專題21反比例函數(shù)

專題21反比例函數(shù)【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)01反比例函數(shù)的定義一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).【點(diǎn)石成金】（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無(wú)交點(diǎn).（2）()可以寫(xiě)成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫(xiě)成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.知識(shí)點(diǎn)02確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.【題型探究】1.當(dāng)為何值時(shí)是反比例函數(shù)？【點(diǎn)撥】根據(jù)反比例函數(shù)解析式，也可以寫(xiě)成的形式，后一種表達(dá)方法中的次數(shù)為1，由此可知函數(shù)是反比例函數(shù)，要具備的兩個(gè)條件為且，二者必須同時(shí)滿足，缺一不可．【解析】解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．綜上，＝－1，即＝－1時(shí)，是反比例函數(shù)．【總結(jié)】反比例函數(shù)解析式的三種形式：①；②；③．2.正比例函數(shù)y=2x與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，m）．（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求反比例函數(shù)關(guān)系式．【解析】解：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，則A（2，4）；（2）將A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=即k=8，則反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=．【總結(jié)】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了待定系數(shù)法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．3.已知，與成正比例，與成反比例，且當(dāng)＝1時(shí)，＝7；當(dāng)＝2時(shí)，＝8．(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)自變量的取值范圍；(3)當(dāng)＝4時(shí)，的值．【答案】解：(1)∵與成正比例，∴設(shè)．∵與成反比例，∴設(shè)．∴．把與分別代入上式，得∴所以與的函數(shù)解析式為．(2)自變量的取值范圍是≠0．(3)當(dāng)＝4時(shí)，．【隨堂演練】1．下列函數(shù)中，為反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】根據(jù)反比例函數(shù)解析式的三種形式：，，，其中；A.為正比例函數(shù)，錯(cuò)誤；B.為正比例函數(shù)，錯(cuò)誤；C.不是反比例函數(shù)，錯(cuò)誤；D.是反比例函數(shù)，正確；故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的判斷，熟練掌握函數(shù)解析式的三種形式是本題解題關(guān)鍵.2．如果一個(gè)三角形的面積為10，底邊長(zhǎng)為x，底邊上的高為y，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y= B．y= C．y= D．y=【答案】C【分析】根據(jù)三角形面積公式得到x、y關(guān)系式，變形即可求解．【詳解】解：∵底邊長(zhǎng)為x，底邊上的高為y，的三角形面積為10，∴，∴y=．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的意義，根據(jù)三角形面積公式得到x、y的關(guān)系式是解題關(guān)鍵．3.．下列函數(shù)：①y＝﹣2x；②y＝；③y＝x﹣1；④y＝5x2+1，是反比例函數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】利用反比例函數(shù)定義可得答案．【詳解】解：①y＝﹣2x是正比例函數(shù)；②y＝是反比例函數(shù)；③y＝x﹣1是反比例函數(shù)；④y＝5x2+1是二次函數(shù)，反比例函數(shù)共2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．4．下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵1×2=2，2×1=2，2×=1，×2=1，∴點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．5．若菱形的面積為定值，則它的一條對(duì)角線的長(zhǎng)與另一條對(duì)角線的長(zhǎng)滿足的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】B【分析】構(gòu)造菱形的對(duì)角線與面積之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)菱形的面積為S，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為x、y，則有，，∴，而菱形的面積為定值，即2S為定值，是常數(shù)不變，所以y是x的反比例函數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)關(guān)系，理解反比例函數(shù)的意義是正確判斷的前提．6．下列關(guān)系中，成反比例函數(shù)關(guān)系的是（）A．在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊y與斜邊x之間的關(guān)系B．在等腰三角形中，頂角y與底角x之間的關(guān)系C．圓的面積S與它的半徑r之間的關(guān)系D．面積為2019的菱形，其中一條對(duì)角線y與另一條對(duì)角線x之間的關(guān)系【答案】D【分析】根據(jù)題意分別寫(xiě)出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷．【詳解】A、在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊y與斜邊x之間的關(guān)系：y＝x，不是反比例函數(shù)關(guān)系；B、在等腰三角形中，頂角y與底角x之間的關(guān)系：y＝180°﹣2x，不是反比例函數(shù)關(guān)系；C、圓的面積S與它的半徑r之間的關(guān)系：S＝πr2，不是反比例函數(shù)關(guān)系；D、面積為2019的菱形，其中一條對(duì)角線y與另一條對(duì)角線x之間的關(guān)系：y＝，是反比例函數(shù)關(guān)系；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、菱形的面積計(jì)算，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.7．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，2），則下列各點(diǎn)在這個(gè)函數(shù)圖象上的是（）A．（3，2） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，3）【答案】A【分析】求出反比例函數(shù)解析式，代入即可．【詳解】解：把點(diǎn)P（3，2）代入得，，解得，，反比例函數(shù)解析式為：，把（3，2）代入，左邊=2，右邊=，左邊=右邊，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式．8．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是（）A．50 B．2 C． D．【答案】C【分析】將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，即可求出m的值．【詳解】解：將點(diǎn)代入反比例函數(shù)得，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符合函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．9．已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(6，1)，則下列點(diǎn)中不在該函數(shù)圖像上的是（）A．(2，3) B．(1，6) C．(1，6) D．(2，3)【答案】B【分析】先由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，1），確定k得出函數(shù)解析式，然后再確定所給點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合解析式，符合則是答案．【詳解】解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中k=xy，由于圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，1），故k=6×（1）=6，將選項(xiàng)中點(diǎn)的坐標(biāo)入求值即可．A、2×3=6，在該函數(shù)圖象上，不符合題意；B、1×（6）=6≠6，故不在該函數(shù)圖象上，符合題意；C、1×（6）=6，在該函數(shù)圖象上，不符合題意；D、2×（3）=6，在該函數(shù)圖象上，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，只要點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要滿足函數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上．10．如圖所示，反比例函數(shù)的解析式為，其上的點(diǎn)在第三象限，則a＝__________．【答案】－1【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)值代入反比例函數(shù)的解析式，得出，根據(jù)題意點(diǎn)在第三象限，，寫(xiě)出的值即可．【詳解】解：把點(diǎn)的坐標(biāo)值代入反比例函數(shù)的解析式，得，，解得，，∵點(diǎn)在第三象限，∴，，∴．故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)反比例函數(shù)的值求自變量，根據(jù)反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)所在象限判斷自變量的值是解題關(guān)鍵．11．若y＝是反比例函數(shù)，則m=________．【答案】3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，由且，即可求出m的值．【詳解】由題意得：且，解之得：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，正確的列出方程是解題的關(guān)鍵．特別要注意不要忽略k≠0這個(gè)條件．12．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_______．【答案】2【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義即可求出a的值，即得出該反比例函數(shù)的解析式．再將點(diǎn)(1，b)代入該反比例函數(shù)的解析式即可求出b的值．【詳解】∵是關(guān)于x的反比例函數(shù)，∴，∴，∵該反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，b)，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的定義與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)反比例函數(shù)的定義求出a的值是解答本題的關(guān)鍵13．函數(shù)y=（m﹣1）是反比例函數(shù)（1）求m的值（2）判斷點(diǎn)（，2）是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上．【答案】(1)m=0；（2）點(diǎn)（，2）不在這個(gè)函數(shù)圖象上．【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義得到即可求出得值.把代入反比例函數(shù)求得的值，即可判斷.試題解析：由題意得：解得（2）∵反比例函數(shù)當(dāng)∴點(diǎn)不在這個(gè)函數(shù)圖象上．【高分突破】1．已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由k+3＜0即可解得答案．【詳解】反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，得到k+3＜0，解得故選C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì).2．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則常數(shù)的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值為（）A．m＝－2B．m＝1C．m＝2或m＝1D．m＝－2或m＝－1【答案】A【解析】根據(jù)反比例函數(shù)定義可知解得∴m＝－2．故選A．4．若函數(shù)y=（3﹣k）是反比例函數(shù)，那么k的值是（）A．0 B．3 C．0或3 D．不能確定【答案】A【分析】直接利用反比例函數(shù)的定義分析得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)y=（3﹣k）是反比例函數(shù)，∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，解得：k1=0，k2=3，（不合題意舍去）那么k的值是：0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，正確把握定義是解題的關(guān)鍵．5．若點(diǎn)在雙曲線上，則代數(shù)式的值為（）A．－12 B．－7 C．－5 D．5【答案】C【分析】把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．【詳解】解：把代入得，=3，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，然后整體代入求值．6．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），則它的圖象也一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【答案】D【分析】由反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），可求反比例函數(shù)解析式，把點(diǎn)代入解析式即可求解．【詳解】∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），∴y＝，把點(diǎn)一一代入，發(fā)現(xiàn)只有（﹣1，﹣3）符合．故選D．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識(shí)點(diǎn)，然后判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)的圖象上．7.（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且﹐則點(diǎn)M一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中的，可知反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，再根據(jù)點(diǎn)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)判斷點(diǎn)M所在的象限，即可解答【詳解】解：，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，故點(diǎn)M可能在第一象限或者第三象限，的橫坐標(biāo)大于0，一定在第一象限，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷反比例函數(shù)所在的象限，判斷點(diǎn)所在的象限，熟知反比例函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限與k值的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上．若，則點(diǎn)在第________象限．【答案】二【分析】由點(diǎn)A（a，b）在雙曲線上，可得ab=1，由可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)在雙曲線上，∴ab=1，∵∴∴點(diǎn)A在第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)睛】考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求出是解答此題的關(guān)鍵．9．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________．【答案】4【分析】直接把點(diǎn)代入雙曲線求出a的值即可.【詳解】把代入得：，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則的值為_(kāi)_____．【答案】0【分析】由點(diǎn)M(m，n)（m＞0，n＜0）在雙曲線上，可得k1=mn，由點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出k2，然后得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)M(m，n)（m＞0，n＜0）在雙曲線上，∴k1=mn，又∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱，∴N(m，n)，∵點(diǎn)N在雙曲線上，∴k2=mn，∴k1+k2=mn+（mn）=0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征以及互為相反數(shù)的和為0的性質(zhì)．11.已知點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為_(kāi)_____．【答案】1【分析】根據(jù)題意，設(shè)出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，即可求得p的值【詳解】解：∵點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象上，∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴∴p=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想解答．12．已知函數(shù)解析式為y=(m2)（1）若函數(shù)為正比例