切點(diǎn)為則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.【鞏固練習(xí)3】已知兩點(diǎn)，，動點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的范圍是，的范圍是.【答案】【分析】根據(jù)坐標(biāo)畫出線段AB，可知的幾何意義為與連線斜率，的幾何意義為與距離的平方，即可由斜率公式及距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意畫出線段AB如下圖所示：直線AB的方程為，的幾何意義為與連線斜率，，所以；的幾何意義為與距離的平方，由點(diǎn)到距離公式可知，,所以，故答案為：；.【題型6】圓上的點(diǎn)到直線的距離為定值的個數(shù)（教材原題改編）教材原題改編：選擇性必修第一冊第99頁圓心C到直線1的距離為d，圓C上的動點(diǎn)P到直線的距離為d'，則(1)直線與圓有公共點(diǎn)時，此時d≤r①當(dāng)d'＞d＋r(d≤r)時，點(diǎn)P個數(shù)為0②當(dāng)d'＝d＋r(d≤r)時，點(diǎn)P個數(shù)為1③當(dāng)r－d＜d'＜r＋d(d≤r)時，點(diǎn)P個數(shù)為2④當(dāng)d'＝r－d(d≤r)時，點(diǎn)P個數(shù)為3⑤當(dāng)0＜d'＜r－d(dsr)時，點(diǎn)P個數(shù)為4(2)當(dāng)直線與圓無公共點(diǎn)時，此時d＞r①當(dāng)d'＜d－r(d＞r)時，點(diǎn)P個數(shù)為0②當(dāng)d'＝d－r(d＞r)時，點(diǎn)P個數(shù)為1③當(dāng)d－r＜d'＜d＋r(d＞r)時，點(diǎn)P個數(shù)為2已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，．求點(diǎn)到直線距離的最大值；【答案】【分析】首先求出直線的方程，再根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到直線的距離與半徑的和求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，故圓與直線相離，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓上有且僅有四個點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】分析可知直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為、，由題意可知，直線、與圓均相交，可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)與直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，而圓心為原點(diǎn)，圓的半徑長為，所以，，解得若圓上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離為5，則的取值范圍是.【答案】【分析】求出圓心到直線的距離等于，由，能求出半徑的取值范圍.【詳解】圓心到直線的距離等于，圓上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離為5，由圓的幾何性質(zhì)可得，解得，半徑的取值范圍是，故答案為.已知圓C：，直線l：，若圓C上有且僅有兩個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1，則m的取值范圍是．【答案】【分析】首先結(jié)合已知條件，求出當(dāng)圓C上有1個和3個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1時，圓心到直線的距離，進(jìn)而得到圓C上有且僅有兩個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1時，圓心到直線的距離的范圍，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】當(dāng)圓C上有且僅有兩個點(diǎn)到直線l的距離等于1時，如下圖所示．由于圓C的半徑為2，故當(dāng)圓C上有1個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1時，圓心到直線的距離，當(dāng)當(dāng)圓C上有3個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1時，圓心到直線的距離，從而圓C上有且僅有兩個不同的點(diǎn)到直線l的距離為1時，則圓心C到直線l的距離d滿足，解得，因?yàn)閳A心到直線：的距離，所以，解得或，故m的取值范圍是．（2425高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）已知圓C：，若直線上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的圓C的兩條切線夾角為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【答案】或．【分析】根據(jù)切線夾角分析出，由圓心到直線的距離不大于4列出不等式求解可得．【詳解】圓，則圓心為，半徑，設(shè)兩切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，在中，，所?因此只要直線上存在點(diǎn)，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故答案為：或．

【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東珠海·一模）已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點(diǎn)到直線距離的最小值即可求得最小值.【詳解】兩點(diǎn)，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.【鞏固練習(xí)2】已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，記為點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)變化時，的最大值為.【答案】3【分析】根據(jù)直線方程，求得該直線的定點(diǎn)，利用點(diǎn)到過定點(diǎn)直線以及點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由直線方程，則該直線過定點(diǎn)，易知圓上任意定點(diǎn)到該直線的最大距離就是該點(diǎn)到的距離，由圓的方程，則其圓心為，半徑為，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為.【鞏固練習(xí)3】在圓上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離為，則a的取值范圍為．【答案】【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式求得圓心到直線距離；根據(jù)已知可確定，由此構(gòu)造方程求得的取值范圍.【詳解】由圓的方程知其圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則；圓上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得：或，的取值范圍為.【鞏固練習(xí)4】若圓上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑R的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意分析出直線與圓的位置關(guān)系,再求半徑的范圍.【詳解】圓心到直線的距離為2，又圓（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x+3y＝11的距離等于1，滿足，即：|R﹣2|＜1，解得1＜R＜3．故半徑R的取值范圍是1＜R＜3（畫圖）故答案為:【鞏固練習(xí)5】設(shè)圓：上有且僅有兩個點(diǎn)到直線的距離等于,則圓半徑的取值范圍是.【答案】【分析】計算圓心到直線的距離為，根據(jù)條件得到，解得答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上恰有相異兩點(diǎn)到直線的距離等于，所以，即，所以.【鞏固練習(xí)6】已知直線，圓，圓上恰有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則b的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得圓心到直線的距離小于1，再利用點(diǎn)到直線距離即可求出b的取值范圍．【詳解】圓上恰有4個點(diǎn)到直線的距離為1，則圓心到直線的距離小于1，則，即，所以b的取值范圍為．【題型7】與基本不等式結(jié)合求最值基本不等式：如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（僅限和與積）常用不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；（從左至右為積，和，平方和）若，為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為______.【解答】解：由直線與直線互相垂直，所以，即；又、為正實(shí)數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時取“”；所以的最大值為．設(shè)直線的方程為，若與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．【解答】解：與軸正半軸的交點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，求得．求為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值為6．（2324高二上·貴州銅仁·期中）已知圓關(guān)于直線（a，b為大于0的數(shù)）對稱，則的最小值為，此時直線方程為．【答案】【分析】空1：由題意得直線過圓心，從而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1結(jié)果代入回直線方程即可.【詳解】圓，整理得，則其圓心為，由題意得：直線過圓心，所以，又，，所以．（當(dāng)且僅當(dāng)，時，取“＝”）．此時直線方程為，即.故答案為：；.（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，動圓經(jīng)過原點(diǎn)，且圓心在直線上．當(dāng)直線的斜率取最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用兩點(diǎn)間斜率公式，結(jié)合基本不等式可解.【詳解】由題意可得，，直線的斜率為．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即當(dāng)直線的斜率取最大值時，，所以，故．（2324高二上·陜西西安·期中）已知圓的半徑為2，過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)長度表示出，然后根據(jù)向量的數(shù)量積計算公式求解，結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為【鞏固練習(xí)1】過點(diǎn)的動直線和過點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)（點(diǎn)異于、，且，則的最大值是A． B．5 C． D．【解答】解：因?yàn)椋瑒t，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為．【鞏固練習(xí)2】過點(diǎn)的直線，求與x,y正半軸相交，交點(diǎn)分別是A、B,當(dāng)△AOB面積最小時的直線方程.【答案】.【解析】設(shè)出截距式方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，用基本不等式求得的最小值，從而得直線方程．【詳解】設(shè)直線方程為，∵直線過點(diǎn)，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，，∴△AOB面積最小值為24，此時直線方程為，即【鞏固練習(xí)3】（2324高二上·江蘇無錫·期中）若圓被直線平分，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．【答案】C【分析】由題意得圓心在直線上，即得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【詳解】由圓被直線平分，得圓心在直線上，則，即，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4.【鞏固練習(xí)4】已知圓的方程為，過第一象限內(nèi)的點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所以，因?yàn)檫^點(diǎn)作圓的兩條切線，可得，由，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為.故選：C.【鞏固練習(xí)5】（2324高二下·山西長治·階段練習(xí)）已知直線，圓，當(dāng)圓心到直線的距離最小時，圓的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合基本不等式求解圓心到的距離的最小值，即可求出圓的半徑，進(jìn)一步求解周長.【詳解】圓化為，所以，故到的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故此時圓的半徑為，則圓的周長為.【鞏固練習(xí)6】（2324高三下·安徽黃山·階段練習(xí)）已知圓和圓，若點(diǎn)在兩圓的公共弦上，則的最小值為.【答案】1【分析】兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程，根據(jù)P在公共弦上可得，再利用基本不等式即可求最小值．【詳解】圓和圓的兩個方程相減即可得到兩圓的公共弦所在直線方程為，所以點(diǎn)在兩圓的公共弦上，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【題型8】隱圓型最值問題一、定點(diǎn)定長得圓在幾何圖形中，通過折疊、旋轉(zhuǎn)，滑梯模型得到動點(diǎn)的軌跡為繞定點(diǎn)等于定長的圓，從而畫出動點(diǎn)軌跡，并進(jìn)行計算二、直角的對邊是直徑前世：在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對的∠C=90°今生：若有AB是固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑徑的圓上．(此類型本來屬于定弦定角，但是因?yàn)楸容^特殊，故單獨(dú)分為一類) 設(shè)點(diǎn)，，直線，于點(diǎn)，則的最大值為.【答案】6【分析】先求出直線過定點(diǎn)，再根據(jù)條件求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合軌跡方程求出的最大值．【詳解】直線，則，則，解得，，即直線恒過點(diǎn)，設(shè)，，，，即，故點(diǎn)的軌跡為，該軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，．已知，直線與的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線方程可知兩直線分別過定點(diǎn)且垂直，可求得點(diǎn)軌跡方程，再由圓與圓的位置關(guān)系找出圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】易知直線恒過定點(diǎn)A-2,0，直線恒過定點(diǎn)，且，易知直線與互相垂直，即可得，所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為；可得點(diǎn)軌跡方程為；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以可得圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)兩圓內(nèi)切（圓在外）時，取得最大值；此時滿足，解得.（2324高二上·湖南·期中）設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動弦，且，的最小值為．【答案】．【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線垂直得點(diǎn)軌跡是圓，設(shè)的中點(diǎn)為，由向量加法法則得，由圓的性質(zhì)得點(diǎn)軌跡也是圓，圓心為原點(diǎn)，利用兩圓心距可得兩圓上兩點(diǎn)間距離的最小值，從而得出結(jié)論．【詳解】變形得到，令，解得，從而，變形得到，令，解得，從而，由，由勾股定理得，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其中線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑為，點(diǎn)軌跡方程為，圓的圓心為，半徑為3，設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理得，故點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)軌跡方程為，則的最小值為圓心距減去兩半徑，即，其中，所以的最小值為．故答案為：．

【鞏固練習(xí)1】已知直線：，點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上的射影為，則線段長度的取值范圍為.【答案】【分析】先求得該直線過定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)在直線上的射影為，得到的軌跡為以為直徑的圓，然后利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】由直線方程可知，聯(lián)立，解得，則該直線過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上的射影為，且，所以的軌跡為以為直徑的圓，圓的方程為，所以圓心為，，因?yàn)?，所以，則，因此長度的取值范圍為.【鞏固練習(xí)2】已知直線：，：，，若和交于點(diǎn)，則的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)分析可知點(diǎn)M的軌跡為以為直徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】對于直線：，當(dāng)時，恒成立，即過定點(diǎn)，記為A，對于直線：，當(dāng)時，恒成立，則恒過定點(diǎn)，記為，因?yàn)?，無論m取何值，與都互相垂直，和交于點(diǎn)M，所以，即點(diǎn)M的軌跡為以為直徑的圓，可知圓心為，半徑為，所以的最大值是.【鞏固練習(xí)3】已知m，，，記直線與直線的交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q是圓C：上的一點(diǎn)，若PQ與C相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知，求出交點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合切線的性質(zhì)即可求解.【詳解】直線即直線，過定點(diǎn)，直線即直線，過定點(diǎn)，又由斜率關(guān)系可得兩直線垂直，所以交點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，即軌跡方程為，圓心，因?yàn)镼是圓C上一點(diǎn)，且PQ與C相切，所以問題轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)作直線與圓相切，求切線PQ的范圍.設(shè)設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A的圓心，半徑為定值，當(dāng)PC取得最小值和最大值時，切線PQ取得最小值和最大值，，又因?yàn)椋?，即，所以，即【題型9】阿氏圓借助阿氏圓探究最值問題：若為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則時，動點(diǎn)的軌跡為直線；當(dāng)且時，動點(diǎn)P的軌跡為圓，此圓稱之為阿波羅尼斯圓，也稱阿氏圓.借助阿波羅尼斯圓，轉(zhuǎn)化為到另一定點(diǎn)的距離進(jìn)而由幾何性質(zhì)等求解最值.【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為R，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點(diǎn)，已知R＝OB，連接PA、PB，則當(dāng)“”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？解決辦法：如圖2，在線段OB上截取OC使，則可說明△BPO與△PCO相似，則有。故本題求“PA＋PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時，“PA＋PC”值最小。（2324高二上·福建龍巖·期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，求得點(diǎn)的軌跡方程，在求得圓心到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，且，，點(diǎn)滿足，可得，整理得，即，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.（2324高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)、，直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程為，分析可知，直線與圓有公共點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)、，且，則，整理可得，所以，點(diǎn)在圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且圓的圓心為，半徑為，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，，整理可得，解得.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2324高三上·河北滄州·期末）已知，Q為直線上的動點(diǎn)，為圓上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】先利用“阿波羅尼斯圓”定義設(shè)出點(diǎn)，由，得到，再由，即可求出最小值.【詳解】由阿波羅尼斯圓的定義，設(shè)，定點(diǎn)，令，則，平方化簡得，因?yàn)榇朔匠膛c為同一方程，所以，解得，所以點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，等號成立，即最小值為點(diǎn)到直線的距離：，故答案為：.已知圓：和點(diǎn)，點(diǎn)，為圓上動點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖，取點(diǎn)，連接、．，，，，，，，，，在中，，的最小值為的長，，，故答案為：．（2425高三上·山東德州·開學(xué)考試）已知點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過構(gòu)造關(guān)系找到定點(diǎn)，將最值轉(zhuǎn)化為求的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為最值，則點(diǎn)線距求解可得.【詳解】∵，∴.∴P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，記為圓C，設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得圓上任意一點(diǎn)Px,y，滿足，則，化簡得，又∵，代入得，要使等式恒成立，則，即.∴存在定點(diǎn)，使圓上任意一點(diǎn)P滿足，則，當(dāng)三點(diǎn)共線（位于兩側(cè)）時，等號成立.又點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，則的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，由到直線距離，則.故.如圖，過作直線的垂線段，垂線段與圓的交點(diǎn)即為取最值時的點(diǎn)，此時取到最小值.【鞏固練習(xí)1】（2324高二上·山東泰安·期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B均在直線上，，動點(diǎn)P滿足，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)條件可得，得到圓心坐標(biāo)后可求得圓心在直線上，利用到直線的距離減去半徑即可求得的最小值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，整理得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，易得圓心在上，又點(diǎn)到直線的距離，故.【鞏固練習(xí)2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，.若直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，可得到關(guān)于點(diǎn)的軌跡方程，由已知可得直線與圓由公共點(diǎn)，列出不等式可求出的范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓因?yàn)?，直線上存在點(diǎn)，使得，所以直線與圓相交或相切.所以，，解得.【鞏固練習(xí)3】已知點(diǎn)，為圓上一動點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，Mx1,y1，且，列式化簡求得定點(diǎn)，然后把距離問題轉(zhuǎn)化為最小，數(shù)形結(jié)合，利用點(diǎn)到直線距離公式三點(diǎn)共線時最短，即可得解【詳解】不妨設(shè)x軸上定點(diǎn)使得滿足，Mx1,則，整理得，，又，所以，則，解得，所以，使得，要使最小，則最小，所以B，M，N三點(diǎn)共線，且MN垂直于直線時取得最小值，如圖所示.

故的最小值為點(diǎn)B到直線的距離.【鞏固練習(xí)4】已知半徑為的圓C的圓心在軸的正半軸上，且直線與圓相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知，為圓上任意一點(diǎn)，試問在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)，試求的最小值.【答案】(1)(2)存在，(3)5【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，可求圓心，可得方程；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，表示，討論是否存在定值；（3）由（2）知，，故所求轉(zhuǎn)化為、、三點(diǎn)共線問題．【詳解】（1）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)，設(shè)，則，則，當(dāng)，即舍去）時，為定值，且定值為，故存在定點(diǎn)使得為定值，的坐標(biāo)為；

（3）由（2）知，故，從而，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，最小，且．所以的最小值為5.【題型10】與切點(diǎn)弦有關(guān)的最值問題1、切點(diǎn)弦方程（二級結(jié)論）：圓外一點(diǎn)向圓作切線，兩個切點(diǎn)A,B的連線方程為（類似的其余圓錐曲線都有此類方程）2、雙切線性質(zhì)：OP⊥l時候①切線長最小②切點(diǎn)四邊形面積最?、矍悬c(diǎn)弦AB最短④切線夾角最大⑤AB平行l(wèi)3、切點(diǎn)弦的方程的常規(guī)求法：如圖，易知PAOB四點(diǎn)共圓，且PO為圓的直徑，而AB為兩圓的公共弦古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點(diǎn)，，則滿足的動點(diǎn)的軌跡記為圓.(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)向圓作切線，，切點(diǎn)分別是，，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，列出方程，即可求得圓的方程.（2）設(shè)切點(diǎn)，，分別求得和的方程，點(diǎn)，都在直線上，即可得到答案.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由，且，，可得，整理得，所以圓的方程為.（2）解：設(shè)切點(diǎn)，，則，，直線方程為：，整理得，同理可得直線方程為：，由直線，均過點(diǎn)，則，，即點(diǎn)，都在直線上，所以直線的方程為.（高二下·浙江溫州·期末）已知圓：，點(diǎn)P為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓引兩條切線，，A，B為切點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】依題作出圖形，從四邊形的面積分析考慮得出，利用將其化為，要使最小，需使最小，即為圓心到直線的距離時，利用點(diǎn)到直線的距離公式計算即得.【詳解】

如圖，易得,,則四邊形的面積為,化簡得，，在中，，代入整理得，，要使線段長度最小，只需使線段長度最小，而是圓心到直線上任意點(diǎn)的距離，故當(dāng)且僅當(dāng)時，即為圓心到直線的距離時，最小，此時，.已知圓，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，當(dāng)四邊形的面積最小時，則直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到時，最小，從而得到的方程為，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以圓心，半徑，如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)PC最小時，也最小，此時，，故的方程為，即，聯(lián)立解得：，，即，所以直線的方程為，化簡得：.【鞏固練習(xí)1】（2324高二上·浙江·期末）已知圓與直線，過上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為和，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出垂直平分，分析可知，當(dāng)PC取最小值時，AB取最小值，此時，，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)?，，，所以，，所以，，則，設(shè)，則為的中點(diǎn)，由勾股定理可得，由等面積法可得，所以，當(dāng)PC取最小值時，AB取最小值，由，可得，所以，PC的最小值為，當(dāng)與直線垂直時，PC取最小值，則，因?yàn)?，解?【鞏固練習(xí)2】（高二上·湖北黃石·期末）已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，則直線恒過定點(diǎn)，四邊形面積的最小值.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出以為圓心，為半徑的圓的方程，將該圓的方程與圓的方程作差，可得出直線的方程，進(jìn)而可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)，連接、，則，，由勾股定理可得，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，即，將圓的方程與圓的方程作差并化簡得，即直線的方程為，即，由，解得，所以，直線恒過定點(diǎn)；由切線長定理可得，又，，，所以，四邊形的面積為，當(dāng)時，取最小值，即，因此，四邊形的面積的最小值為.【鞏固練習(xí)3】（2324高二上·遼寧·期末）已知，直線為上的動點(diǎn).過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為.【答案】1,0【分析】由題意可知，則，當(dāng)與直線垂直時最小，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可求解直線PM方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；利用勾股定理可得，以為圓心，為半徑作圓，將兩圓方程相減即可求出直線AB方程.【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，

由題意可知，則，所以當(dāng)最小時，最小，此時與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，

的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.【題型11】過定點(diǎn)的弦與圓心所圍成的三角形面積最值當(dāng)圓心角為90°時，面積有最大值，此時圓心到直線的距離為，注意驗(yàn)證圓心到直線的距離是否可以取已知直線與圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)面積最大時，斜率k值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，當(dāng)，面積最大，分析可得此時圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式即得解.【詳解】由題意，圓，故圓心，半徑，，故當(dāng)時，的面積取得最大值，此時圓心到直線的距離，即，即，解得.已知圓關(guān)于直線對稱，且在圓上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓C交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.【答案】(1)；(2)，或.【分析】（1）根據(jù)題意，圓心在直線，得到，再由在圓上，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到過定點(diǎn)，求得，結(jié)合，當(dāng)時，面積最大，求得面積的最大值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：由圓關(guān)于直線對稱，即圓心在直線，滿足，即圓，又因?yàn)樵趫A上，所以，解得，所以圓的方程為.（2）解：由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點(diǎn)，又由由（1）圓心為，可得，因?yàn)?，所以?dāng)時，面積最大，此時為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑，此時點(diǎn)C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直線l的方程為或.【鞏固練習(xí)1】已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，直線，可變形可得，聯(lián)立，解得，則直線恒過定點(diǎn)，記為，圓的圓心為，半徑，則，又為圓的弦，設(shè)的中點(diǎn)為，則有，所以，易知，記，則，，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.即的面積的最大值為.【鞏固練習(xí)2】已知直線與圓，，交于，兩點(diǎn)，若的面積的最大值為，求此時．【答案】【分析】當(dāng)?shù)拿娣e最大時，AC⊥BC，由面積的最大值為4，可算得b，從而得到C到直線的距離等于2，建立方程可求得a的值，從而得ab的值.【詳解】解：∵圓C：x2+y2﹣2x﹣8y+b＝0，即（x﹣1）2+（y﹣4）2＝17﹣b；∴圓心C（1，4），半徑r＝；當(dāng)?shù)拿娣e最大時，AC⊥BC，（S△ABC）max＝＝4；∴r2＝8，即17﹣b＝8，∴b＝9；直角三角形ABC中，AC＝BC＝r，∴C到直線AB：ax+y+a﹣1＝0的距離等于d＝2，∴d＝2＝，∴a＝，∴ab＝.故答案為：.【鞏固練習(xí)3】已知圓，直線.(1)求證：直線l與圓C恒有兩個交點(diǎn)；(2)若直線l與圓C交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.【答案】(1)證明見解析(2)面積最大值為，或.【分析】（1）先證明直線過定點(diǎn)，再說明定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；（2）注意到，所以當(dāng)時，可以求出面積的最大值，注意驗(yàn)證取等條件，進(jìn)一步由點(diǎn)到直線的距離公式可以求出參數(shù)，由此即可得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€可變形為，所以，解得，故直線經(jīng)過的定點(diǎn)為.將點(diǎn)代入圓的方程有，所以點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，所以直線l與圓C恒有兩交點(diǎn).（2）由（1）知，因?yàn)?，所以?dāng)時，面積最大，此時為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑.此時點(diǎn)C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或.故所求直線l的方程為或.【鞏固練習(xí)4】已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動，是線段的中點(diǎn)，且直線過定點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么圖形；（2）記（I）中求得的圖形的圓心為：（i）若直線與圓相切，求直線的方程；（ii）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時直線的方程．【答案】（1），是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；（2）（i）或，（ii）或．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，則可得，而點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，所以將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓方程中化簡可得結(jié)果；（2）（i）利用分類討論思想的應(yīng)用和點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用求出直線的方程；(ii)設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，而，利用基本不等式可求得其最大值，進(jìn)而求出，從而可求出直線的斜率【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由的坐標(biāo)是，且是線段的中點(diǎn)知，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得.這就是點(diǎn)的軌跡方程，它是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；（2）（i）由（1）知點(diǎn)的軌跡方程是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓：①若直線的斜率不存在，則直線，符合題意；②若直線的斜率存在，設(shè)直線，即，由直線與圓相切知，圓心到直線的距離等于半徑，即，解得.此時.由①②知直線的方程為或.（ii）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“=”成立，時，有最大值為2，此時，解得或，故有最大值為2，此時直線的方程為或．【題型12】半圓與直線交點(diǎn)問題一、半圓方程例：化簡曲線移項(xiàng)后兩邊平方得，通過方程看曲線是整圓，但要滿足的條件所以曲線其實(shí)是右半圓.

這就提醒我們,比如：“兩邊平方”、“分式化整”、“實(shí)際問題情境”等，要留意是否恒等變形.二、觀察交點(diǎn)個數(shù)觀察動直線是斜率為定值還是直線過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率為定值時，此直線在平移的過程中，利用圖形，抓關(guān)鍵點(diǎn)，什么時候是有一個和兩個公共點(diǎn)，相交相切位置要清楚，然后利用點(diǎn)到直線的距離與半徑的不等關(guān)系得出參數(shù)的范圍.當(dāng)直線恒過定點(diǎn)時，直線在旋轉(zhuǎn)，方法和平移類似，抓關(guān)鍵點(diǎn)和位置直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】曲線表示的是一個以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的左半圓，直線的斜率為1，作出圖形，由圖形確定直線與曲線有兩個公共點(diǎn)時的條件.【詳解】方程，即，表示的是一個以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的左半圓，直線的斜率為1，連接和，

要使直線與該半圓有兩個交點(diǎn)，直線必在以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切（不含相切），則可求出直線的兩個臨界位置對應(yīng)的的值.當(dāng)直線與重合時，，當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到的距離3，即，解得或（舍去）.所以的取值范圍是）.若曲線與直線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】化簡曲線

得：，求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切時，直線斜率最小，斜率大于的斜率且小于或等于的斜率求解即可.【詳解】如圖：化簡曲線

得：.曲線表示以C0,1為圓心，半徑的圓的上半圓.∵直線可化為，直線經(jīng)過定點(diǎn)且斜率為.又∵半圓與直線有兩個交點(diǎn)，設(shè)直線與半圓的切線為，半圓的左端點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率時，直線與半圓有兩個相異的交點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時滿足.解之得，即又因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的斜率的范圍為.【鞏固練習(xí)1】直線與半圓有兩個交點(diǎn)，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖象，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由半圓，即，如圖所示，當(dāng)直線在第三象限與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得：或(舍去)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線與圓有兩個交點(diǎn)和，把代入中，可得，解得，則直線與圓有兩個交點(diǎn)時，的范圍是．故答案為：【鞏固練習(xí)2】若曲線與直線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】作出曲線與直線的圖象，考慮直線與曲線相切以及直線過點(diǎn)時實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可知，整理可得，所以，曲線表示圓的上半圓，作出曲線與直線的圖象如下圖所示：當(dāng)直線與圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時，則有，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，.由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線有兩個公共點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題可知曲線，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，作出直線與半圓，利用數(shù)形結(jié)合即得．【詳解】方程是恒過定點(diǎn)，斜率為的直線，曲線，即，表示圓心為，半徑，在直線及右側(cè)的半圓，半圓弧端點(diǎn)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與半圓)，如圖，

當(dāng)直線與半圓C相切時，得，且，解得，又，所以或，所以或．【題型13】三角換元求最值圓的參數(shù)方程已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)，為參數(shù)，，則，，，，，，．【鞏固練習(xí)1】若x，y滿足，則的最大值為________【答案】3【解析】設(shè)，因此，其中，所以當(dāng)時，取到最大值3【鞏固練習(xí)2】已知實(shí)數(shù)，滿足方程．（1）求的最大值和最小值（2）求的最大值和最小值．【解答】解：（1）圓，圓心，半徑為，，，的最大值是，最小值是．（2），的最大值為，最小值為．【題型14】圓的軌跡類最值問題求與圓有關(guān)軌跡方程的常用方法1．定義法當(dāng)題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程．2．直譯法直接將題目條件翻譯成代數(shù)方程，求解軌跡方程．3．直接法當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程．4．幾何法利用圖形的幾何性質(zhì)，確定等量關(guān)系，設(shè)點(diǎn)、列式，求解軌跡方程．5．代入法(或相關(guān)點(diǎn)法)當(dāng)題目條件中已知某動點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動點(diǎn)有關(guān)時，常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，借助兩點(diǎn)間距離公式代入計算即可得.【詳解】設(shè)，則有，化簡得，即點(diǎn)的軌跡方程是.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】.【分析】取中點(diǎn)為，連接，，確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，根據(jù)得到答案.【詳解】取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：則，又，，故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以，即，則.已知與相交于點(diǎn)線段是圓的一條動弦，且則的范圍為【答案】【分析】先求得點(diǎn)的軌跡，然后求得線段中點(diǎn)的軌跡，結(jié)合向量運(yùn)算以及圓與圓的位置關(guān)系等知識求得正確答案.【詳解】直線，即，直線過定點(diǎn)，且斜率存在.直線，即，直線過定點(diǎn)，直線與軸不平行.線段的中點(diǎn)為，，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，即點(diǎn)的軌跡是圓（除點(diǎn)）.圓的圓心為，半徑為，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則垂直平分，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，即點(diǎn)的軌跡是圓，，即圓（除點(diǎn)）上的點(diǎn)，與圓上的點(diǎn)的距離，，所以，即，所以.故答案為：【鞏固練習(xí)1】（2425高二上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.【詳解】設(shè)動點(diǎn)Mx,y，則，化簡得，所以點(diǎn)的軌跡為圓，如圖，過點(diǎn)作圓的切線，連接，則，，所以，同理，則直線的斜率范圍為.故選：C.

【鞏固練習(xí)2】已知定點(diǎn)，圓，M，N為上的動點(diǎn)，滿足，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理，可知弦MN的中點(diǎn)P滿足，從而利用圓的定義求得點(diǎn)P的軌跡方程，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，從而利用點(diǎn)圓圓的位置關(guān)系求得，即可得解.【詳解】

設(shè)MN的中點(diǎn)為P，則，所以，由圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，其方程為，所以，又，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，所以，所以.【鞏固練習(xí)3】已知直線l：與x軸相交于點(diǎn)A，過直線l上的動點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，則直線CD恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為；記M是CD的中點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】利用圓的性質(zhì)，結(jié)合圖像，把問題轉(zhuǎn)化為跟圓有關(guān)的最值問題進(jìn)行處理.【詳解】由題意設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)?，是圓的切線，所以，，所以在以為直徑的圓上，其圓的方程為:，又在圓上，將兩個圓的方程作差得直線的方程為：，即，所以直線恒過定點(diǎn)，又因?yàn)?，，，，四點(diǎn)共線，所以，即在以為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，如圖所示:所以，所以的最小值為.【題型15】點(diǎn)到直線距離公式為背景的最值問題對于這類式子，可以利用點(diǎn)到直線距離的幾何意義，把問題轉(zhuǎn)化為為到直線距離（2324·浙江寧波·期末）實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．3 B．7 C． D．【答案】A【分析】化簡可得，表示為圓上點(diǎn)到直線距離的倍，運(yùn)用幾何法求解即可.【詳解】化簡可得，即在圓上，則表示為圓上點(diǎn)到直線距離的倍，圓心到直線距離為，則的最小值為.（2024·湖南岳陽·二模）已知點(diǎn)是圓上的兩點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B【分析】題目轉(zhuǎn)化為、到直線的距離之和，變換得到，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因?yàn)椋?、，在圓上，，因?yàn)?，則是等腰直角三角形，表示、到直線的距離之和的倍，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，作于，且，，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且在的兩側(cè)時等號成立，又，故的最大值為的最大值為．故選：B．已知實(shí)數(shù)滿足，，，則的最大值是.【答案】12【分析】根據(jù)幾何知識，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的兩點(diǎn)到直線的距離和最大問題，根據(jù)兩個點(diǎn)形成的夾角結(jié)合圓的性質(zhì)即可求出最大值.【詳解】因?yàn)?，，可設(shè)，且，可得在圓上，且，又因?yàn)?，且為到直線的距離，所以所求最大值可看作是到直線的距離的和的最大值,可知在直線的下方，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，則為梯形的中位線，，又因?yàn)椋瑒t，且到直線的距離為，可得，所以，故的最大值為.故答案為：12.

.（2223高二上·四川南充·期中）對于圓上任意一點(diǎn)，的值與，無關(guān)，則的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)到直線距離公式知可表示點(diǎn)到直線與直線得距離之和的倍，若其值與，無關(guān)，則圓在平行線與之間，即，解不等式即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式知點(diǎn)到直線與直線的距離分別為與，所以，即可表示點(diǎn)到直線與直線得距離之和的倍，若其值與，無關(guān)，則圓在平行線與之間，即平行線間距離，解得或【鞏固練習(xí)1】（2324高三上·湖南長沙·開學(xué)考試）已知滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由題意，點(diǎn)的軌跡是圓，然后將問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到直線距離的倍，而圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以的最小值為.

【鞏固練習(xí)2】點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點(diǎn)到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖，曲線為圓的上半圓，圓心，半徑為2，，表示點(diǎn)到直線距離的5倍，點(diǎn)到直線的距離，即直線與圓相離，點(diǎn)到直線的距離，最小值為，最大值為，則的取值范圍為.【鞏固練習(xí)3】已知圓上兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值是（

）A．8 B． C． D．12【答案】D【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得表示兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍，求出點(diǎn)到直線的距離的最大值，即可得解【詳解】由圓上兩點(diǎn)Ax1,y得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，由，得，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為半徑，為原點(diǎn)的圓，，表示兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故兩點(diǎn)到直線的距離之和等于點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值是.【鞏固練習(xí)4】已知，是圓：上的兩個不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為